第04节 基本不等式 讲义-2026届高三数学一轮复习

第四节 基本不等式题型与方法全解析 一、知识梳理 1.基本不等式（实现和积转化） (1)基本不等式成立的条件:一正二定三 相等.  (2)等号成立的条件:当且仅当时取等号.  2.几个重要的不等式 （1） （2） （3） （4） （5） . 3.算术平均数与几何平均数 给定两个正数a,b,数称为a,b的算术平均数;数称为a,b的几何平均数.基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 拓展：个正数的算术平均数不小于其的几何平均数 二、核心原则：一正二定三相等 在深入探讨具体题型和方法之前，我们必须牢牢掌握基本不等式应用的三个核心原则，这是解决所有问题的基石： 1. 一正：所有参与运算的项必须为正实数。这是不等式成立的前提条件，解题时需首先验证。 2. 二定：和或积必须有一个为定值。这是构造不等式的关键，目的是为了能够取得最值。 3. 三相等：必须确保等号能够成立。这是最值能否取到的检验标准，缺此条件则答案可能错误。 三、常见题型分类与解题策略 基本不等式的题型丰富多样，掌握每种题型的特征和解题思路是高效解题的关键。以下是六大常见题型的详细解析： 题型分类 典型特征 核心解题策略 关键提醒 直接求最值 表达式简单，无明显约束条件 观察是否可直接构成“和定”或“积定”形式 注意正数条件，验证等号是否成立 配凑法求最值 表达式复杂，需变形后才能应用不等式 拆项、添项、调整系数，目标凑出定值 变形需等价，勿改变原式取值范围 常数代换法（“1”的代换） 已知条件或目标式中含有常数1或可化为1的等式 将1用已知等式代换，乘1法构造齐次式 代换后通常需展开并用基本不等式 消元法求最值 多变量问题，存在约束条件 利用约束条件消元，化为单变量函数求最值 注意消元后新变量的取值范围变化 换元法求最值 根式、分式等复杂结构 整体换元简化表达式，注意新元范围达式，注意新元范围 新元的范围是应用不等式的关键 多元最值问题 变量超过两个，条件复杂 多次运用不等式或利用对称性化简 注意多次放缩等号成立条件的一致性 1. 直接求最值型 这类题目形式相对简单，关键在于识别出表达式能否直接满足“和定”或“积定”的条件。 【例1】函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.则的最小值是. 故选：D. 【例2】若，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．5 【详解】因为，令，则， 由于在单调递减，在单调递增， 故在单调递减，所以，故的最小值为5.故选：D 2. 配凑法求最值 当表达式不能直接应用基本不等式时，需通过拆项、添项、凑系数等技巧进行变形，目的是构造出“定积”或“定和”。 【例3】已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【详解】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 3. 常数代换法（“1”的代换） 这是处理条件最值问题的利器。当条件中存在等式（如）时，将目标式乘以1（即该等式），然后展开运用基本不等式。 【例4】若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 4. 消元法求最值 适用于多变量问题。利用已知条件将一个变量用另一个变量表示，代入目标式，转化为单变量函数的最值问题，有时需结合函数单调性或导数求解。 【例5】已知正数满足，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D． 【详解】由可得，因，则， 于是， 因，当且仅当时等号成立， 即，时，的最小值为. 故选：D. 5. 换元法求最值 通过换元简化表达式结构（如根式、分式、高次式），化繁为简，但务必注意新元的取值范围。 【例6】若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 6. 多元最值问题 处理两个以上变量的问题，常需连续或综合运用基本不等式，并注意等号成立的条件是否一致。 【例7】已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 四、典例分析 【例8】已知正数x,y满足x2+2xy-1=0,则3x2+4y2的最小值为　　　　.  【详解】法1：（消云法）由x2+2xy-1=0,得y=,因为x,y>0,所以0<x<1,则3x2+4y2=3x2+4=3x2+=3x2+=3x2+-2+x2=4x2+-2,因为4x2+≥2=4,当且仅当4x2=,即x=时取等号,所以3x2+4y2=4x2+-2≥4-2=2,即3x2+4y2的最小值为2. 法2：（三角换元法）令，利用参数方程性质，，所以代入x2+2xy-1=0, 得，， 法3：（常数代换、分离常数、齐次换元消云）由x2+2xy-1=0,得 x2+2xy=1,，令，则， 学科网（北京）股份有限公司 $$