精品解析：河南省信阳市淮滨县台头乡河东中学2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

2025年河南省普通高中招生考试·抢分金卷 数学A卷 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年1月20日某人工智能大模型上线，仅用10天时间，用户量就达到1.2亿户．数据1.2亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则从正面看到的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与x轴交点的横坐标为，与直线交点的横坐标为．则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 6. 如图，已知菱形的面积为96，对角线的长为16，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. “漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 12. 如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图． 你认为甲、乙两名运动员，______的射击成绩更稳定．（填甲或乙） 13. 任意写出两个数，依次作和，按以下规则进行计算，，，，…，，当，时，的值是______． 14. 如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______． 15. 如图，已知菱形的周长为16，面积为，E为的中点，若点P为对角线上一动点，则的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校举办了一次数学史知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数，成绩达到60分及60分以上为合格，不低于90分为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生（各有10人）成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如下． 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 68 a 376 乙组 b 75 196 c （1）求出成绩统计分析表中a，b，c的值； （2）小明说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中排名属中游略上！”根据上面的表格判断：小明是甲、乙哪个组的学生？ （3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们的成绩好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由． 18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E．反比例函数的图象经过矩形四个顶点中的两个． （1）求这个函数的表达式． （2）请描出图中反比例函数图象不同于矩形顶点的所有格点，并画出反比例函数的图象． （3）求的值． 19. 如图，已知中，． （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） ①的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线与相交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M． （2）在（1）的条件下求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 20. 2022年，我市一电动自行车专卖店计划购进A、B两种符合国家标准的新款电动自行车．已知购进2台A型比购进1台B型多用2000元；购买2台A型和3台B型共用1.4万元． （1）求出A、B两种型号的电动车各自的进货单价； （2）该专卖店计划最多投入8万元购进这两种型号的电动自行车共30辆，商家决定A型车以每辆2800元出售，B型车每辆3500元出售．该专卖店该如何安排进货方案，才能使销售完后获利最大，最大利润是多少？ 21. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 22. 某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式； （2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？ 23. 【思维启迪】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接，取的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作交的延长线于点D，此时测得米，那么A，B间的距离是______米． 【思维探索】 （2）在和中，，，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转，把点E在边上时的位置作为起始位置．此时点B和点D位于的两侧），设旋转角为，连接，点P是线段的中点，连接，． ①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是______； ②如图3，当时，点D落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当时，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省普通高中招生考试·抢分金卷 数学A卷 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数．先根据数轴得出点表示的数，再根据相反数的定义求出其相反数，即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴数轴上点表示的数的相反数是． 故选：C． 2. 2025年1月20日某人工智能大模型上线，仅用10天时间，用户量就达到1.2亿户．数据1.2亿用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握方法是解题关键．先将1.2亿化为120000000，再科学记数法表示出来即可． 【详解】解：1.2亿， 则1.2亿用科学记数法可表示为． 故选：C． 3. 如图，直线，分别与直线l交于点A，B，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据，即可得到，再根据，即可得出答案． 【详解】解：如图， ， ， 又， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 4. 如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，则从正面看到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确理解相关知识是解题的关键．从正面看分为3列，从左往右分别有1，2，1个小正方形，据此可画出图形． 【详解】解：从正面看分为3列，从左往右分别有1，2，1个小正方形， 从正面看到的是． 故选：A． 5. 如图，直线与x轴交点的横坐标为，与直线交点的横坐标为．则不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题、不等式组的解法，正确理解题意求解出是解题的关键．由直线与x轴交点的横坐标为可得，再由与直线交点的横坐标为可求出交点坐标为，将交点坐标代入可得，联立方程解出的值，将的值代入不等式组解出即可． 【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为， ， ∵与直线交点的横坐标为， ∴交点坐标为， 将代入得：， 联立 解得：，， 将，代入不等式组得： 即 则不等式组的解集为． 故选：C． 6. 如图，已知菱形的面积为96，对角线的长为16，M，N分别为，的中点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，建立适当的辅助线是解题的关键．连接，利用菱形的面积公式求出的长，再利用三角形的中位线定理求出长． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的面积为96，对角线的长为16， ， ， ，N分别为，的中点， ． 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法、合并同类项、完全平方公式、二次根式加减，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式、二次根式加减法法则逐项进行计算即可判断． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 8. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．根据题意，画出树状图展示所有等可能的结果，再利用概率的计算公式即可． 【详解】解：根据题意，画出树状图为： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号的积小于4有4种， 两次摸出的小球标号的积小于4的概率． 故选：C． 9. 如图，正方形的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为，的中点．以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，理解图示，掌握不规则图形面积的转换，扇形面积的计算是解题的关键．根据正方形的性质可得弓形与弓形相等，由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，三点共线， ∵四边形是正方形，点E，F分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ，，， ， 则弓形与弓形相等， ． 故选：B． 10. “漏壶”是一种这个古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下列图象适合表示与的对应关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断. 【详解】由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除B选项， 由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C、D选项， 故选A． 【点睛】本题考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则x的值可以是_________．（写出一个即可） 【答案】3 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案． 【详解】∵有意义， ∴， 解得：， ∴x的值可以是3， 故答案为：3 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 12. 如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图． 你认为甲、乙两名运动员，______的射击成绩更稳定．（填甲或乙） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，解题的关键是正确理解折线统计图中的信息． 由折线统计图可知，乙运动员的成绩波动较小，根据方差的意义即可求解． 【详解】解：由折线统计图可知，乙运动员的成绩波动较小， ∴乙运动员射击成绩的方差较小， ∴乙运动员的射击成绩更稳定， 故答案为：乙． 13. 任意写出两个数，依次作和，按以下规则进行计算，，，，…，，当，时，的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字变化规律，关键是正确发现规律． 由，得的值，发现数列以每 6 项为一个周期，即可求得的值． 【详解】解：由， 得， ， ， ， ， 故数列以每 6 项为一个周期， ． 故答案为：． 14. 如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求出的长是本题的关键．先证明，由勾股定理可求，由面积法可求的长，即可求解． 【详解】解：设与交于点，作于点， 点A的坐标为，点C的坐标为， ，， 四边形是矩形， ， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， 在中，设，则， 由勾股定理得， 解得，即， ， 在中，，， 由得， ， 在中，由勾股定理得， ， 点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，已知菱形的周长为16，面积为，E为的中点，若点P为对角线上一动点，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】过点C作于H，取中点F，连接，根据菱形周长和面积公式分别求出，，则由勾股定理可得，进而得到，则是等边三角形，可得；再证明是等边三角形，推出点E与点H重合，则，由菱形的对称性可得，则当点，，在同一直线上时，的最小值为的长．作交的延长线于点M，连接，求出，得到点与点D重合时，，，此时取得最大值，则此时取得最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，取中点F，连接， ∵菱形的周长为16， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图所示，连接，则是等边三角形， ∵E为的中点， ∴， ∴点E与点H重合， ∴， 由菱形的对称性可得， ， ∴当点，，在同一直线上时，的最小值为的长， 的最小值为， 作交的延长线于点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 当点与点D重合时，，， 此时取得最大值， ∴此时取得最大值，最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，矩形的判定和性质等知识，综合性较强，难度较大． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和零指数幂、负整数指数幂的意义是解决问题的关键．也考查了分式的混合运算． （1）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义和二次根式的乘法法则运算，然后进行有理数的加减运算； （2）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 某校举办了一次数学史知识竞赛，满分100分，学生得分均为整数，成绩达到60分及60分以上为合格，不低于90分为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生（各有10人）成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如下． 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 68 a 376 乙组 b 75 196 c （1）求出成绩统计分析表中a，b，c的值； （2）小明说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中排名属中游略上！”根据上面的表格判断：小明是甲、乙哪个组的学生？ （3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组，但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们的成绩好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由． 【答案】（1） （2）小明属于甲组学生 （3） ①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高于甲组的总体平均水平； ②乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定．（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图、平均数、中位数及方差的概念及意义，熟练掌握平均数、中位数及方差的定义是解题的关键． （1）由折线图中数据，根据中位数和平均数的定义求解可得的值用优秀人数除以总人数可得优秀率； （2）根据中位数的意义分析可得小明是甲组的学生； （3）考虑从平均数和方差两方面阐述即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：、、、、、、、、90、100， ∴中位数， 乙组学生成绩的平均分， 乙组学生成绩的优秀率 故； 【小问2详解】 解：甲组的中位数为60，乙组的中位数为75，而小明的成绩70分，位于小组中游略上， ∴小明属于甲组学生； 【小问3详解】 略 18. 如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E．反比例函数的图象经过矩形四个顶点中的两个． （1）求这个函数的表达式． （2）请描出图中反比例函数图象不同于矩形顶点的所有格点，并画出反比例函数的图象． （3）求的值． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2） 解：如图， （3） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）利用勾股定理求得，利用矩形的性质得出，然后利用三角形面积公式求得，进一步求出的值． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过矩形四个顶点中的两个， ∴反比例函数的图象经过点、， 把代入得， ， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． 19. 如图，已知中，． （1）请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） ①的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线与相交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径画圆，交边于点M． （2）在（1）的条件下求证：是的切线； （3）若，，求的半径． 【答案】 （1）作图如图所示： （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠ADC+∠ODA=90°，即∠ODC=90°， ∴OD⊥BC， ∴是的切线； （3）6． 【解析】 【分析】（1）①按照题意，用尺规作图画角平分线即可；②按照题意，用尺规作图画垂直平分线即可；③按照题意，用圆规作图画圆即可； （2）由作图可知，OD=OA，∠OAD=∠CAD，导角证∠ODC=90°即可； （3）由（2）可得OD∥AC，进而证△BOD∽△BAC，列出比例式即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）可知，OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、切线的证明和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用尺规作图，准确应用相关性质进行推理运算． 20. 2022年，我市一电动自行车专卖店计划购进A、B两种符合国家标准的新款电动自行车．已知购进2台A型比购进1台B型多用2000元；购买2台A型和3台B型共用1.4万元． （1）求出A、B两种型号的电动车各自的进货单价； （2）该专卖店计划最多投入8万元购进这两种型号的电动自行车共30辆，商家决定A型车以每辆2800元出售，B型车每辆3500元出售．该专卖店该如何安排进货方案，才能使销售完后获利最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）A型电动自行车的单价为2500元，B型电动自行车的单价为3000元； （2）购进A型电动自行车20辆，B型电动自行车10辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为11000元． 【解析】 【分析】（1）设A型电动自行车的单价为x元，B型电动自行车的单价为y元，根据“购进2台A型比购进1台B型多用2000元；购买2台A型和3台B型共用1.4万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型电动自行车m辆，则购进B型电动自行车（30-m）辆，全部销售后获得的利润为w元，根据题意可得w与m的函数关系式，并列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 设A型电动自行车的单价为x元，B型电动自行车的单价为y元， 依题意得： ， 解得 ， 答：A型电动自行车的单价为2500元，B型电动自行车的单价为3000元； 【小问2详解】 设购进A型电动自行车m辆，则购进B型电动自行车（30-m）辆，全部销售后获得的利润为w元，依题意得： 2500m+3000（30-m）≤80000， 解得：m≥20． 由题意得，w=（2800-2500）m+（3500-3000）×（30-m）=-200m+15000， ∵-200＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=20时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为11000元， 此时A型电动自行车进货20辆，B型电动自行车进货30-20=10（辆）， 答：购进A型电动自行车20辆，B型电动自行车10辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为11000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数关系式和一元一次不等式． 21. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为. （1）求坐垫到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）99.5（2）3.9 【解析】 【分析】（1）作于点，由可得答案； （2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案 【详解】（1）如图1，过点E作于点， 由题意知、， ∴， 则单车车座到地面的高度为； （2）如图2所示，过点作于点， 由题意知， 则， ∴. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答． 22. 某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为． （1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式； （2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本） （3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元 【解析】 【分析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解； （2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解； （3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题可知D（2,0），E（0,1） 代入到 得 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）由题意可知N点与M点的横坐标相同，把x=1代入，得y= ∴N（1，） ∴MN=m， ∴S四边形FGMN=GM×MN=2×=， 则一扇窗户的价格为×50=75元 因此每个B型活动板的成本为425+75=500元； （3）根据题意可得w=(n-500)（100+20×）=-2（n-600）2+20000, ∵一个月最多生产160个， ∴100+20×≤160 解得n≥620 ∵-2＜0 ∴n≥620时，w随n的增大而减小 ∴当n=620时，w最大=19200元． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质． 23. 【思维启迪】 （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接，取的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作交的延长线于点D，此时测得米，那么A，B间的距离是______米． 【思维探索】 （2）在和中，，，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转，把点E在边上时的位置作为起始位置．此时点B和点D位于的两侧），设旋转角为，连接，点P是线段的中点，连接，． ①如图2，当在起始位置时，猜想：与的数量关系和位置关系分别是______； ②如图3，当时，点D落在边上，请判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； ③当时，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）200；（2）①；②；③． 【解析】 【分析】（1）由，可得，根据即可证明，即可得，即可解题． （2）①延长交于，证可得是等腰直角三角形，即可证明． ②作，交延长线于点，连接，证，结合已知得，再证明，可得是等腰直角三角形，即可证明． ③作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于点，由旋转可知，与所成夹角的锐角为，得，同②可证可得，再由已知解三角形得，即可求出． 【详解】解：（1）∵， ， 在和中， ， ， ， ∵米， ∴米， 故答案为：200； （2）①与的数量关系和位置关系分别是． 理由如下：如解图2，延长交于， ∵， ∴， ， 在和中， ， ， ∴， 又 ∵， ∴， 又 ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 故答案为：； ②与的数量关系和位置关系分别是． 理由如下：如解图 3 ，作，交延长线于点，连接， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， 当时，， ， ∵， ∴， ∴， ， 在和中 ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． ③作，交延长线于点，连接，过点作交延长线于点， 当时， 由旋转可知，与所成夹角的锐角为， ， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴， 在 中，， ， 又 ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $