专题05 基本不等式（2知识点+8考点+1易错点）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《阶梯册》考点训练

专题05 基本不等式 知识点一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 考点01 直接法求最值 1．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故选：C 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，令，，满足，此时， 所以由“”不能推出“”； 反之，当时，所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以由“”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．若，则的最大值为 ． 【答案】16 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 4．若正实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 5．已知x，y为正实数，，求的最大值． 【答案】 【详解】因为，为正实数，且， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 所以， 故的最大值为：. 考点02 配凑法求最值 6．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 故选：D. 7．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 8．（多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 9．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【详解】时，和都为正值，，即和为定值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是1． 由于时，和都为正值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是． 【点睛】 10．已知，求的最大值； 【答案】1 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 11．若，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 考点03 “1”的代换求最值 12．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：D. 13．已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 14．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】法一： ，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 15．已知正数满足，求的最小值． 【答案】16 【详解】法一，因为，所以． 又均为正数，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号．综上，的最小值为16． 法二，利用权方和不等式得，当且仅当， 即时等号成立，故的最小值为16． 16．已知，求函数的最小值． 【答案】9 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，即时，上式取等号， 故． 考点04 双换元法求最值 17．若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解法一：因为，， 所以 则 当且仅当时，取得最小值2. 解法二：由权方和不等式可得：， 当且仅当时，取得最小值2. 解法三：（消元化为函数值域法）由得，由，则， 即． 故当时，取得最小值为2. 故选：B. 18．若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 19．若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 20．已知实数x，y满足，且，求的最小值． 【答案】 【详解】令，，则，． ， 当且仅当，，即，， 即，时取等号． 所以的最小值． 21．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 考点05 消参法求最值 22．已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 23．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 24．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 25．已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【详解】由题设且，则， 所以 当且仅当即时取等号. 故选：C 26．已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 考点06 和、积、平方和的转化 27．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 28．（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】BD 【详解】A错，当时，，， 解得，当且仅当时等号成立， 故有最大值，最大值为18. B对，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，有最小值，最小值为. C错，当时，，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 此时无解； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时解得或，故ab有最小值. D对，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 故有最小值，最小值为. 故选：BD. 29．（多选）对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A：当时，得或，显然不满足，故A错误； 选项B：当， 时，成立，此时，故B错误 因为， 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以有 得，所以有，当或时等号成立. CD正确； 故选：CD 30．（多选）已知且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】根据题意: ， ， ，又，， ， 对A，，则， 当且仅当且，即时等号成立，A正确； 对B，， 当且仅当且，即时等号成立，B错误； 对C，由，又， 故，所以，当且仅当时等号成立，C正确； 对D，， 当且仅当且，即时等号成立，D正确. 故选：ACD. 31．（多选）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以， 当且仅当或时等号成立，A正确，B错误； 因为，又， 所以，故， 所以，当且仅当或时等号成立，C正确，D错误. 故选：AC. 考点07 恒成立问题 32．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 33．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 34．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 35．已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【详解】因为，且，若恒成立， 则， 又 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ， 故答案为：． 36．已知且恒成立，实数的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】由题意，， 所以转化为， 可得，即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值是. 故答案为： 37．若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【详解】关于x的不等式对于一切实数x都成立， 则，其中. 又，则由基本不等式有： ，当且仅当，即时取等号. 则. 故选：C 考点08 实际问题 38．某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【详解】设这台设备使用年后更新，即最佳更新年限为年均设备费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 由题意可得，年消耗平均费用为元， 年折旧平均费用为元，则平均年总费用， 最佳更新年限为设备总费用（年折旧平均费用和年消耗平均费用）最小， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以这台设备最佳更新年限为， 故选：C． 39．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 40．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为 (2)每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． (3)． 【详解】（1）由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． （2）由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）依题意，得． 方法一， ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二，，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 41．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 42．如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)m时，取得最小值1200. 【详解】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 易错01 使用基本不等式忽略“三相等” 1．（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，当与为负数时，显然不成立，故A错误． 对于B，，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C，若为负值，则， 显然不成立，故C错误． 对于D，， 但等号成立需满足，此时无解， 所以等号不成立，即，故D正确． 故选：BD. 2．已知实数x，y，且．当x，y均为正数时，则的最小值为 ；当x，y均为整数时，的最小值为 【答案】 / －9 【详解】因为x，y均为正数时，， 则，当且仅当时取等， 即， 解得：或， 因为x，y均为正数，所以，所以的最小值为； 由可得 因为x，y均为整数，所以，为整数， 则，，解得：，所以， ，，解得：，所以， ，，解得：，所以， ，，解得：，所以， ，，解得：，所以， ，，解得：，所以， ，，解得：，所以， ，，解得：，所以， 故的最小值为. 故答案为：；. 刷基础 1．设，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】显然当时，，即成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，不一定； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】因，则， 因x，y为正数，则，得，等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 3．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 4．已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 5．（多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，即，代入可得：， 所以，解得，所以A正确，B正确； 由可变形为， 因为，将代入上式可得：解得，所以C不正确，D正确. 故选：ABD. 6．（多选）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 【答案】AB 【详解】因为x>0，y>0，2x＋y＝4，所以，即xy≤2， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故A正确； 4x2＋y2＝(2x＋y)2－4xy＝16－4xy≥8，当且仅当2x＝y＝2时取等号，故B正确； ＝ ， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故C错误； ，即， 当且仅当2x＝y＝2时取等号，故D错误． 故选：AB 7．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】 1 【详解】由，则， ， 当且仅当，即时取等号，即的最大值是1； ， 当且仅当，即时取等号， 即的最大值是． 故答案为：1；. 8．已知，，从①；②这两个条件中任选一个作为已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】若选择条件①：因为，，且， 所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为3． 若选择条件②：因为，，且，所以，即， 则， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3. 9．已知且满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：． 10．（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 11．已知，求函数的最小值. 【答案】2 【详解】已知， ∵，∴， ∴， 当且仅当，即时，有最小值2. 12．为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 【答案】(1)， (2)5，2 【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点为，过点，开口向下， 设二次函数的解析式为， 所以，解得， 所以， （2）由（1），得营运的年平均利润， 当且仅当，即时取等号．最大值为2. 刷能力 1．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即， 因为，所以， 于是， 又， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 2．已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， 等号成立时，，即， 所以函数的最小值为. 故选：B. 3．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 【答案】或， 【详解】因为，则， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以不等式有解，即，解得或， 故答案为：或，． 4．已知实数满足，则的最小值是 ，最大值是_______ 【答案】 2 【详解】， 当且仅当（同号）时取等号； 又， 于是，当时取等号（例如符合题意）． 故答案为： 2 5．若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 6．如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    【答案】 【详解】设的长为，总造价为元，因为四个小矩形，，，与小正方形面积之和为， 且，小正方形的面积为， 其中矩形的面积为，则， 因为所以，阴影部分面积为， 因为，，， 所以草坪面积是面积的（倍） 所以草坪面积为， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为240000元． 故答案为：. 刷期中期末真题 1．（2024·25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（2022·23高一上·浙江湖州·阶段练习）（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 3．（2024·25高一上·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值 . 【答案】 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 4．（2024·25高一上·湖南邵阳·期末）若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 又的最小值为16， ， 当且仅当，即时，等号成立，即取到最小值16． 所以，即． 若，显然的最小值为16． 故选：A． 5．（2024·25高三上·广东深圳·期末）设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】设． 因为为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，时取等号． 因为为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，当时取等号． ， 当，即时取“等号”， 所以M的最小值为3． 故选：D. 6．（2024·25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 基本不等式 知识点一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 考点01 直接法求最值 1．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则的最大值为 ． 4．若正实数，满足，则的最大值是 ． 5．已知x，y为正实数，，求的最大值． 考点02 配凑法求最值 6．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 10．已知，求的最大值； 11．若，则的最小值为 . 考点03 “1”的代换求最值 12．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知，，且，则的最小值是 ． 14．已知，则的最小值为 ． 15．已知正数满足，求的最小值． 16．已知，求函数的最小值． 考点04 双换元法求最值 17．若，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 18．若，且，则的最小值为 ． 19．若正实数，满足，则的最小值是 ． 20．已知实数x，y满足，且，求的最小值． 21．已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点05 消参法求最值 22．已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 23．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 25．已知，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 26．已知，，且，则的最小值为 ． 考点06 和、积、平方和的转化 27．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 28．（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为16 B．当时，的最小值为 C．当时，的最小值为 D．当时，的最小值为 29．（多选）对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 30．（多选）已知且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（多选）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 考点07 恒成立问题 32．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 33．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 34．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 35．已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 36．已知且恒成立，实数的最大值是 ． 37．若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（    ） A． ； B． ； C． ； D． ． 考点08 实际问题 38．某学校后勤部采购一台设备原值（购买价格）为元，且设备每年折旧率相同，设备维修及动力消耗每年以元增加，且设备经过使用后的残值（剩余值）为零，则这台设备最佳更新年限为（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 39．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      40．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． (1)现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ (3)若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 41．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 42．如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 易错01 使用基本不等式忽略“三相等” 1．（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数x，y，且．当x，y均为正数时，则的最小值为 ；当x，y均为整数时，的最小值为 刷基础 1．设，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 4．已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（多选）若满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知x，y都为正数，且2x＋y＝4，则下列说法正确的是（    ） A．xy的最大值为2 B．4x2＋y2的最小值为8 C．＋的最小值为8 D．＋的最大值为 7．已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 8．已知，，从①；②这两个条件中任选一个作为已知，则的最小值为 ． 9．已知且满足，则的最小值为 ． 10．（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 11．已知，求函数的最小值. 12．为了满足运输市场个性化线路的需求，海南儋州汽车运输公司购买了一批电动汽车投入运营．根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润（单位：万元）与营运年数为二次函数的关系（如图），其中为二次函数的顶点坐标. (1)在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数的函数关系； (2)当每辆电动汽车营运年数为多少时，儋州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多少？ 刷能力 1．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围 . 4．已知实数满足，则的最小值是 ，最大值是_______ 5．若实数，满足，则的最大值为 . 6．如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为1000元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元．则当总造价最低时，的长为 ．    刷期中期末真题 1．（2024·25高一下·陕西·期末）实数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·23高一上·浙江湖州·阶段练习）（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（2024·25高一上·天津·期中）已知x，y均为正数，，则的最小值 . 4．（2024·25高一上·湖南邵阳·期末）若，，则下列能成为“的最小值为16”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·25高三上·广东深圳·期末）设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 6．（2024·25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$