2.2 基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解

基本不等式知识点总结与例题讲解 一、本节知识点 （1）基本不等式. （2）利用基本不等式求最值. （3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式. 二、本节题型 （1）利用基本不等式求最值. （2）利用基本不等式证明不等式. （3）基本不等式的实际应用. （4）与基本不等式有关的恒成立问题. 三、知识点讲解 知识点 基本不等式（均值不等式） 一般地, R,有 ≥ . 当且仅当 时,等号成立. 特别地,当 时,分别用 代替上式中的 ,可得 ≥ . 当且仅当 时,等号成立. 通常称不等式 ≥ 为基本不等式（也叫均值不等式）,其中 叫做正数 的算术平均数, 叫做正数 的几何平均数. 基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意 重要不等式 ≥ 与基本不等式 ≥ 成立的条件是不一样的.前者 为任意实数,后者 只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是 . 基本不等式的变形 （1） ≥ , ≤ .其中 R+,当且仅当 时,等号成立. （2）当 时, ≥2,当且仅当 ,即 时,等号成立; 当 时, ≤ ,当且仅当 时,等号成立. 实际上,当 时, . ∵ ≥2,∴ ≤ ,即 ≤ .当且仅当 ,即 （ ）时,等号成立. （3）当 同号时, ≥2,当且仅当 时,等号成立;当 异号时, ≤ ,当且仅当 时,等号成立. （4）不等式链: ≤ ≤ ≤ （ ,当且仅当 时,等号成立.） 其中, , , , 分别叫做正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 知识点 利用基本不等式求最值 设 ,则有 （1）若 （和为定值）,则当 时,积 取得最大值 ; （∵ R+,有 ≤ ,∴ ≤ .） 和定积最大. （2）若 （积为定值）,则当 时,和 取得最小值 . （∵ R+,有 ≥ ,∴ ≥ .） 积定和最小. 说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值. 利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数; 二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足. （1）对于函数 ,当 时, ≥ ,即 ≥4,当 ,即 时,等号成立