第一章 集合与常用逻辑用语章末测试卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《阶梯册》考点训练

第一章 集合与常用逻辑用语章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A．0或1 B． C． D．或 5．“”是“”的 A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 6．，，m，，则正确表示它们关系的式子是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知命题，的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 10．已知集合，或，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知命题是真命题，则的最大值为 ． 13．在上有解的一个必要不充分条件可以是 . 14．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合A＝{6，8，10，12}，B＝{1，6，8}． （1）求A∪B； （2）写出集合A∩B的所有子集． 16．已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 17．已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 18．已知M＝{小于10的正整数}，A⊆M，B⊆M，且（∁MA）∩B＝{1，8}，A∩B＝{2，3}，（∁MA）∩（∁MB）＝{4，6，9}． （1）补全Venn图，并写出集合A∪B． （2）若S⊆A，T⊆B，直接写出集合S∩T （3）求（∁RM）∪[∁Z（A∩B）]．（其中R为实数集，Z为整数集） 19．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语章末测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，则，所以A错误，B正确； 空集是集合A的真子集，C错误；集合A不是整数集的子集，D错误. 故选：B. 2．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为命题“，”为全称命题， 所以命题的否定为特称命题，即，，故选A. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，注意“任意”要改成“存在”. 3．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故， 故选：B 4．已知集合，则（    ） A．0或1 B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为为单元素集，所以方程只有一个解，且解为， 当时，，此时； 当时，，即，此时， 故选：D. 5．“”是“”的 A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 【答案】A 【详解】因为可得，但有， 所以“”是“”的充分而不必要的条件. 故选：A 6．，，m，，则正确表示它们关系的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得时，；时，，故，A错误； 显然,故，不成立，BD错误； 对于， 其元素， 由于均为整数，故，故， 故选：C 7．已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则，    又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错；    对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 8．已知命题，的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数，令， 解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分不必要条件的定义，由， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 10．已知集合，或，则的必要不充分条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意，当时，，即满足； 当时，有，解得， 综上有. 故的必要不充分条件可能是，. 故选：AB 11．已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为集合中的元素都是有序实数对（点）， 所以，的运算结果均为点的集合， 所以，都是错误的，即AC错误； 对B：因为方程组无解，所以正确，即B正确； 对D：因为， 又，所以，故正确，即D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知命题是真命题，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】当时，可得，当且仅当时，等号成立，即， 因为命题为真命题，所以，所以的最大值为. 故答案为：. 13．在上有解的一个必要不充分条件可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为在上有解等价于：在上有解， 而函数的最小值在时取得，最小值为， 所以在上有解的充要条件是， 因此在上有解的一个必要不充分条件可以是， 故答案为： 14．在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，；给出下列四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”.其中正确的结论是 . 【答案】①③④ 【详解】对于①，因，则，①正确； 对于②，因，则，②不正确； 对于③，因任意整数除以5，余数可以且只可以是0，1，2，3，4五类，则，③正确； 对于④，若整数，属于同一“类”，则整数，被5除的余数相同，从而得被5除的余数为0，即有， 若，不妨令，则， 显然，，于是得，，即有整数，属于同一“类”， 所以“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，④正确， 所以正确的结论是①③④. 故答案为：①③④ 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知集合A＝{6，8，10，12}，B＝{1，6，8}． （1）求A∪B； （2）写出集合A∩B的所有子集． 【答案】（1）{1，6，8，10，12}；（2），{6}{8}{6，8}. 【解析】（1）由并集定义求解； （2）求出，再根据子集的定义写出子集． 【详解】（1）由已知； （2）由题意，它的所有子集为：，，，． 【点睛】本题考查集合的并集、交集的运算，考查子集的概念，属于基础题． 16．已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 故， 由于，故， （2）当时，， 当时，， 若，则需满足或，解得 故 17．已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 18．已知M＝{小于10的正整数}，A⊆M，B⊆M，且（∁MA）∩B＝{1，8}，A∩B＝{2，3}，（∁MA）∩（∁MB）＝{4，6，9}． （1）补全Venn图，并写出集合A∪B． （2）若S⊆A，T⊆B，直接写出集合S∩T （3）求（∁RM）∪[∁Z（A∩B）]．（其中R为实数集，Z为整数集） 【答案】（1）Venn图见解析，；（2）或或或；（3） 【详解】解：（1）完整Venn图如下图： ； （2）若， 则或或或； （3）， ， . 19．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【详解】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$