1.2　一定是直角三角形吗课件-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2　一定是直角三角形吗 第一章　勾股定理 1 1.探索直角三角形的判别条件，进一步发展推理能力； 2.掌握直角三角形的判别条件(勾股定理的逆定理)， 掌握几组常见的勾股数；(重点) 3.能运用勾股定理和它的逆定理解决问题.(难点) 学习目标 2 情景导入 【问题1】在一个直角三角形中三条边满足什么样的关系呢？ 答：在一个直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 【问题2】如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？ 3 一、勾股定理的逆定理 4 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c. ①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17. 回答下列问题： 1.这三组数都满足a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 探索新知 实验结果： ①5，12，13满足a2+b2=c2，可以构成直角三角形： ②7，24，25满足a2+b2=c2，可以构成直角三角形： ③8，15，17满足a2+b2=c2，可以构成直角三角形. 13 12 5 25 24 7 17 15 8 探索新知 1.直角三角形的判定：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 2.利用边的关系判定直角三角形的步骤： (1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边. (2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等； 若相等，则是直角三角形，且最长边所对的角是直角； 若不相等，则此三角形不是直角三角形. 6 典例精析 例1.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？ 解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以△ABD是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 4 3 5 13 12 A B C D 7 例2.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； (3)一个三角形的三边长a，b，c满足b2－a2＝c2. 典例精析 分析：判断一个三角形是不是直角三角形，如果条件与角相关，则考虑用定义判断，如果条件与边相关，则考虑用边的关系判断.第(1)题可以直接根据直角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依据边的关系判断. 8 (2)在△ABC中，因为AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2， 所以△ABC是直角三角形，且∠C为直角. 解：(1)在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠B＝180°－25°－65°＝90°. 所以△ABC是直角三角形. 例2.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； 典例精析 9 解：因为三角形的三边长满足b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2， 所以此三角形是直角三角形，且b是斜边长. 例2.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (3)一个三角形的三边长a，b，c满足b2－a2＝c2. 典例精析 警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是否为直角三角形外，还要考虑是否为等腰三角形. 10 概念归纳 判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法： (1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和判断； (2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方. 11 1.下列四组线段中，能组成直角三角形的是(　　) A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 D 小牛试刀 12 2.如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 A 小牛试刀 13 二、勾股数 探索新知 1.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数. 常见的勾股数有： 3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25； 9，40，41；…. 15 探索新知 2.判断勾股数的方法： 3.易错警示：勾股数必须同时满足两个条件： (1)确定是不是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方. (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方. 16 例3.下面四组数中是勾股数的一组是(　　) A．6，7，8　　 B．5，8，13　　 C．1.5，2，2.5 D．21，28，35 【解析】根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数. A．62＋72≠82，不是勾股数，故错误； B．52＋82≠132，不是勾股数，故错误； C．1.5和2.5不是整数，所以不是勾股数，故错误； D．212＋282＝352，是勾股数，故正确. D 典例精析 17 确定勾股数的方法： 概念归纳 首先看这三个数是不是正整数； 然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方. 记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度. 18 分析：只要能够发现每组三个数之间的规律即可，这就需从不同的角度去观察、分析，运用从特殊到一般的思想来解答. 例4.观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中a＜b＜c. (1)试找出它们的共同点，并说明你的结论； (2)当a＝21时，求b，c的值. 典例精析 3，4，5 32＋42＝52 5，12，13 52＋122＝132 7，24，25 72＋242＝252 9，40，41 92＋402＝412 … … a，b，c a2＋b2＝c2 19 解：各组数的共同点： ①各组数均满足a2＋b2＝c2； ②最小数a是奇数，其余的两个数b，c是连续的正整数； ③最小奇数的平方等于另外两个连续正整数的和. 例4.观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中a＜b＜c. (1)试找出它们的共同点，并说明你的结论； 3，4，5 32＋42＝52 5，12，13 52＋122＝132 7，24，25 72＋242＝252 9，40，41 92＋402＝412 … … a，b，c a2＋b2＝c2 典例精析 结论：设x为大于1的奇数，将x2拆分为两个连续正整数 之和，即x2＝y＋(y＋1)，则x，y，y＋1就能构成一组勾股数. 理由：因为x2＝y＋(y＋1)(x为大于1的奇数)， 所以x2＋y2＝y＋(y＋1)＋y2＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.所以x，y，y＋1是一组勾股数. 20 解：运用以上结论，当a＝21时，212＝441＝220＋221. 所以b＝220，c＝221. 例4.观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中a＜b＜c. (2)当a＝21时，求b，c的值. 典例精析 3，4，5 32＋42＝52 5，12，13 52＋122＝132 7，24，25 72＋242＝252 9，40，41 92＋402＝412 … … a，b，c a2＋b2＝c2 21 寻找与大于且等于3的奇数组成勾股数的一种方法： 概念归纳 先选一个大于1的奇数，然后把这个数的平方写成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个连续正整数就构成了一组勾股数，如452＝2025＝1012＋1013，则45，1012，1013就是一组勾股数，运用此法可以得到许多组勾股数. 22 3.下列各组数中，不是勾股数的是(　　) A．5，12，13 B．7，24，25 C．8，12，15 D．3k，4k，5k(k为正整数) C 小牛试刀 23 课堂练习 1.如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是____________. 直角三角形 2.满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为____________. 3.下列各组数能构成勾股数的是________(填序号). ①6，8，10；②7，8，10；③，，1. 勾股数 ① 24 4.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， 且(a＋b)(a－b)＝c2，则(　　) A．∠A为直角 B．∠C为直角 C．∠B为直角 D．△ABC不是直角三角形 A 5.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(　　) A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 C 课堂练习 25 课堂小结 1.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 26 同学们， 下节课见！ 谢谢观看！ 27 $$