19.2 一次函数 暑假巩固练习2024-2025学年人教版八年级数学下册

人教版八年级下册 19.2 一次函数 暑假巩固 一、一次函数与一元一次方程 1.如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A.x＝ B.x＝1 C.x＝2 D.x＝4 2.如图，一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是(　　) A.x＝1 B.x＝2 C.x＝3 D.x＝4 3.如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3），关于x的方程kx+b＝0的解是（　　） A.x＝2 B.x＝3 C.x＝0 D.不能确定 4.如图，已知直线y＝﹣x与y＝kx+b交于点P（a，1），则方程kx+b＝﹣x的解是x＝　 　． 5.直线y＝ax+b(a≠0)与x轴交于点(2 024，0)，与y轴交于点(0，﹣2 025)，则关于x的方程ax+b＝0的解为x＝　       　． 6.用一次函数的图象解一元一次方程： (1)﹣2x+3＝5； (2)2x﹣1＝3． 7.对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）． （1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 　    　与 　    　； （2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 　    　； （3）若点A的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标． 二、一次函数与二元一次方程（组） 1.若二元一次方程组无解，则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系为(　　) A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合 2.已知一次函数y＝kx﹣5与y＝2x+n相交于点(3，﹣2)，则方程组的解是(　　) A. B. C. D. 3.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图），则所解的二元一次方程组是（　　） A. B. C. D. 4.如图，已知直线y＝ax﹣4过点P(﹣4，﹣2)，则关于x，y的方程组的解是　         　． 5.如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+5的图象相交于点P(m，1)，则关于x，y的二元一次方程组的解是　         　． 6.如图，在平面直角坐标系中，有一条直线y＝kx+b（k≠0），请再画出函数y＝2x﹣2的图象． （1）列表： （2）描点连线． （3）观察图象直接写出下列方程的解． ①2x﹣2＝0的解为：x＝　 　； ②2x﹣2＝2的解为：x＝　 　． （4）已知直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝2x﹣2的交点A的横坐标为2，则不等式kx+b≤2x﹣2的解集为 　     　；方程组的解为 　      　． （5）在（4）的条件下，当直线y＝kx+b（k≠0）经过B（0，1）时，请确定y＝kx+b的解析式． 7.[阅读材料]二元一次方程2x+y＝5有无数组解，例如是这个方程的一些解，如果将这些解看成有序数对(0，5)，(1，3)，(2，1)，(3，﹣1)．那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，如图1所示．探究发现：以方程2x+y＝5的解为坐标的点都落在同一条直线上，这条直线上各点的坐标对应的x，y的值就是这个方程的一组解，我们把这条直线称为这个方程的图象． [问题探究] (1)请在图1的平面直角坐标系中画出方程x﹣y＝1的图象．观察图象，得出二元一次方程组的解是　      　； [拓展延伸] (2)如图2，在同一平面直角坐标系中，直线l1和l2分别是方程2x+y＝3和2x+y＝﹣1的图象．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是　   　，并说明理由． 三、正比例函数的定义 1.下列函数是正比例函数的是（　　） A.y＝ B.y＝ C.y＝x2+1 D.y＝3x+1 2.下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A.y＝x B.y＝2x+1 C.y＝ D.y＝x2 3.以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　） A.y＝x2 B.y＝ C.y＝ D.y＝ 4.已知函数y＝(m﹣1)x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　　． 5.若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2023的值为 　    　． 6.已知：函数y＝(b+2)且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求2a﹣b+c的平方根． 7.已知关于x的函数y＝(m﹣3)x|m|﹣2+n﹣2，当m，n为何值时，它是正比例函数． 四、正比例函数的性质 1.正比例函数y＝ax(a≠0)的函数值y随x的增大而减小，则正比例函数y=-ax的图象大致是(　　) A. B. C. D. 2.正比例函数y＝abx与正比例函数y=在同一个平面直角坐标系中，且a＞0，b＜0，则正比例函数y=的图象在(　　) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 3.在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（　　） A. B. C. D. 4.若正比例函数y＝，y的值随着x的值增大而增大，则常数m的取值范围是　     　． 5.已知正比例函数y＝(m+3)，那么它的图象经过 　     　象限． 6.已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若点P(a，﹣3)在这个函数的图象上，求a的值； (3)若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围． 7.探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整． （1）下表见y与x的几组对应值． 直接写出m的值是 　  　． （2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象． （3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质：　           　． 五、一次函数的图象 1.已知点(k，b)为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是(　　) A. B. C. D. 2.两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 3.定义一种运算：ab＝则函数y＝（x+2）（x﹣1）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 4.一次函数y＝的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是　    　． 5.一次函数y＝x+3的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是　          ． 6.求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A.B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 7.画y＝2x+1的图象． 六、一次函数与几何变换 1.一次函数y＝x﹣6的图象是由一次函数y＝x+3的图象（　　）得到的． A.向上平移9个单位长度 B.向左平移6个单位长度 C.向右平移6个单位长度 D.向下平移9个单位长度 2.一次函数y＝﹣2x+3的图象向下平移2个单位长度后，与y轴的交点坐标为(　　) A.(0，5) B.(0，1) C.(5，0) D.(1，0) 3.如图，A（1，0）.B（3，0）.M（4，3），动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y＝﹣x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM有公共点，则t的取值范围为（　　） A.3≤t≤7 B.3≤t≤6 C.2≤t≤6 D.2≤t≤5 4.如图，一次函数y＝2x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线AB沿y轴向上平移4个单位，与x轴、y轴分别交于点C，D，则线段OC的长为              ． 5.在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣x+m向下平移1个单位长度，得到直线l2：y＝﹣x+1，则m＝　    　． 6.因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数． （1）请直接写出函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：　      　； （2）如果一对“镜子”函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B.C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式． 7.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A(1，2)和顶点C(3，0)，直线y＝﹣x﹣1以每秒1个单位长度向上移动，经过多少秒该直线可将▱ABCO的面积平分？ 七、一次函数与一元一次不等式 1.如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为（　　） A.x＞﹣2 B.x＜﹣2 C.x＞﹣5 D.x＜﹣5 2.如图，直线y＝kx+b经过点A(2，1)，B(﹣1，﹣2)，则不等式kx+b＞﹣2的解集是(　　) A.x＞﹣1 B.x＜﹣1 C.x＞2 D.x＜2 3.如图，直线y1＝ax（a≠0）与交于点P，有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2，其中正确的有（　　）个． A.1 B.2 C.3 D.4 4.直线l1：y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x的解集为　     　． 5.如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是　     　． 6.如图，一次函数y1＝x+1的图象与正比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过A(m，2)． (1)求正比例函数的表达式； (2)利用函数图象直接写出y1＞y2时对应的x的取值范围． 7.探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有的学习经验，请画出函数y1＝|x|的图象并探究该图象的性质． （1）列表，请直接写出表中m和n的值； （2）描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出y1＝|x|函数的图象； （3）在所给的平面直角坐标系中，过点（0，3）和（2，2）两点画出直线y2＝-，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|x|≤-的解集． 八、正比例函数的图象 1.下列各图象中，表示函数y＝x的大致图象是(　　) A. B. C. D. 2.正方形的边长a与周长l之间的函数关系式为l＝4a，其图象是图中的（　　） A. B. C. D. 3.正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为（　　） A. B. C. D. 4.如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值：　     　． 5.如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　 　k2．(填“＞”“＜”或“＝”) 6.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． (1)y＝5x；(2)y＝﹣x． 7.在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y＝﹣x，y＝﹣0.6x的图象． 九、一次函数定义 1.下列函数中，是一次函数的是(　　) A.y＝2x2﹣x B.y＝＋１ C.y＝-＋１ D.y＝3x2 2.下列函数中：①y＝x；②y＝；③y＝+2；④+1，其中一次函数的个数是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.给出下列式子：①y＝﹣8x； ②y＝﹣； ③y＝+1； ④y＝﹣8x2+2； ⑤y＝0.5x﹣3．其中y是x的一次函数的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.在一次函数y＝﹣2(x+1)+x中，比例系数k为　   　，常数项b为　    　． 5.把2y﹣4x+5＝0表示成y是x的函数的形式为 　　    ． 6.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数． (1)在时速为80千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(时)之间的关系； (2)汽车从A站驶出，先走了4千米，再以40千米/时的平均速度行驶了x小时，那么汽车离开A站的路程y(千米)与时间x(时)之间的关系； (3)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y(元)与携带行李质量x(千克)(x＞20)之间的关系． 7.若函数y＝（m+3）﹣5是一次函数，求m的值． 十、一次函数的性质 1.已知y＝（k﹣4）x+b是正比例函数，则k.b应满足的条件是（　　） A.k≠4且b＝0 B.k＝4且b≠0 C.k≠4且b≠0 D.k＝4且b＝0 2.已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是(　　) A. B. C. D. 3.一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+1的图象经过点P（1，3），则随着x的增大，y的值 　     　（填“增大”或“减小”）． 5.已知关于x的一次函数y＝（2k﹣6）x+（2k+1），当y的值随x增大而增大时，写出k满足的条件　    　． 6.已知关于x的函数y＝（3m+1）x﹣（m﹣1）． （1）若函数为正比例函数，求m的值； （2）若y随x的增大而减小，求m的取值范围． 7.已知一次函数y＝（2a﹣4）x+（3﹣b）（a，b是常数）． （1）若该一次函数为正比例函数，求a的取值范围和b的值； （2）若y随x的值增大而减小且不经过第一象限，求a，b的取值范围． 十一、求一次函数解析式 1.如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，AB为正方形OACB的对角线，且AB＝2，则k，b的值分别是(　　) A.﹣1，2 B.﹣1，﹣2 C.1，2 D.1，﹣2 2.已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3，则k+b的值为(　　) A.﹣1 B.1 C.﹣1或1 D.1或2 3.一次函数y＝kx+b，当﹣2≤x≤2时，对应的y值为1≤y≤9，则kb值为（　　） A.10 B.﹣12 C.﹣10或10 D.﹣10或12 4.一次函数y＝kx+b的图象如图，根据图象信息可知，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为　     　． 5.一次函数y＝kx+b的图象如图，则k＝　      　． 6.如图，已知点A（3，0），B（0，2）． （1）求直线AB所对应的函数解析式； （2）若C为直线AB上一点，当△OBC的面积为6时，求点C的坐标． 7.已知一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象经过点（1，4）． （1）求该函数的解析式并画出图象； （2）根据图象，直接写出当﹣2≤y≤0时x的取值范围． 十二、一次函数的应用 1.如图①所示，甲、乙两个相同容器中分别装有相同体积的a，b两种液体，现用相同的电加热器同时加热，忽略热损失，得到如图②所示的液体温度(℃)与加热时间(min)之间的对应关系．下列说法正确的是(　　) A.a，b两种液体的温度均随着加热时间的增加而降低 B.当加热时间为6 min时，a的温度比b的温度低 C.当加热时间为0 min时，a，b的温度都低于20 ℃ D.当加热时间为3 min时，a，b的温度相等 2.“五一节”期间，数学老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．他们出发2.2小时时，离目的地还有(　　) A.12千米 B.24千米 C.146千米 D.164千米 3.地表以下岩层的温度(℃)与所处深度(km)有如下关系： 若地表以下岩层的温度是265℃，估计该岩层所处的深度是(　　) A.6 km B.7 km C.8 km D.9 km 4.在一次体育课上进行跳绳测试，小明的跳绳平均成绩为每分钟100个，小强的跳绳平均成绩为每分钟150个(单位：个)，小明先跳150个，然后小强再跳，如图是小明、小强跳绳的个数关于小强的跳绳时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　     　． 5.铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：cm3)之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10cm3时，m＝　　g． 6.我运动，我健康，我快乐，我成长．周末，甲、乙两名同学相约在同一路段进行长跑训练，二人在起点会合后，甲出发3分钟时，乙出发，结果乙比甲提前2分钟到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如图，设甲离开起点后经过的时间为x(分)，甲离开起点的路程y(米)与x(分)之间的函数关系式为y1＝150x，图象为线段OA；乙离开起点的路程y2(米)与x(分)之间的函数关系用线段BC表示，请根据图象中的信息解决下列问题： (1)图中m的值为 　   　，n的值为 　    　； (2)求线段BC对应的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)； (3)直接写出点D的坐标，并解释点D坐标表示的实际意义． 7.如图是小明做“探究拉力F与斜面高度h的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为0.1 m，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动． 实验的部分数据如下： (1)根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力F与高度h(m)的变化规律是　   　函数，斜坡越陡，越　    　(选填“省力”或“费力”)． (2)求拉力F与高度h之间的函数解析式； (3)若弹簧测力计的最大量程是10 N，求装置高度h的取值范围． 十三、求正比例函数解析式 1.函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（　　） A.y＝2x B.y＝﹣2x C.y＝x D.y＝﹣x 2.若点P（1，2）在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的解析式是（　　） A.y＝﹣2x B.y＝2x C.y＝﹣4x D.y＝4x 3.一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（　　） A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝-x 4.如图，该函数的解析式是　　． 5.如果点P1(﹣a，3)和P2(1，b)关于y轴对称，则经过原点和点A(a，b)的直线的函数关系式为　           　． 6.若y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝6时，x的值是多少？ 7.已知正比例函数的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x轴于点H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3． （1）求点A的坐标及此正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使S△AOP＝5，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 人教版八年级下册 19.2 一次函数 暑假巩固（参考答案） 一、一次函数与一元一次方程 1.如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A.x＝ B.x＝1 C.x＝2 D.x＝4 【答案】B 【解析】∵直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2）， ∴2＝2m， ∴m＝1， ∴P（1，2）， ∴关于x的方程kx+b＝2的解是x＝1， 故选：B． 2.如图，一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣1的图象相交于点P，则关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是(　　) A.x＝1 B.x＝2 C.x＝3 D.x＝4 【答案】D 【解析】把y＝7代入y＝2x﹣1，得7＝2x﹣1， 解得x＝4， ∴点P的横坐标为4， ∴关于x的方程ax+2＝2x﹣1的解是x＝4． 故选：D． 3.如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3），关于x的方程kx+b＝0的解是（　　） A.x＝2 B.x＝3 C.x＝0 D.不能确定 【答案】A 【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（2，0）， ∴当y＝0时，x＝2，即kx+b＝0时，x＝2， ∴关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2． 故选：A． 4.如图，已知直线y＝﹣x与y＝kx+b交于点P（a，1），则方程kx+b＝﹣x的解是x＝　 　． 【答案】﹣1 【解析】把P（a，1）代入y＝﹣x得，1＝﹣x， ∴x＝﹣1， ∴P（﹣1，1）， 由图可知：kx+b＝﹣x的解就是两直线的交点的横坐标﹣1． 5.直线y＝ax+b(a≠0)与x轴交于点(2 024，0)，与y轴交于点(0，﹣2 025)，则关于x的方程ax+b＝0的解为x＝　       　． 【答案】2 024 【解析】由题知，方程ax+b＝0的解可看成一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点的横坐标， 因为直线y＝ax+b(a≠0)与x轴交于点(2 024，0)， 所以ax+b＝0的解为x＝2 024． 6.用一次函数的图象解一元一次方程： (1)﹣2x+3＝5； (2)2x﹣1＝3． 【答案】解：(1)﹣2x+3＝5，化简，得x+1＝0． 在平面直角坐标系中画函数y＝x+1的图象， 由函数图象与x轴的交点坐标(﹣1，0)，得方程﹣2x+3＝5的解是x＝﹣1． (2)2x﹣1＝3，化简，得x﹣2＝0． 在平面直角坐标系中画函数y＝x﹣2的图象， 由函数图象与x轴的交点坐标(2，0)，得方程2x﹣1＝3的解是x＝2． 7.对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）． （1）点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 　    　与 　    　； （2）若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 　    　； （3）若点A的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标． 【答案】解 （1）∵Q（4，﹣1）， ∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1， ∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1）， 故答案为：（1，3），（3，1）； （2）∵点A（8，y）， ∴a＝8+y，b＝﹣y， ∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y）， ∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合， ∴8+y＝﹣y， ∴y＝﹣4， 故答案为：﹣4； （3）设点B（x，y）， ∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7）， ∴或， ∴或， ∴B（6，﹣7）或（6，1）． 二、一次函数与二元一次方程（组） 1.若二元一次方程组无解，则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系为(　　) A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合 【答案】A 【解析】因为二元一次方程组无解， 则一次函数y＝3x﹣5与y＝3x+1的位置关系是平行． 故选：A． 2.已知一次函数y＝kx﹣5与y＝2x+n相交于点(3，﹣2)，则方程组的解是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】一次函数y＝kx﹣5与y＝2x+n相交于点(3，﹣2)， 则方程组的解是 故选：A． 3.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图），则所解的二元一次方程组是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设过点（﹣4，0）和（0，4）的直线解析式为y＝kx+b， 则，解得， 所以过点（﹣4，0）和（0，4）的直线解析式为y＝x+4； 设过点（﹣2，2）和（0，﹣6）的直线解析式为y＝mx+n， 则，解得， 所以过点（﹣2，2）和（0，﹣6）的直线解析式为y＝﹣4x﹣6， 所以所解的二元一次方程组为． 故选：B． 4.如图，已知直线y＝ax﹣4过点P(﹣4，﹣2)，则关于x，y的方程组的解是　         　． 【答案】 【解析】将P(﹣4，﹣2)代入y＝x，得， ∴点P在直线y＝x上， ∴直线y＝ax﹣4与直线y＝x都经过点P(﹣4，﹣2)， ∴关于x，y的方程组的解是 5.如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣x+5的图象相交于点P(m，1)，则关于x，y的二元一次方程组的解是　         　． 【答案】 【解析】把P(m，1)代入y＝﹣x+5，得﹣m+5＝1，解得m＝4， 所以P点坐标为(4，1)， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为 6.如图，在平面直角坐标系中，有一条直线y＝kx+b（k≠0），请再画出函数y＝2x﹣2的图象． （1）列表： （2）描点连线． （3）观察图象直接写出下列方程的解． ①2x﹣2＝0的解为：x＝　 　； ②2x﹣2＝2的解为：x＝　 　． （4）已知直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝2x﹣2的交点A的横坐标为2，则不等式kx+b≤2x﹣2的解集为 　     　；方程组的解为 　      　． （5）在（4）的条件下，当直线y＝kx+b（k≠0）经过B（0，1）时，请确定y＝kx+b的解析式． 【答案】解 （1）列表： （2）描点、连线，如图： （3）①由图象可知，2x﹣2＝0的解为：x＝1； ②由图象可知2x﹣2＝2的解为：x＝2， 故答案为1，2； （4）由图象可知不等式kx+b≤2x﹣2的解集为x≥2，方程组的解为， 故答案为x≥2，； （5）把x＝2代入y＝2x﹣2中，得：y＝2， ∴A（2，2）， 把A（2，2），B（0，1）分别代入y＝kx+b中，得：， 解得：， 所以：y＝kx+b的解析式为y＝+1． 7.[阅读材料]二元一次方程2x+y＝5有无数组解，例如是这个方程的一些解，如果将这些解看成有序数对(0，5)，(1，3)，(2，1)，(3，﹣1)．那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，如图1所示．探究发现：以方程2x+y＝5的解为坐标的点都落在同一条直线上，这条直线上各点的坐标对应的x，y的值就是这个方程的一组解，我们把这条直线称为这个方程的图象． [问题探究] (1)请在图1的平面直角坐标系中画出方程x﹣y＝1的图象．观察图象，得出二元一次方程组的解是　      　； [拓展延伸] (2)如图2，在同一平面直角坐标系中，直线l1和l2分别是方程2x+y＝3和2x+y＝﹣1的图象．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是　   　，并说明理由． 【答案】解：(1)函数图象如图所示． 由图象得二元一次方程组的解是 (2)方程组的解的情况是无解， 理由：∵两直线平行，没有交点， ∴方程组无解． 三、正比例函数的定义 1.下列函数是正比例函数的是（　　） A.y＝ B.y＝ C.y＝x2+1 D.y＝3x+1 【答案】A 【解析】A.y＝，是正比例函数，故此选项符合题意； B.y＝是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C.y＝x2+1是二次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意； D.y＝3x+1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 2.下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A.y＝x B.y＝2x+1 C.y＝ D.y＝x2 【答案】A 【解析】A.y＝x，y是x的正比例函数，符合题意； B.y＝2x+1，y是x的一次函数，不符合题意； C.y＝，y是x的反比例函数，不符合题意； D.y＝x2，y是x的二次函数，不符合题意． 故选：A． 3.以下y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　） A.y＝x2 B.y＝ C.y＝ D.y＝ 【答案】C 【解析】A.对于y＝x2，x的指数不是1，故不符合题意； B.对于y＝，x的指数不是1，故不符合题意； C.对于y＝，满足，故符合题意； D.对于y＝，不是正比例函数，故不符合题意． 故选：C． 4.已知函数y＝(m﹣1)x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　　． 【答案】-1 【解析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得m＝﹣1． 5.若y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数，则a2023的值为 　    　． 【答案】﹣1 【解析】∵y＝（a﹣1）x+a2﹣1是关于x的正比例函数， ∴a2﹣1＝0且a﹣1≠0， 解得：a＝﹣1， ∴a2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 故答案为：﹣1． 6.已知：函数y＝(b+2)且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求2a﹣b+c的平方根． 【答案】解：(1)∵函数y＝(b+2)且y是x的是正比例函数， ∴∴b＝2， ∵5a+4的立方根是4，∴5a+4＝43，∴a＝12， ∵c是的整数部分， ∴c＝3． (2)2a﹣b+c＝2×12﹣2+3＝25，则2a﹣b+c的平方根为±5． 7.已知关于x的函数y＝(m﹣3)x|m|﹣2+n﹣2，当m，n为何值时，它是正比例函数． 【答案】解：∵y＝(m﹣3)x|m|﹣2+n﹣2是正比例函数， ∴|m|﹣2＝1， ∴|m|＝3， ∴m＝±3； 又∵y＝(m﹣3)x|m|﹣2+n﹣2是正比例函数， ∴m﹣3≠0， ∴m≠3， ∴m只能等于﹣3； ∵n﹣2＝0， ∴n＝2． 四、正比例函数的性质 1.正比例函数y＝ax(a≠0)的函数值y随x的增大而减小，则正比例函数y=-ax的图象大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵正比例函数y＝ax(a≠0)的函数值y随x的增大而减小， ∴a＜0， ∴-a>0， ∴正比例函数y＝-ax(a≠0)的图象过第一、三象限． 故选：B． 2.正比例函数y＝abx与正比例函数y=在同一个平面直角坐标系中，且a＞0，b＜0，则正比例函数y=的图象在(　　) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 【答案】A 【解析】∵a＞0，b＜0，∴＜0， ∴＞0， ∴正比例函数y=的图象经过第一、三象限， 故选：A． 3.在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵在y＝k1x中，y随x的增大而减小， ∴k1＜0， ∴函数y＝k1x图象在二.四象限， ∵k1k2＜0， ∴k2＞0， ∴函数y＝k2x的图象在一.三象限， 故选：B． 4.若正比例函数y＝，y的值随着x的值增大而增大，则常数m的取值范围是　     　． 【答案】m＞0 【解析】∵在正比例函数y＝中，y的值随着x值的增大而增大， ∴＞0，解得m＞0． 5.已知正比例函数y＝(m+3)，那么它的图象经过 　     　象限． 【答案】一、三 【解析】∵m2+m﹣5＝1， ∴m＝﹣3或m＝2， 又∵m+3≠0， ∴m＝2． ∴图象过一、三象限． 故答案为：一、三． 6.已知y﹣2与3x﹣4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若点P(a，﹣3)在这个函数的图象上，求a的值； (3)若y的取值范围为﹣1≤y≤1，求x的取值范围． 【答案】解：(1)设y﹣2＝k(3x﹣4)， 将x＝2，y＝3代入，得2k＝1，解得k＝， ∴y﹣2＝(3x﹣4)，即y＝x． (2)将点P(a，﹣3)代入y＝x，得a＝﹣3， 解得a＝﹣2． (3)当y＝﹣1时，x＝﹣1，解得x＝﹣， 当y＝1时，x＝1，解得x＝， 故﹣≤x≤． 7.探究活动：探究函数y＝|x|的图象与性质，下面是小左的探究过程，请补充完整． （1）下表见y与x的几组对应值． 直接写出m的值是 　  　． （2）如图．在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．请你先描出点（﹣2．m），然后画出该函数的图象． （3）观察图象，写出函数y＝|x|的一条性质：　           　． 【答案】解 （1）当x＝﹣2时，y＝|﹣2|＝2， ∴m＝2， 故答案为：2． （2）如图： （3）由图象可知，图象关于y轴对称． 五、一次函数的图象 1.已知点(k，b)为第一象限内的点，则一次函数y＝kx﹣b的图象大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵点(k，b)为第一象限内的点， ∴k＞0，b＞0， ∴一次函数y＝kx﹣b的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 2.两个y关于x的一次函数y＝ax+b和y＝bx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意； B.对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＜0，y＝bx+a经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴上方，所以B选项符合题意； C.对于y＝ax+b，当a＞0，图象经过第一、三象限，则b＞0，y＝bx+a也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意； D.对于y＝ax+b，当a＜0，图象经过第二、四象限，若b＞0，则y＝bx+a经过第一、三象限，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3.定义一种运算：ab＝则函数y＝（x+2）（x﹣1）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵当x+2≥2（x﹣1）时，x≤4， ∴当x≤4时，（x+2）（x﹣1）＝（x+2）﹣（x﹣1）＝x+2﹣x+1＝3， 即：y＝3， 当x＞4时，（x+2）（x﹣1）＝（x+2）+（x﹣1）﹣6＝x+2+x﹣1﹣6＝2x﹣5， 即：y＝2x﹣5， ∴k＝2＞0， ∴当x＞4时，y＝2x﹣5，函数图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大， 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 4.一次函数y＝的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是　    　． 【答案】0＜x＜4 【解析】根据图象知，当y＝3时，x＝0； 当y＝﹣3时，x＝4； ∴当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 0＜x＜4． 5.一次函数y＝x+3的图象如图所示，当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是　          ． 【答案】0＜x＜4 【解析】根据图象知，当y＝3时，x＝0； 当y＝﹣3时，x＝4； ∴当﹣3＜y＜3时，x的取值范围是 0＜x＜4． 故答案为：0＜x＜4． 6.求作y＝x﹣2的图象． （1）写出与x轴、y轴的交点A.B的坐标； （2）求三角形AOB的面积． 【答案】解 y＝x﹣2图象如图所示： （1）当x＝0，则y＝﹣2；当y＝0，则x＝2； 故A（2，0）.B（0，﹣2）， （2）由图象可知： △AOB为直角三角形，其中OA＝OB＝2， ∴S△AOB＝＝＝2． 7.画y＝2x+1的图象． 【答案】解：∵一次函数解析式为y＝2x+1， ∴当x＝0时，y＝1． 当x＝1时，y＝3． 当x＝2时，y＝5． 当x＝﹣1时，y＝﹣1． 当x＝﹣2时，y＝﹣3． 则其图象如图所示： 六、一次函数与几何变换 1.一次函数y＝x﹣6的图象是由一次函数y＝x+3的图象（　　）得到的． A.向上平移9个单位长度 B.向左平移6个单位长度 C.向右平移6个单位长度 D.向下平移9个单位长度 【答案】D 【解析】一次函数y＝x﹣6的图象可以由一次函数y＝x+3的图象向下平移9个单位得到， 故选：D． 2.一次函数y＝﹣2x+3的图象向下平移2个单位长度后，与y轴的交点坐标为(　　) A.(0，5) B.(0，1) C.(5，0) D.(1，0) 【答案】B 【解析】由“上加下减”的原则可知，将函数y＝﹣2x+3的图象向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为y＝﹣2x+3﹣2＝﹣2x+1． 令x＝0，则y＝1， 即平移后的图象与y轴交点的坐标为(0，1)． 故选：B． 3.如图，A（1，0）.B（3，0）.M（4，3），动点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点P的直线y＝﹣x+b也随之平移，设移动时间为t秒，若直线与线段BM有公共点，则t的取值范围为（　　） A.3≤t≤7 B.3≤t≤6 C.2≤t≤6 D.2≤t≤5 【答案】C 【解析】当直线y＝﹣x+b过点B（3，0）时， 0＝﹣3+b， 解得：b＝3， 0＝﹣（1+t）+3， 解得t＝2． 当直线y＝﹣x+b过点M（4，3）时， 3＝﹣4+b， 解得：b＝7， 0＝﹣（1+t）+7， 解得t＝6． 故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：2≤t≤6， 故选：C． 4.如图，一次函数y＝2x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线AB沿y轴向上平移4个单位，与x轴、y轴分别交于点C，D，则线段OC的长为              ． 【答案】 【解析】把直线AB沿y轴向上平移4个单位，得到直线CD为y＝2x+1+4＝2x+5， 当y＝0时，0＝2x+5， 解得x＝，即OC=． 5.在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣x+m向下平移1个单位长度，得到直线l2：y＝﹣x+1，则m＝　    　． 【答案】2 【解析】将直线l1：y＝﹣x+m向下平移1个单位长度得l2：y＝﹣x+m﹣1， ∵l2：y＝﹣x+1， ∴m﹣1＝1，解得m＝2， 故答案为：2． 6.因为一次函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象关于y轴对称，所以我们定义：函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）互为“镜子”函数． （1）请直接写出函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：　      　； （2）如果一对“镜子”函数y＝kx+b与y＝﹣kx+b（k≠0）的图象交于点A，且与x轴交于B.C两点，如图所示，若△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式． 【答案】解 （1）根据题意可得：函数y＝3x﹣2的“镜子”函数：y＝﹣3x﹣2； 故答案为：y＝﹣3x﹣2； （2）∵△ABC是等腰直角三角形，AO⊥BC， ∴AO＝BO＝CO， ∴设AO＝BO＝CO＝x，根据题意可得：x×2x＝16， 解得：x＝4， 则B（﹣4，0），C（4，0），A（0，4）， 将B，A分别代入y＝kx+b得：，解得：， 故其函数解析式为：y＝x+4， 故其“镜子”函数为：y＝﹣x+4． 7.如图，在平面直角坐标系中，▱ABCO的顶点A(1，2)和顶点C(3，0)，直线y＝﹣x﹣1以每秒1个单位长度向上移动，经过多少秒该直线可将▱ABCO的面积平分？ 【答案】解：连接AC，BO，交于点E，当y＝﹣x﹣1经过E点时，该直线可将▱ABCD的面积平分， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴AE＝CE， ∵A(1，2)，C(3，0)， ∴B(4，2)， ∴E(2，1)， 设PE的解析式为y＝kx+b， ∵PE平行于直线y＝﹣x﹣1， ∴k＝﹣1， ∵PE过E(2，1)， ∴PE的解析式为y＝﹣x+3， ∴直线y＝﹣x﹣1要向上平移4个单位， ∴时间为4秒， 七、一次函数与一元一次不等式 1.如图，已知函数y1＝3x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则不等式3x+b＞ax﹣3的解集为（　　） A.x＞﹣2 B.x＜﹣2 C.x＞﹣5 D.x＜﹣5 【答案】A 【解析】从图象得到，当x＞﹣2时，y＝3x+b的图象对应的点在函数y＝ax﹣3的图象上面， ∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集为：x＞﹣2． 故选：A． 2.如图，直线y＝kx+b经过点A(2，1)，B(﹣1，﹣2)，则不等式kx+b＞﹣2的解集是(　　) A.x＞﹣1 B.x＜﹣1 C.x＞2 D.x＜2 【答案】A 【解析】∵直线y＝kx+b经过点A(2，1)，B(﹣1，﹣2)， ∴代入得解得k＝1，b＝﹣1， ∴直线的解析式是y＝x﹣1， 即x﹣1＞﹣2，x＞﹣1， 则不等式kx+b＞﹣2的解集是x＞﹣1． 故选：A． 3.如图，直线y1＝ax（a≠0）与交于点P，有四个结论：①a＜0；②b＜0；③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2，其中正确的有（　　）个． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确； 一次函数y2＝x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误； 由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误； 当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确； 故选：B． 4.直线l1：y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b＜k2x的解集为　     　． 【答案】x＞2 【解析】∵直线y1＝k1x+b与直线l2：y2＝k2x交于点(2，4)， ∴不等式k1x+b＜k2x的解为x＞2， 故答案为：x＞2． 5.如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是　     　． 【答案】x＞﹣2 【解析】∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， ∴不等式 3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2． 6.如图，一次函数y1＝x+1的图象与正比例函数y2＝kx(k为常数，且k≠0)的图象都经过A(m，2)． (1)求正比例函数的表达式； (2)利用函数图象直接写出y1＞y2时对应的x的取值范围． 【答案】解：(1)将点A的坐标代入y1＝x+1， 得m+1＝2， 解得m＝1， 故点A的坐标为(1，2)， 将点A的坐标代入y2＝kx， 得k＝2， 则正比例函数的表达式为y2＝2x． (2)结合函数图象可得，当y1＞y2时，x＜1． 7.探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，结合已有的学习经验，请画出函数y1＝|x|的图象并探究该图象的性质． （1）列表，请直接写出表中m和n的值； （2）描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出y1＝|x|函数的图象； （3）在所给的平面直角坐标系中，过点（0，3）和（2，2）两点画出直线y2＝-，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|x|≤-的解集． 【答案】解 （1）m＝|﹣6|＝6，n＝|2|＝2； （2）如下图： （3）根据图象与不等式的关系得： 不等式|x|≤-的解集为：﹣6≤x≤2． 八、正比例函数的图象 1.下列各图象中，表示函数y＝x的大致图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵k＝＞0，∴函数y＝x的图象过第一、三象限． 故选：A． 2.正方形的边长a与周长l之间的函数关系式为l＝4a，其图象是图中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，得l＝4a，（a≥0）． ∴函数是正比例函数，函数图象是射线． 当a＝0时，l＝0，当a＝1时，l＝4． ∴函数图象是经过（0，0）和（1，4）的射线． 故选：C． 3.正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由图知，点（3，4）在函数y＝kx上， ∴3k＝4， 解得：k＝， 故选：B． 4.如图是正比例函数y＝kx（k≠0）的图象，写出一个符合题意的k的值：　     　． 【答案】﹣1（答案不唯一） 【解析】∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二.四象限， ∴k＜0． 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 5.如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　 　k2．(填“＞”“＜”或“＝”) 【答案】＜ 【解析】如图， 当x＝a时，y1＝k1a，y2＝k2a，y1＜y2， ∴k1＜k2． 故答案为：＜． 6.用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． (1)y＝5x；(2)y＝﹣x． 【答案】解：(1)y＝5x的图象经过(0，0)和(1，5)， 其图象如图所示． (2)正比例函数y＝﹣x的图象经过(0，0)和，其图象如图所示． 7.在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，y＝﹣x，y＝﹣0.6x的图象． 【答案】解 九、一次函数定义 1.下列函数中，是一次函数的是(　　) A.y＝2x2﹣x B.y＝＋１ C.y＝-＋１ D.y＝3x2 【答案】C 【解析】由一次函数的定义知，y＝-＋１是一次函数， 故选：C． 2.下列函数中：①y＝x；②y＝；③y＝+2；④+1，其中一次函数的个数是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】①y＝x是一次函数； ②y＝自变量x出现在分母中，不是一次函数； ③y＝+2是一次函数； ④+1自变量x的次数是2.不是一次函数， 所以一次函数的个数是2． 故选：C． 3.给出下列式子：①y＝﹣8x； ②y＝﹣； ③y＝+1； ④y＝﹣8x2+2； ⑤y＝0.5x﹣3．其中y是x的一次函数的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①y＝﹣8x； ②y＝﹣； ③y＝+1； ④y＝﹣8x2+2； ⑤y＝0.5x﹣3， 其中y是x的一次函数的有①⑤， 共有2个， 故选：B． 4.在一次函数y＝﹣2(x+1)+x中，比例系数k为　   　，常数项b为　    　． 【答案】﹣1 ﹣2 【解析】化简一次函数为y＝﹣2(x+1)+x＝﹣x﹣2， 故其比例系数k为﹣1，常数项b为﹣2． 5.把2y﹣4x+5＝0表示成y是x的函数的形式为 　　    ． 【答案】y＝2x﹣2.5 【解析】2y﹣4x+5＝0表示成y是x的函数的形式为y＝2x﹣2.5， 故答案为：y＝2x﹣2.5． 6.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数． (1)在时速为80千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(时)之间的关系； (2)汽车从A站驶出，先走了4千米，再以40千米/时的平均速度行驶了x小时，那么汽车离开A站的路程y(千米)与时间x(时)之间的关系； (3)某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，超过部分每千克收取1.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y(元)与携带行李质量x(千克)(x＞20)之间的关系． 【答案】解：(1)由题可得，y＝80x，是一次函数； (2)由题可得，y＝40x+4，是一次函数； (3)由题可得，y＝1.5(x﹣20)，是一次函数． 7.若函数y＝（m+3）﹣5是一次函数，求m的值． 【答案】解 根据一次函数的定义得m+3≠0且m2﹣8＝1， 由m+3≠0解得m≠﹣3， 由m2﹣8＝1解得m＝±3， ∴m＝3． 故m的值为3． 十、一次函数的性质 1.已知y＝（k﹣4）x+b是正比例函数，则k.b应满足的条件是（　　） A.k≠4且b＝0 B.k＝4且b≠0 C.k≠4且b≠0 D.k＝4且b＝0 【答案】A 【解析】∵y＝（k﹣4）x+b是正比例函数， ∴k﹣4≠0且b＝0， ∴k≠4且b＝0． 故选：A． 2.已知一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∵kb＞0， ∴b＜0， ∴一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限， 故选：B． 3.一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，b＜0，则这个函数的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】∵一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小， ∴k＜0． ∵b＜0， ∴此函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 4.在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+1的图象经过点P（1，3），则随着x的增大，y的值 　     　（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【解析】∵一次函数y＝kx+1的图象经过点P（1，3）， ∴k+1＝3，解得：k＝2， ∴一次函数的表达式为：y＝2x+1， ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大． 5.已知关于x的一次函数y＝（2k﹣6）x+（2k+1），当y的值随x增大而增大时，写出k满足的条件　    　． 【答案】k＞3 【解析】∵y随x的增大而增大， ∴2k﹣6＞0， 解得：k＞3， 故答案为：k＞3． 6.已知关于x的函数y＝（3m+1）x﹣（m﹣1）． （1）若函数为正比例函数，求m的值； （2）若y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】解 （1）∵关于x的函数y＝（3m+1）x﹣（m﹣1）是正比例函数， ∴m﹣1＝0， 解得：m＝1， ∴m的值为1； （2）∵y随x的增大而减小， ∴3m+1＜0， ∴m＜﹣， ∴m的取值范围为m＜﹣． 7.已知一次函数y＝（2a﹣4）x+（3﹣b）（a，b是常数）． （1）若该一次函数为正比例函数，求a的取值范围和b的值； （2）若y随x的值增大而减小且不经过第一象限，求a，b的取值范围． 【答案】解 （1）一次函数y＝（2a﹣4）x+（3﹣b）（a，b是常数）， 该一次函数为正比例函数，则2a﹣4≠0，3﹣b＝0， 解得a≠2，b＝3； （2）∵一次函数y＝（2a﹣4）x+（3﹣b）（a，b是常数）的图象y随x的值增大而减小且不经过第一象限， ∴2a﹣4＜0，3﹣b≤0， ∴a＜2，b≥3． 十一、求一次函数解析式 1.如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，AB为正方形OACB的对角线，且AB＝2，则k，b的值分别是(　　) A.﹣1，2 B.﹣1，﹣2 C.1，2 D.1，﹣2 【答案】A 【解析】∵AB为正方形OACB的对角线， ∴△OAB是等腰直角三角形，OA＝OB， ∵AB＝2，OA2+OB2＝AB2， ∴OA＝OB＝2， ∴A点坐标是(2，0)，B点坐标是(0，2)， ∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点， ∴将A，B两点坐标代入y＝kx+b，得解得k＝﹣1，b＝2， 故选：A． 2.已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤3，则k+b的值为(　　) A.﹣1 B.1 C.﹣1或1 D.1或2 【答案】B 【解析】当k＞0时，y随x的增大而增大，即一次函数为增函数， ∴当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝3， 代入一次函数解析式y＝kx+b得 解得 ∴k+b＝2+(﹣1)＝1； 当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数， ∴当x＝0时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣1， 代入一次函数解析式y＝kx+b得 解得 ∴k+b＝(﹣2)+3＝1， 故选：B． 3.一次函数y＝kx+b，当﹣2≤x≤2时，对应的y值为1≤y≤9，则kb值为（　　） A.10 B.﹣12 C.﹣10或10 D.﹣10或12 【答案】C 【解析】（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， ∴，解得， ∴kb＝2×5＝10； （2）当k＜时，y随x的增大而减小， ∴，解得， ∴kb＝﹣2×5＝﹣10． 因此kb的值为﹣10或10． 故选：C． 4.一次函数y＝kx+b的图象如图，根据图象信息可知，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为　     　． 【答案】 【解析】观察图象可知（0，1），（2，3）在直线y＝kx+b上， 则，解得k＝1，b＝1，所以y＝x+1， 所以一次函数y＝x+1与x轴交于（﹣1，0）， 所以所求面积为×1×1＝． 5.一次函数y＝kx+b的图象如图，则k＝　      　． 【答案】 【解析】由图示知，该直线经过点（3，0）.（0，﹣1）．则， 解得k＝． 6.如图，已知点A（3，0），B（0，2）． （1）求直线AB所对应的函数解析式； （2）若C为直线AB上一点，当△OBC的面积为6时，求点C的坐标． 【答案】解 （1）设直线AB所对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）． 由题意得：， 解得k＝﹣，b＝2， ∴直线AB所对应的函数表达式为y＝﹣x+2． （2）由题意得OB＝2． 又∵△OBC的面积为6， ∴△OBC中OB边上的高为6． 当x＝﹣6时，y＝﹣×（﹣6）+2＝6； 当x＝6时，y＝﹣×6+2＝﹣2． ∴点C的坐标为（﹣6，6）或（6，﹣2）． 7.已知一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象经过点（1，4）． （1）求该函数的解析式并画出图象； （2）根据图象，直接写出当﹣2≤y≤0时x的取值范围． 【答案】解 （1）把（1，4）代入y＝kx+2得k+2＝4，解得k＝2， 所以一次函数解析式为y＝2x+2； 如图， (2)当﹣2≤y≤0时x的取值范围为﹣2≤x≤﹣1． 十二、一次函数的应用 1.如图①所示，甲、乙两个相同容器中分别装有相同体积的a，b两种液体，现用相同的电加热器同时加热，忽略热损失，得到如图②所示的液体温度(℃)与加热时间(min)之间的对应关系．下列说法正确的是(　　) A.a，b两种液体的温度均随着加热时间的增加而降低 B.当加热时间为6 min时，a的温度比b的温度低 C.当加热时间为0 min时，a，b的温度都低于20 ℃ D.当加热时间为3 min时，a，b的温度相等 【答案】C 【解析】观察图②可得：a，b两种液体的温度均随着加热时间的增加而增大，故A错误，不符合题意； 当加热时间为6 min时，a的温度比b的温度高，故B错误，不符合题意； 当加热时间为0 min时，a，b的温度都低于20 ℃，故C正确，符合题意； 当加热时间为3min时，a的温度比b的温度高，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2.“五一节”期间，数学老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．他们出发2.2小时时，离目的地还有(　　) A.12千米 B.24千米 C.146千米 D.164千米 【答案】B 【解析】设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A(1.5，90)，B(2.5，170)代入得解得 ∴y＝80x﹣30． 当x＝2.2时，y＝80×2.2﹣30＝146(千米)， 170﹣146＝24(千米)， ∴他们出发2.2小时时，离目的地还有24千米． 故选：B． 3.地表以下岩层的温度(℃)与所处深度(km)有如下关系： 若地表以下岩层的温度是265℃，估计该岩层所处的深度是(　　) A.6 km B.7 km C.8 km D.9 km 【答案】B 【解析】观察表格知地表以下岩层的温度是所处深度的一次函数，设地表以下岩层的温度y与所处深度x的关系式为y＝kx+b， 把(1，55)，(2，90)代入得解得 ∴y＝35x+20； 令y＝265得265＝35x+20， 解得x＝7， ∴估计该岩层所处的深度是7 km； 故选：B． 4.在一次体育课上进行跳绳测试，小明的跳绳平均成绩为每分钟100个，小强的跳绳平均成绩为每分钟150个(单位：个)，小明先跳150个，然后小强再跳，如图是小明、小强跳绳的个数关于小强的跳绳时间t的函数图象，则两图象交点P的纵坐标是　     　． 【答案】450 【解析】由题意知，小明跳绳个数y小明与小强的跳绳时间t的函数解析式为y小明＝150+100t， 小强跳绳个数y小强与小强的跳绳时间t的函数解析式为y小强＝150t， 联立方程组解得 ∴P(3，450)， ∴点P的纵坐标是450， 故答案为：450． 5.铁的密度为7.9g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：cm3)之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10cm3时，m＝　　g． 【答案】79 【解析】根据密度=，公式为ρ=， 当V＝10时，m＝7.9×10＝79． 6.我运动，我健康，我快乐，我成长．周末，甲、乙两名同学相约在同一路段进行长跑训练，二人在起点会合后，甲出发3分钟时，乙出发，结果乙比甲提前2分钟到达终点．二人到达终点即停止，全程匀速．如图，设甲离开起点后经过的时间为x(分)，甲离开起点的路程y(米)与x(分)之间的函数关系式为y1＝150x，图象为线段OA；乙离开起点的路程y2(米)与x(分)之间的函数关系用线段BC表示，请根据图象中的信息解决下列问题： (1)图中m的值为 　   　，n的值为 　    　； (2)求线段BC对应的函数解析式(不必写出自变量的取值范围)； (3)直接写出点D的坐标，并解释点D坐标表示的实际意义． 【答案】解：(1)把(m，3 000)代入y1＝150x得：3 000＝150m，解得m＝20， ∴甲出发20分钟到达终点， ∵乙比甲提前2分钟到达终点， ∴n＝20﹣2＝18， 故答案为：20，18； (2)由甲出发3分钟时，乙出发可知B(3，0)， 设线段BC对应的函数解析式为y2＝kx+b， 将B(3，0)，C(18，3 000)代入得解得 ∴线段BC对应的函数解析式为y2＝200x﹣600； (3)由得 ∴D(12，1 800)， ∴D坐标表示的实际意义是甲出发12分钟后，乙在距出发点1800米的地方追上甲． 7.如图是小明做“探究拉力F与斜面高度h的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为0.1 m，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动． 实验的部分数据如下： (1)根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力F与高度h(m)的变化规律是　   　函数，斜坡越陡，越　    　(选填“省力”或“费力”)． (2)求拉力F与高度h之间的函数解析式； (3)若弹簧测力计的最大量程是10 N，求装置高度h的取值范围． 【答案】解：(1)由表格可知，当斜面高度h由0.1 m增加到0.3 m时，拉力F增加了6.6﹣5.0＝1.6(N)， 当斜面高度h由0.3 m增加到0.5 m时，拉力F增加了8.2﹣6.6＝1.6(N)， ∴拉力F是高度h的一次函数， 由表格可知，斜坡越陡，越费力， 故答案为：一次，费力； (2)设F＝kh+b，把(0.1，5)和(0.3，6.6)代入得，解得 ∴F＝8h+4.2； (3)∵弹簧测力计的最大量程是10 N， ∴F≤10， ∴8h+4.2≤10， 解得h≤0.725， 又∵斜面的初始高度为0.1 m， ∴装置高度h的取值范围0.1≤h≤0.725． 十三、求正比例函数解析式 1.函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（　　） A.y＝2x B.y＝﹣2x C.y＝x D.y＝﹣x 【答案】D 【解析】∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣2，1）， ∴﹣2k＝1， 解得k＝﹣， ∴正比例函数的解析式为y＝﹣x． 故选：D． 2.若点P（1，2）在正比例函数的图象上，则这个正比例函数的解析式是（　　） A.y＝﹣2x B.y＝2x C.y＝﹣4x D.y＝4x 【答案】B 【解析】设正比例函数的解析式为y＝kx， 将x＝1，y＝2代入y＝kx中，得：2＝k， 则正比例解析式为y＝2x； 故选：B． 3.一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（　　） A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝-x 【答案】A 【解析】设函数的解析式是y＝kx． 根据题意得：﹣2k＝3．解得：k＝﹣． 故函数的解析式是：y＝﹣x． 故选：A． 4.如图，该函数的解析式是　　． 【答案】y＝﹣x 【解析】设函数的解析式为y＝kx， 由图象可知直线经过(﹣2，3)这个点， ∴3＝﹣2k，解得k＝﹣， ∴该函数的解析式是y＝﹣x． 5.如果点P1(﹣a，3)和P2(1，b)关于y轴对称，则经过原点和点A(a，b)的直线的函数关系式为　           　． 【答案】y＝3x 【解析】设正比例函数的解析式为y＝kx(k≠0)， ∵点P1(﹣a，3)和P2(1，b)关于y轴对称，∴a＝1，b＝3， ∴A点坐标为(1，3)， 把A(1，3)代入y＝kx，得k＝3， ∴所求的直线解析式为y＝3x． 故答案为y＝3x． 6.若y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝6时，x的值是多少？ 【答案】解 （1）设y＝kx， 把x＝2，y＝﹣4代入得：y＝kx， 解得k＝﹣2， 即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x． （2）把y＝6代入y＝﹣2x得：6＝﹣2x， 解得x＝﹣3， 即x的值是﹣3． 7.已知正比例函数的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x轴于点H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3． （1）求点A的坐标及此正比例函数的解析式； （2）在x轴上能否找到一点P，使S△AOP＝5，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解 （1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3， ∴•3•AH＝3，解得AH＝2， ∴A（3，﹣2）， 把A（3，﹣2）代入y＝kx得3k＝﹣2，解得k＝﹣， ∴正比例函数解析式为y＝﹣x； （2）存在． 设P（t，0）， ∵△AOP的面积为5， ∴•|t|•2＝5， ∴t＝5或t＝﹣5， ∴P点坐标为（5，0）或（﹣5，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $$