2025年广东省初中学业水平考试数学模拟练习卷1

2025年广东省初中学业水平考试数学模拟练习卷1 一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．现实生活中，如果收入100元记作+100元，那么﹣800表示（　　） A．支出800元 B．收入800元 C．支出200元 D．收入200元 2．2025年广交会5月1日开展，为期12天，在全球关税战与供应链重塑的背景下，展示了中国民营企业的韧性，也折射出中国外贸的转型和生机．截止到5月4日，广交会现场达成意向出口成交亿美元，同比增长，将亿用科学记数法表示为：（    ） A． B． C． D． 3． （　　） A． B．4 C． D． 4．将如图所示放置的一个直角三角形，（），绕斜边旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图中的（　　）    A．   B．   C．   D．   5．如图，EF是△ABC的中位线，点O是EF上一点，且满足，则△ABC 的面积与△AOC的面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（  ） A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3 7．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2025年年收入200美元，预计2027年年收入将达到1000美元，设2025年到2027年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（　　） A．200（1+2x）＝1000 B．200+2x＝1000 C．200（1+x2）＝1000 D．200（1+x）2＝1000 8．为了解九年级同学春节期间体育锻炼总时间，老师随机抽查了本校100名九年级同学，将所得数据整理后制作成如图所示的频数分布直方图．则可估计本校500名九年级同学春节期间体育锻炼总时间不少于30小时的人数大约是（   ） A．30人 B．70人 C．150人 D．200人 9．如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法判断 10．如图，将一个面积为24的正方形纸片沿图中的3条裁切线剪开后，恰好能拼成一个邻边不相等的矩形．若裁切线AB的长为6，则裁切线CD的长是（       ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分. 11．在有理数范围内分解因式： ． 12．如图，三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到，已知点的坐标是，则点的坐标是 ． 13．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中说法正确的有 （填序号）． 14．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，那么∠C的度数为 °. 15．已知抛物线经过点，且与轴交于，两点，若点为该抛物线的顶点，则当面积最小时，抛物线的解析式为 ． 三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分，共21分.（本大题共3小题） 16．解方程：. 17．如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求半圆O的半径及的长． 18．如图(1)，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边 AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米，E(0，8)是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)在隧道截面内(含边界)修建 “”型或“”型栅栏，如图(2)、图(3)中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等，栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： （i）修建一个“”型栅栏，如图(2)，点P2，P3在抛物线AED上，设点P1的横坐标为m(0＜m≤6)，求栅栏总长l与m之间的函数关系式和l的最大值； （ii）现修建一个总长为18的栅栏，有如图(3)所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围(P1在P4右侧)． 　 　 四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分，共27分.（本大题共3小题） 19． （1） 如图（1），菱形 中， ， ，点 ， 分别为边 ， 上的动点，且 ，则四边形 的面积为 ； 图（1） （2） 如图（2），平行四边形 中， ， ， ，点 ， 分别为边 ， 上的动点，且 ，则四边形 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请求出最值. 图（2） 20．从“冬日雪暖阳”到“春天花正开”，沈阳魅力更加迷人.相关数据显示，五一小长假期间，南方“小土豆”到沈阳旅游的人数大幅增加．乐乐一家计划暑假来沈阳游玩，为了更好的了解沈阳的景点，乐乐对网友进行了线上调查，想根据调查的数据制定自己一家人的沈阳游玩计划，调查的过程及不完整的统计结果如下表. 调查目的 了解网友最喜爱的沈阳景点 调查方式 抽样调查 调查对象 部分网友 调查内容 你最喜爱的沈阳景点（每名网友只能从下列五个选项中选择一个景点） A.沈阳故宫B.张学良旧居C.沈阳世博园D.中街步行街E.工业博物馆 调查结果 请回答下列问题： (1)本次线上调查共有多少名网友参与? (2)根据上表的调查结果，若有9000名网友参与调查，请你估计最喜爱“沈阳故宫”的人数； (3)若返程当天还有景点F，景点G，景点H可以去游玩，各景点建议游玩时间和景点间路程用时情况见下图．乐乐一家人打算上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，如果按图中景点建议游玩时间选择两个景点游玩，请你帮助乐乐设计一个游玩路线．先游玩__________，再游玩__________，然后16：40前到达机场． 21．综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形． 如图1，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】 （1）如图1，在对垂四边形中，若，求的值（用含的代数式表示）； 【应用】 （2）如图2，在对垂四边形中，已知，点为线段上一点，且，求证：； 【拓展】 （3）在对垂四边形中，已知，点为边上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，请直接写出的长． 五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分. 22．如图1所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿着线段剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积=（上底+下底）×高）． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请直接用含a、b的式子表示和； (2)利用上述过程所揭示的乘法公式计算：． 23．【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E． 【构建联系】 （1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ； （2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：； 【深入探究】 （3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值． 参考答案 1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C 9．B 10．A 11． 12．（1，2） 13．①②④ 14．105； 15．y=x2-4x+3 16．整理，得， 即. 移项，得， . 去分母，得. 整理，得. 移项，得，. 解得. 经检验，是原分式方程的解. 17．（1）解：连接，则， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设半圆O的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即半圆O的半径为2， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴到的距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．解：(1)设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋c. 将A(－6，2)，E(0，8)代入，得 解得 ∴此抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋8. (2)(ⅰ)由题意得P1(m，0)，则P4(－m，0)． 将x＝m代入y＝－x2＋8，得y＝－m2＋8， ∴P2，∴P3， 则P1P2＝P3P4＝MN＝－m2＋8，P2P3＝2m， ∴l与m之间的函数关系式为l＝3＋2m＝－m2＋2m＋24＝－(m－2)2＋26. ∵－＜0，∴当m＝2时，l取最大值，为26米. (ⅱ)方案一：设矩形P1P2P3P4的面积为S，P1P2＝n， 则P3P4＝MN＝n，P2P3＝P1P4＝18－3n， ∴S＝n(18－3n)＝－3(n－3)2＋27. ∵－3<0，∴当n＝3时，S最大＝27，P1P4＝18－3n＝9. 令－x2＋8＝3，解得x＝±. 设点P1的横坐标为t， 则此时点P1的横坐标t的取值范围是－＋9≤t≤. 方案二：设矩形P1P2P3P4的面积为S，P1P2＝b， 则P3P4＝b，P2P3＝P1P4＝MN＝9－b， ∴S＝b(9－b)＝－＋. ∴当b＝时，S最大＝，P1P4＝9－b＝. 令－x2＋8＝，解得x＝±. 设点P1的横坐标为t， 则此时点P1的横坐标t的取值范围是－＋≤ t ≤. 19．（1）如图（1），过点 作 ,交 的延长线于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则 . 四边形 是菱形， ， ， ， ， . 连接 ，设 ，则 ， .故答案为 . 图（1） （2）【解】不是定值.如图（2）,过点 作 ,交 的延长线于点 ，过点 作 ,交 的延长线于点 ，则 . 设 ，则 ， ， . 四边形 是平行四边形， ， ， ， . 在 中， ， 在 中， . ， ， ， . ， 随 的增大而减小， 时，四边形 的面积最大,为 . 图（2） 20．（1）解：（名） 答：本次线上调查共有1000名网友参与 （2）解：（名） 答：估计最喜爱“沈阳故宫”的人数为3600人； （3）解：因为上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，共需用时7时40分， 方案一：从景点G开始，再至景点F，最后到达机场需用时 时7时40分， 故设计的路线为先游玩G，再游玩F， 方案二：从景点G开始，再至景点H，最后至到达机场需用时时7时40分， 故设计的路线为先游玩G，再游玩H. 21．（1）解：∵， ， ， ； （2）证明：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ， ∵， ， 由折叠性质可知， ， 如图，当在上方时， ， ∴点、、、四点共圆， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴点、、、、五点共圆， ∵， ， ， 如简化图，过作于点， 在中，， ， ， 在中，， ∵是顶角为的等腰三角形， ； 如简化图，当在点下方时， 同理可得点、、、、五点共圆， ， ， ， 如简化图，过作于点， 在中，， ， ， 在中，， ∵是顶角为的等腰三角形， ； 综上，的长为线． 22． (1) 解：， ． (2) 由题意阴影部分面积相等得，， ． 【点睛】 本题考查了平方差公式的推导及应用，解题关键熟练掌握平方差公式运用其公式解决问题． 23．解：（1）四边形是矩形， 点是中点， 又，， ， 双曲线过点E， ， ， 该双曲线的解析式为， 故答案为：，； （2）点，在双曲线的图象上， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 又， ； （3）分三种情况讨论： ①当时， 四边形是矩形， ， ， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ②当时， 此时点与点重合， ， 将矩形向右平移个单位长度， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：； ③当时， 设， 将矩形向右平移个单位长度， ，， ， ， 解得：， ， 点，在双曲线的图象上， ， 解得：， ， 与题意不符，故舍去； 综上所述，的值为或． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$