精品解析：山东省枣庄市峄城区东方学校2024-2025学年八年级下学期5月数学月考卷

2025春学期第二次质量检测八年级数学试题 满分120分，时间120分钟 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 若，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大3倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 4. 把多项式分解因式，应提公因式是（ ） A. B. C. D. 5. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（　　） A. B. C D. 6. 在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示枣、爱、我、庄、丽、美．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 美丽枣庄 C. 我爱枣庄 D. 枣庄美丽 8. 若关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 9. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若，且点F，则的度数为（ ）． A B. C. D. 10. 关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分解因式： ______________． 12. 当关于的方程的解为增根时，的值为______． 13. 用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），①能拼成直角三角形；②能拼成等边三角形；③能拼成3种等腰非等边三角形；说法正确的有：______． 14. 如图，是边上的高，且，，则的面积为__________． 15. 定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为________． 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1（n是正整数）的顶点A2n＋1的坐标是____． 三、解答题（8小题，共66分） 17. 因式分解 （1） （2） 18. 解分式方程：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． （1）求m，k的值； （2）直接写出不等式的解集． 22. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求线段长． 23. 第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进A、B两种文创饰品，采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B 种的进价每件多1元． （1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元? （2）该商铺计划购进A、B 两种饰品共600件，购进B 种的件数不低于390件，且不超过A 种件数的4倍，现采购A 种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A 种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 24. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：______． 【应用公式】（2）①因式分解：．②因式分解：． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①______． ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025春学期第二次质量检测八年级数学试题 满分120分，时间120分钟 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 若，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．， ，故本选项不符合题意； B．， ，故本选项符合题意； C．， ，故本选项不符合题意； D．， ，故本选项符不符合题意； 故选：B． 2. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 3. 如果把分式中的、都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大3倍 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质将原式中的x、y都扩大3倍后进行约分即可． 【详解】解：如果把分式中的x、y都扩大3倍得， 则分式的值扩大3倍， 故选：B． 4. 把多项式分解因式，应提的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 5. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元/辆， 根据题意，得：， 故选：． 6. 在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】由作图可知，垂直平分线段， ∴，，， 故选项B，C，D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 7. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示枣、爱、我、庄、丽、美．现分解因式，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 美丽枣庄 C. 我爱枣庄 D. 枣庄美丽 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．先进行因式分解，找出依次表示的字，即可求解． 详解】解：原式 ， 依次呈现的字是：我、爱、庄、枣， 结果呈现的密码信息可能是：我爱枣庄， 故选：C． 8. 若关于的二次三项式能用完全平方公式分解因式，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行分解因式，根据完全平方公式进行分解因式得或，即可求解． 【详解】解：能用完全平方公式分解因式， 可以分解为或， ， 解得：； 故选：D． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若，且点F，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 10. 关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程的解为负数的条件是有解且解为负数，解题的关键是能正确解分式方程并理解分式方程的解为负数的条件为有解且解为负数． 【详解】解： 方程两边同乘以得： 解得： ∵关于x的分式方程的解为负数， 且 即且 解得：且 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分解因式： ______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式法与公式法进行因式分解是解题的关键． 综合提公因式法与公式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 当关于的方程的解为增根时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解，解题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义． 【详解】解： ， ∵关于的方程的解为增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 用12根等长的火柴棒拼三角形（全部用上，不可折断、重叠），①能拼成直角三角形；②能拼成等边三角形；③能拼成3种等腰非等边三角形；说法正确的有：______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、等边三角形的定义、等腰三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形三边关系可得能拼成的三角形的三边分别为：，，或，，或，，，再结合勾股定理逆定理、等腰三角形的定义以及等边三角形的定义分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设每根火柴棒的长度为单位“1”， 根据三角形三边关系可得：能拼成的三角形的三边分别为：，，或，，或，，， 其中，，，能构成直角三角形；，，能构成等边三角形；能拼成种等腰非等边三角形； 故说法正确的有①②， 故答案为：①②． 14. 如图，是边上的高，且，，则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形的外角的性质．熟记直角三角形的性质的内容是解决本题的关键． 根据三角形的外角的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 则的面积． 故答案为：4． 15. 定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义“对称集”，解一元一次不等式组；解不等式组得解集为，由“对称集”的定义，即可求解；理解新定义，会解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为， 解集是一个对称集， ， 解得：； 故答案为：． 16. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1（n是正整数）的顶点A2n＋1的坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可解决问题． 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2-1=3，2×0-=-， ∴点A2的坐标是（3，-）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4-3=5，2×0-（-）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6-5=7，2×0-=-， ∴点A4的坐标是（7，-），…， ∵1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1，7=2×3-1，…， ∴An的横坐标是2n-1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）-1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是-， ∴顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-旋转问题，要熟练掌握，解答此题关键是分别判断出An纵坐标． 三、解答题（8小题，共66分） 17. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：两边都乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕原点O顺时针旋转得到的； （2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 分析】此题主要考查了旋转变换，坐标与图形： （1）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，然后用线段连接即可； （2）设交y轴于点D，则点，先求出，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：设交y轴于点D，则点， ， ∵的面积是面积的倍， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算进行化简，再代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． （1）求m，k的值； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中两条直线相交的问题，利用图象解一元一次不等式等知识， （1）将点代入，可得：，解得：，进而可得，再将其代入，问题得解； （2）不等式的解集为当直线的图象在直线的图象上方（含两直线交点）时所对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 【小问1详解】 将点代入， 可得：， 解得：， ∴， ∵过直线， ∴，即， ∴直线的解析式为：， 即：，； 【小问2详解】 解：结合函数图象可知： 不等式的解集为：． 22. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求线段长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定定理等： （1）证明，即可求证； （2）根据勾股定理可得的长，再由角平分线的判定定理可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：由旋转的性质得：， 在和中， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 第二十届文博会在深圳举行.南头古城某商铺购进A、B两种文创饰品，采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，A种的进价比B 种的进价每件多1元． （1）A、B两种饰品每件的进价分别为多少元? （2）该商铺计划购进A、B 两种饰品共600件，购进B 种的件数不低于390件，且不超过A 种件数的4倍，现采购A 种饰品有优惠政策，若一次性采购A种超过150件，A 种超过的部分按进价打6折．如果购进的这两种饰品均以每件15元全部售出，设购进A种饰品m件，那么m为何值时，能使本次销售的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元 （2）当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用： （1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元，再根据采购A 种饰品花了1400元，采购B 种饰品花了630元，其中A 种数量是B种数量的2倍，列出方程求解即可； （2）根据题意，确定不等关系，列一元一次不等式组求解，确定变量取值范围；根据题意，分情况讨论，列出相应的解析式，根据一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元； 【小问2详解】 解：设购进A种饰品m件，则购进B种饰品件 由题意得：， 解得：， 购进A种饰品件数m的取值范围为：，且m为整数； 设采购A种饰品m件时的总利润为w元， 当时，， ， 随m的增大而减小， 当时，w有最大值，最大值为， 当时，， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最大值是：， ， w有最大值3630，此时， 即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元． 24. 【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：______． 【应用公式】（2）①因式分解：．②因式分解：． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①______． ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①13；②， 【解析】 【分析】本题主要考查了分组分解法、公式法分解因式以及因式分解的应用，熟练掌握图形面积之间的关系是解题的关键． （1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）①先提取公因式，再利用公式求解即可； ②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； ②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，求得的值，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， 故答案为：； （2）① ； ②因式分解： ； （3）①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， 又， ， ， 故答案为：13 ② ， ∵，，， ∴， ∴，，解得，， ∴原式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$