第3章 圆的基本性质 综合能力提升卷2025—2026学年浙教版数学九年级上册

第 1页，共 6页 第 3 章 圆的基本性质 综合能力提升卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若点�在⊙�内，点�在⊙�外，�� = 3，�� = 5，则⊙�的半径�的取值范围是( ) A. 0 < � < 3 B. 2 < � < 8 C. 3 < � < 5 D. � > 5 2.如图，�是正方形����中的边��上任意一点，以点�为中心，将▵���顺时针旋转 90∘后得到的图形是( ) A. B. C. D. 3.如图，在⊙�中，�是弦��的中点，��是过点�的直径，则下列结论中不一定正确的是( ) A. �� ⊥ �� B. �� ⌢ = �� ⌢ C. �� ⌢ = �� ⌢ D. �� = �� 4.如图，已知��是⊙�的直径，弦�� ⊥ ��，垂足为�，∠��� = 22.5°，�� = 4，则��的长为 ( ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 2 5.如图，△ ���内接于⊙�，��是⊙�的直径，若∠� = 20°，则∠���的度数是( ) A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 6.如图，圆内接四边形����中，∠��� = 105∘，连结��，��，��，��，∠��� = 2∠���，则∠���的度 数是( ) A. 25∘ B. 30∘ C. 35∘ D. 40∘ （第 3题） （第 4题） （第 5题） （第 6题） 7.如图，边长为 1 的网格中有一个“柳叶”形图形，它是由��，��和线段��， ��围成的，两条弧的圆心分别是点�和点�，半径都等于 4.则“柳叶”形的面 积为( ) A. 4 B. 14� C. 1 2� D. 9 4� 第 2页，共 6页 8.如图，正方形����和正三角形���都内接于⊙�，��与��，��分别相交于点�，�，则EFGH的值是( ) A. 62 B. 2 C. 3 D. 2 9.如图，在平面直角坐标系中，点�的坐标为 1,0 ，过点�作�� ⊥ �轴，连接��，满足∠��� = 60 ∘.将▵��� 绕原点�顺时针旋转 60 ∘，再将其各边都扩大为原来的 2 倍，使得��1 = 2��，��1 = 2��，得到▵��1�1； 将▵��1�1绕原点顺时针旋转 60 ∘，再将其各边都扩大为原来的 2 倍，使得��2 = 2��1，��2 = 2��1，得 到△ ��2�2，…，如此继续下去，得到▵��2025�2025，则点�2025的坐标是( ) A. − 22025, 22025 3 B. − 22025, 0 C. − 22024 , − 22024 3 D. 22024, − 22024 3 10.如图，��，��是⊙�的弦，∠� = 60°，点�在∠�内，�为�� ⌢ 上的动点，�，�，�分别是��，��，�� 的中点．若⊙�的半径为 2，则�� +��的最大值为( ) A. 1 + 3 B. 1 + 2 3 C. 2 + 2 3 D. 2 + 3 （第 8题） （第 9题） （第 10题） （第 13题） 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.已知⊙�的半径为 1，点�与点�之间的距离为�，且关于�的方程�2 − 2� + � = 0 没有实数根，则点� 在⊙� (填“内”“上”或“外”)． 12.若扇形的圆心角为 45°，半径为 3，则该扇形的弧长为______． 13.如图，��是⊙�的直径，��，��，��是⊙�的弦，且�� = �� = ��，则∠��� = ． 14.如图，在△ ���中，∠��� = 90°，�� = �� = 10，�为△ ���内一点，∠��� = 15°，�� = 6，连结��， 将△ ���绕点�按逆时针方向旋转，使��与��重合，点�的对应点为�，连结��，交��于点�，则��的长 为 ． 15.已知⊙�的直径�� = 10，弦�� = 8，且�� ⊥ ��于点�，则△ ���的面积为 ． 16.如图，等边三角形���的边长为 2，以�为圆心，1 为半径作圆分别交��，��边于�，�，再以点�为圆 心，��长为半径作圆交��边于�，连接�，�，那么图中阴影部分的面积为______． 第 3页，共 6页 17.如图，在矩形����中，�� = 10, �� = 12，�，�分别是��, ��上的点，且�� ⊥ ��于点�，连接��，则 ��的最小值为 ． 18.如图，⊙�的半径为 5，弦�� = 6，弦�� ⊥ ��，�为��的中点．若点�在圆上逆时针运动的路径长为5�3， 则点�运动的路径长为 ． （第 14题） （第 16题） （第 17题） （第 18题） 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分)如图，��，��是⊙�的两条弦，点�，�分别在��，��上，且�� = ��，�是��的中 点.求证：�� = ��． 20.(本小题 8 分)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点�为圆心的圆的一部分．如果�是⊙�中弦�� 的中点，��经过圆心�交⊙�于点�，�� = 10，�� = 25，求⊙�的半径． 第 4页，共 6页 21.(本小题 8 分)如图所示，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度�� = 32 米，拱高�� = 8 米(�为��的中点， �为��的中点).现要在距离桥的一端 4 米处立一桥墩��支撑，求桥墩的高度． 22.(本小题 8 分)如图，在△ ���中，�� = ��，以��为直径的⊙�分别交��，��于点�，�，连结��，��， ��与��交于点�． (1)求证：��//��； (2)若∠��� = 48°，求∠���的度数； (3)连结��，若�� = 2，�� = 4，求��的长． 23.(本小题 8 分) 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，等边三角形���内接于圆，且顶点�，�均在格点上． (1)线段��的长为 ； (2)若点�在圆上，��与��相交于点�.请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点�，使▵���为等 边三角形，并简要说明点�的位置是如何找到的(不要求证明) ． 第 5页，共 6页 24.(本小题 8 分)如图，在正方形����中，�� = 2，�是��的中点，将▵���绕点�逆时针旋转 90∘后，点� 落在��的延长线上点�处，点�落在点�处．再将线段��绕点�顺时针旋转 90∘得线段��，连结��，��． (1)求证：��//��． (2)求点�，点�在旋转过程中形成的�� ⌢ ，�� ⌢ 与线段��所围成的阴影部分的面积． 25.(本小题 8 分)如图，在△ ���中，�在边��上，圆�为锐角三角形���的外接圆，连结��并延长交��于 点�． (1)如图 1，若∠��� = �，请用含�的代数式表示∠���． (2)如图 2，作�� ⊥ ��，垂足为点�，��与��交于点�，已知∠��� = ∠���． ①求证：�� = ��． ②若�� = 5，�� = 8，求�� + ��的值． 第 6页，共 6页 26.(本小题 8 分) 如图 1，�是⊙�的直径��上一点，�� = 2，�� = 8，过点�作弦�� ⊥ ��，点�在�� ⌢ 上运动，连接��． (1)求��的长． (2)如图 2，连接��，作∠���的平分线交��于点�，在点�运动的过程中，��的长度是否会发生变化？若发 生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． (3)如图 3，过点�作�� ⊥ ��于点�，连接��，求��长的最小值． 第3章 圆的基本性质 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若点在内，点在外，，，则的半径的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 2.如图，是正方形中的边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到的图形是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 3.如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 4.如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 5.如图，内接于，是的直径，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，连接， 是的直径， ． ，  ． 故选：． 连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，又由圆周角定理，可得，再根据三角形内角和定理即可求得答案． 本题主要考查了圆周角定理及其推论，三角形内角和定理等知识，得出和是解题关键． 6.如图，圆内接四边形中，，连结，，，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 7.如图，边长为的网格中有一个“柳叶”形图形，它是由，和线段，围成的，两条弧的圆心分别是点和点，半径都等于则“柳叶”形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：将图形中左边空白部分向右平移的长度，两空白部分正好重叠在一起， 两空白部分的面积之和边长为的正方形面积， “柳叶”形的面积． 故选：． 根据“柳叶”形的面积长方形的面积空白部分的面积可得答案． 本题考查了平移的性质、扇形面积的计算，掌握其面积公式及性质是解决此题的关键． 8.如图，正方形和正三角形都内接于，与，分别相交于点，，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了正多边形与圆的关系，有一定难度． 先设的半径是，则，根据是的平分线，进而求出，在中，求出，的值是多少，然后求出，，再求出的值是多少即可． 【解答】 解：如图，连接、、， ， 根据正方形，正三角形与以及圆的性质，可得， 所以 设的半径是， 则， 是的平分线， ， ， ， ， ，， ， ， 由等腰直角三角形得 ， 故选C． 9.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，连接，满足将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使得，，得到；将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使得，，得到，，如此继续下去，得到，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查旋转的性质、坐标与图形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．由题意可得，将绕原点顺时针旋转，旋转次后，正好旋转一周，再根据每次旋转后，，，，，可得，从而求得，点在轴的负半轴上，据此求解即可． 【详解】解：如图，，， ，， 每一次旋转角是， 旋转次后，正好旋转一周，点在轴的正半轴上， ，点在轴的负半轴上，点在第三象限内， 点在轴的负半轴上， 每次旋转后，，，，， ，，，， 依次类推，， ， 点的坐标为， 故选：． 10.如图，，是的弦，，点在内，为上的动点，，，分别是，，的中点．若的半径为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】提示：连接，，，，则过点作于点，易知，所以，所以，所以因为，，所以因为，，所以当是的直径时，的值最大，此时的值也最大，所以的最大值为所以的最大值为． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知的半径为，点与点之间的距离为，且关于的方程没有实数根，则点在          填“内”“上”或“外”． 【答案】外  【解析】略 12.若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______． 【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长公式． 根据弧长公式，代入相应数值进行计算即可． 【解答】 解：根据弧长公式：， 故答案为： 13.如图，是的直径，，，是的弦，且，则          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，在中，，，为内一点，，，连结，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为，连结，交于点，则的长为          ． 【答案】．  【解析】 【分析】 本题主要考查旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形以及含角的直角三角形的性质，作辅助线求出的长度是解题的关键． 过点作于点根据已知条件得出为等腰直角三角形，逐步推出的度数，利用勾股定理求出，的长度，进而可得出答案． 【解答】 解：过点作于点． 由旋转的性质得，， ． 又， ． ． ，， ， ， ， ． ， ． 故答案为：． 15.已知的直径，弦，且于点，则的面积为          ． 【答案】或  【解析】略 16.如图，等边三角形的边长为，以为圆心，为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为______． 【答案】  【解析】解：过作于，于， 等边三角形的边长为，， ， ， ，， ，， ，， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 过作于，于，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论． 本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17.如图，在矩形中，，，分别是上的点，且于点，连接，则的最小值为          ． 【答案】  【解析】本题考查圆周角定理的推论，勾股定理，矩形的性质．理解点在以为直径的圆上运动是解题关键．根据题意得出，即得出点在以为直径的圆上运动，且圆心为线段的中点，连接，交于点，结合勾股定理可求出，又可得出的最小值即为的长，求出的长即可． 【详解】解：， ， 点在以为直径的圆上运动，且圆心为线段的中点，连接，交于点，如图， ， ． 由图可知的最小值即为的长， ． 故答案为：． 18.如图，的半径为，弦，弦，为的中点．若点在圆上逆时针运动的路径长为，则点运动的路径长为          ． 【答案】  【解析】提示：如图，连接，，，，，，过点作于点因为，所以又因为，，所以因为，，所以，，所以，所以又因为，所以易证≌，所以易得所以点在以点为圆心，为半径的圆上运动．设点在圆上逆时针运动的圆心角为，则由路径长为，得，解得易知，的旋转角度相等，所以点运动的路径长为． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，，是的两条弦，点，分别在，上，且，是的中点求证：． 【答案】略  【解析】略 20.本小题分 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，，求的半径． 【答案】  【解析】略 21.本小题分 如图所示，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度米，拱高米为的中点，为的中点现要在距离桥的一端米处立一桥墩支撑，求桥墩的高度． 【答案】米  【解析】略 22.本小题分 如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连结，，与交于点． 求证：； 若，求的度数； 连结，若，，求的长． 【答案】(1)解：证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD// AC．  (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．∵∠ABE＝48°，∴∠BAC＝90°-∠ABE＝42°．∵AB＝AC，∴，∴∠CBE＝∠ABC-∠ABE＝69°-48°＝21°．  (3)如图，连结AD，DE．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，  即AD⊥BC，BE⊥AC．  又∵AB＝AC，∴BD＝DC，  即D是BC的中点．  又∵BE⊥AC，∴，∴．∵AB＝4，AB＝AC，∴AC＝4．  在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2＝AB2-AE2；  在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2＝BC2-CE2，∴AB2-AE2＝BC2-CE2，  即，  解得AE＝3．   【解析】 略  略  略 23.本小题分 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上． 线段的长为          ； 若点在圆上，与相交于点请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明          ． 【答案】(1)  (2)取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求  【解析】  在网格中用勾股定理求解即可； 【详解】解：； 故答案为：．   取与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点，连接；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求，连接，，过点作网格线，过点作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论． 解：如图，取与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求； 连接，，过点作网格线，过点作网格线，      由图可得：，，， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，即， ，即， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，此时点即为所求； 故答案为：如图，取与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求． 24.本小题分 如图，在正方形中，，是的中点，将绕点逆时针旋转后，点落在的延长线上点处，点落在点处．再将线段绕点顺时针旋转得线段，连结，． 求证：． 求点，点在旋转过程中形成的，与线段所围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：在正方形中，，， 绕点逆时针旋转得到， ，，，， ． 线段绕点顺时针旋转得线段， ， ，． ，，， 四边形是平行四边形，．   (2)解：，是的中点， ， ， 由平行四边形的性质，， ， ．   【解析】 略  略 25.本小题分 如图，在中，在边上，圆为锐角三角形的外接圆，连结并延长交于点． 如图，若，请用含的代数式表示． 如图，作，垂足为点，与交于点，已知． 求证：． 若，，求的值． 【答案】(1)解：如图1，连结OD．∵∠DOC＝2∠DBC＝2α，又∵OD＝OC，∴∠DCE＝90°-α．   (2)①证明：∵∠ABD＝∠CBF，∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC．设∠DBC＝α，由（1）得∠DCE＝90°-α．∵BF⊥AC，∴∠FGC＝∠BGE＝α，∴∠EBG＝∠EGB，∴EB＝EG． ②如图2，作EM⊥BF，EN⊥AC．由①得∠EBG＝α，∠ACE＝90°-α，∵BF⊥AC，∴∠A＝90°-α，∴AE＝CE＝5．∵EN⊥AC，AC＝8，∴CN＝4，∴EN＝3．∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC，∴四边形EMFN为矩形，∴EN＝MF＝3．∵EB＝EG，EM⊥BG，∴BM＝GM，∴FG+FB＝FM-MG+FM+BM＝2FM＝6．   【解析】 略  略 26.本小题分 如图，是的直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接． 求的长． 如图，连接，作的平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． 如图，过点作于点，连接，求长的最小值． 【答案】(1)解：连接OD．因为AE=2，BE=8，所以AB=10，所以⊙O的半径为5，所以OE=OA-AE=3．因为CD⊥AB，所以∠OED=90°，所以，所以CD=2ED=8．  (2)AF的长度不会发生变化，且．理由如下： 连接AD，AC．由题易知，AB垂直平分CD，所以，所以∠ADC=∠ACD=∠AGC．因为CF平分∠DCG，所以∠FCD=∠FCG．因为∠ACF=∠ACD+∠FCD，∠AFC=∠AGC+∠FCG，所以∠ACF=∠AFC，所以AC=AF，故AF的长度不会发生变化，且．   (3)如图，连接BC．取BC的中点Q，连接HQ，DQ．因为∠BEC=90°，BE=8，CE=4，所以．因为BH⊥CG，所以∠BHC=90°，所以．作DP⊥BC于点P，则∠CPD=∠QPD=90°．由等积法可知，，所以．所以，所以．所以．因为DH+QH≥DQ，所以DH≥DQ-QH，即．所以DH的最小值为．   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 圆的基本性质 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若点在内，点在外，，，则的半径的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.如图，是正方形中的边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转后得到的图形是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 5.如图，内接于，是的直径，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，圆内接四边形中，，连结，，，，，则的度数是(    ) A. B. C. D. （第3题） （第4题） （第5题） （第6题） 7.如图，边长为的网格中有一个“柳叶”形图形，它是由，和线段，围成的，两条弧的圆心分别是点和点，半径都等于则“柳叶”形的面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正方形和正三角形都内接于，与，分别相交于点，，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，连接，满足将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使得，，得到；将绕原点顺时针旋转，再将其各边都扩大为原来的倍，使得，，得到，，如此继续下去，得到，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 10.如图，，是的弦，，点在内，为上的动点，，，分别是，，的中点．若的半径为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. （第8题） （第9题） （第10题） （第13题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知的半径为，点与点之间的距离为，且关于的方程没有实数根，则点在          填“内”“上”或“外”． 12.若扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的弧长为______． 13.如图，是的直径，，，是的弦，且，则          ． 14.如图，在中，，，为内一点，，，连结，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，点的对应点为，连结，交于点，则的长为          ． 15.已知的直径，弦，且于点，则的面积为          ． 16.如图，等边三角形的边长为，以为圆心，为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为______． 17.如图，在矩形中，，，分别是上的点，且于点，连接，则的最小值为          ． 18.如图，的半径为，弦，弦，为的中点．若点在圆上逆时针运动的路径长为，则点运动的路径长为          ． （第14题） （第16题） （第17题） （第18题） 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分如图，，是的两条弦，点，分别在，上，且，是的中点求证：． 20.本小题分如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，，，求的半径． 21.本小题分如图所示，某地欲搭建一座圆弧形拱桥，跨度米，拱高米为的中点，为的中点现要在距离桥的一端米处立一桥墩支撑，求桥墩的高度． 22.本小题分如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，连结，，与交于点． 求证：； 若，求的度数； 连结，若，，求的长． 23.本小题分 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上． 线段的长为          ； 若点在圆上，与相交于点请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明          ． 24.本小题分如图，在正方形中，，是的中点，将绕点逆时针旋转后，点落在的延长线上点处，点落在点处．再将线段绕点顺时针旋转得线段，连结，． 求证：． 求点，点在旋转过程中形成的，与线段所围成的阴影部分的面积． 25.本小题分如图，在中，在边上，圆为锐角三角形的外接圆，连结并延长交于点． 如图，若，请用含的代数式表示． 如图，作，垂足为点，与交于点，已知． 求证：． 若，，求的值． 26.本小题分 如图，是的直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接． 求的长． 如图，连接，作的平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值． 如图，过点作于点，连接，求长的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$