第2章 简单事件的概率 综合能力提升卷2025—2026学年浙教版数学九年级上册

第 1页，共 8页 第 2 章 简单事件的概率 综合能力提升卷 一、选择题：本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在一副洗好的扑克牌中随意抽取一张，抽到“大王”的可能性与抽到“红桃 5”的可能性相比( ) A.抽到“大王”的可能性大 B.抽到“红桃 5”的可能性大 C.两种一样大 D.无法确定 2.某路口交通信号灯按照绿灯→黄灯→红灯的顺序循环变化，三种信号灯的时间设置为：绿灯亮 32 秒，黄 灯亮 3 秒，红灯亮 25 秒．当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率为( ) A. 120 B. 8 15 C. 1 3 D. 5 12 3.做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖 1000 次．经过统计得“凸面向上”的频率为 0.44，则可以由此估计抛 掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率为( ) A. 0.22 B. 0.44 C. 0.50 D. 0.56 4.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半长为半径作 弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影 部分的概率为�1，停在空白部分的概率为�2，则�1与�2的大小关系为( ) A. �1 < �2 B. �1 = �2 C. �1 > �2 D.无法判断 5.乒乓球比赛以 11 分为一局，水平相当的甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已经得了 8 分， 乙只得了 2 分，对这局比赛的结果进行预判，下列说法中，正确的是( ) A.甲获胜的可能性比乙大 B.乙获胜的可能性比甲大 C.甲、乙获胜的可能性一样大 D.无法判断 6.某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，选手通过抽取卡片的形式选取 故事的主人公.学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成编号为�，�，�，�的 四张卡片(除编号和内容外，其余完全相同)，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张， 第 2页，共 8页 放回洗匀后，另一人再从中随机抽取一张，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是( ) A. 116 B. 1 12 C. 1 6 D. 1 4 7.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图， 那么符合这一结果的实验最有可能的是( ) A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B.掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 6 C.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D.袋子中有 1 个白球和 2 个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 8.暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山， 争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏 中，不能选用的是(    )． A.掷一枚硬币，正面向上，哥哥赢，反面向上，妹妹赢 B.同时掷两枚硬币，两枚都正面朝上，哥哥赢，一正一反向上，妹妹赢 C.掷一枚骰子，向上的一面是奇数，则哥哥赢，反之妹妹赢 D.在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球，则哥哥赢，是 红球，则妹妹赢 第 3页，共 8页 9.为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成�，�，�，�四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、 毛豆四种蔬菜(如图所示)，每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是 A. 13 B. 2 3 C. 1 6 D. 5 6 10.如图 1，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了 以下办法：用一个长为 10�，宽为 6�的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔 小球，并记录小球落在不规则图案上的次数(小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果)，他将若干次 有效试验的结果绘制成了图 2 所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积是( ) A. 19�2 B. 21�2 C. 23�2 D. 25�2 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。 11.在一个暗箱里放有�个除颜色外其他完全相同的球，这�个球中红球只有 7 个．每次将球搅拌均匀后，任 意摸出 1 个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 20％左右，由 此可以推算出�的值大约是 ． 12.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的 8 个黑球、4 个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出 1 个球， 记下颜色后再放回袋中.通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 0.4，由此可估计袋中有红 球 个. 第 4页，共 8页 13.在如图所示(�, �, �三个区域)的图形中随机撒一把豆子，豆子落在 区域的可能性最大．(填“�”“�” 或“�”) 14.如图，一粒杂质从粗细相同且水平放置的“田字形”水管的进水口流入，在�，�，�三处装有过滤网， 该杂质经过 处过滤网的可能性最大． 15.已知关于�的一元二次方程�2 + �� + �� = 0(1 ≤ � ≤ 3, �为整数)，其中�是从 2，4，6 这三个数中任取 的一个数，�是从 1，3，5 这三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件��(� = 1,2,3)，当�� 的概率最小时，�的所有可能值为 ． 16.看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表， 每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为 10，8，6.若田忌的三 匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为______． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 17.“石头，剪子，布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲，乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3 种 手势中的 1 种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢， 假设甲，乙两人每次都随意并且同时做出 3 种手势中的 1 种.随机出手一次，甲获胜的概率是 ． 18.我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一 原理，常用随机模拟的方法对圆周率�进行估计，用计算机随机产生�个有序数对(�, �)(�、�是实数，且 0 ≤ � ≤ 1，0 ≤ � ≤ 1)，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部．若统计出这 些点中到原点的距离小于或等于 1 的点有�个，则据此可估计�的值为 (用含�、�的式子表示)． 第 5页，共 8页 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题 8 分)有一组颜色、大小相同的卡片，分别标有 1 ∼ 12 这 12 个数，现在将它们背面向上任意颠 倒次序，放好后任意抽取一张，求： (1)�(抽到两位数)． (2)�(抽到一位数)． (3)�(抽到的数是 2 的倍数)． (4)�(抽到的数大于 10)． 20.(本小题 8 分)一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，犹如点亮一座灯塔、撒播一抔种 子、开凿一眼清泉．如今，全民阅读已蔚然成风，氤氲书香正飘满中国，听总书记分享他的读书故事，一 起感语读书之美，不负韶华梦，读书正当时！某校对�.《三国演义》，�.《红楼梦》，�.《西游记》， �.《水浒传》四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． (1)小云从这 4 部名著中随机选择 1 部阅读，她选中《红楼梦》的概率为 ； (2)该校拟从这 4 部名著中选择 2 部作为课外阅读书籍，求《红楼梦》被选中的概率． 21.(本小题 8 分)某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定每购买 100 元商品可以获得 一次转动转盘的机会，如果转盘停止转动时，指针正好落在红、绿、黄区域，那么顾客可以分别获得 80 元、 30 元、10 元购物券；如果不愿转动转盘，那么可以直接获得 10 元购物券.设转盘停止转动时，指针正好落 在红、绿、黄区域的概率依次为 0.1，0.15，0.25． (1)平均来说，每转动转盘 1 次所获得购物券的金额是多少？ (2)小明在家也做了一个同样的试验，转动转盘 10 次后共获得购物券 90 元.据此，小明认为，还是直接领 取 10 元购物券合算，你同意他的说法吗？ 第 6页，共 8页 22.(本小题 8 分)向下图所示的大正三角形区域内投针(区域中每个小正三角形除颜色外完全相同)，针随机 落在某个小正三角形内(边线忽略不计)． (1)投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？ (2)要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为12，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 23.(本小题8 分)下表是中国人民银行公布的中国人寿保险经验生命表(2000 ∼ 2003 年)女性表的部分摘录. 根据下表估算下列概率(结果精确到 0.0001)． 年龄� 生存人数�� 死亡人数�� 0 1 1000000 999339 661 536 30 31 991476 991074 403 428 61 62 63 64 938005 931941 925198 917709 6064 6743 7489 8314 79 80 81 82 649175 616746 582347 546095 32429 34398 36253 37950 (1)一名女性 79 岁当年死亡的概率． (2)一名 61 岁的女性活到 80 岁的概率． 第 7页，共 8页 24.(本小题 8 分)某市教育局为了了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统 计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图： 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： (1)在调查活动中，教育局采取的调查方式是 (填写“全面调查”或“抽样调查”)． (2)教育局抽取的初中生有 人，扇形统计图中�的值是 ． (3)已知平均每天完成作业时长在“100 ≤ � < 110”分钟的 9 名初中生中有 5 名男生和 4 名女生，若从这 9 名学生中随机抽取 1 名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 ． (4)若该市共有初中生 10000 名，则平均每天完成作业时长在“70 ≤ � < 80”分钟的初中生约有 人． 25.(本小题 8 分)“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒.该故事的大意是：齐王有上、中、下 三匹马�1，�1，�1，田忌也有上、中、下三匹马�2，�2，�2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示 如下：�1 > �2 > �1 > �2 > �1 > �2(注：� > �表示�马与�马比赛，�马获胜).一天，齐王找田忌赛马，约 定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利.面对劣势，田忌事先了解到齐王三 局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、 中马、下马比赛，即借助对阵(�2�1, �2�1, �2�1)获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： (1)如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？请求其 获胜的概率． (2)如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请 列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 第 8页，共 8页 26.(本小题 8 分) 一只不透明袋子中，装有红球、黄球、蓝球、白球若干(数量见下表)，这些球除颜外都相同． 颜色 红 黄 蓝 白 数量/个 300 200 90 10 (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸到红球的概率是______； (2)搅匀后先任意摸出 1 个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出 1 个球． ①如何求两次都摸到红球的概率呢？ 【解决问题】小明设计了一个转盘(将转盘二等分)，如图 1，显然，任意转动转盘 1 次，当转盘停止转动时， 指针落在标有“红球”区域的概率为 1 2 .小明利用这个转盘，任意转动转盘 2 次，从而解决了上面的问题， 即两次都摸到红球的概率为______； ②如何求两次都摸到黄球的概率呢？请在图 2 中设计一个转盘(画出示意图)； ③猜想：摸到的球恰好是 1 个红球和 1 个黄球的概率为______． 请在图 3 中设计一个转盘(画出示意图)，并通过将这个转盘任意转动 2 次，用画树状图或列表的方法计算 概率，验证你的猜想； ④摸到的球恰好是 1 个蓝球和 1 个白球的概率为______(直接写出结果)． 第2章 简单事件的概率 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在一副洗好的扑克牌中随意抽取一张，抽到“大王”的可能性与抽到“红桃”的可能性相比(    ) A. 抽到“大王”的可能性大 B. 抽到“红桃”的可能性大 C. 两种一样大 D. 无法确定 【答案】C  【解析】解：在一副洗好的扑克牌中随意抽取一张，“大王”与“红桃”数目都只有一张； 故抽到“大王”的可能性与抽到“红桃”的可能性相等．故A、、D错误． 故选：． 比较“大王”和“红桃”的张数即可． 此题考查概率即可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 2.某路口交通信号灯按照绿灯黄灯红灯的顺序循环变化，三种信号灯的时间设置为：绿灯亮秒，黄灯亮秒，红灯亮秒．当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】 解：三种信号灯设置总时间为秒，其中绿灯有秒，所以随机经过该路口时，遇到绿灯的概率为 3.做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖次．经过统计得“凸面向上”的频率为，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 4.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半长为半径作弧形成的封闭图形将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机停在正方形内的某一点上若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 无法判断 【答案】B  【解析】略 5.乒乓球比赛以分为一局，水平相当的甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已经得了分，乙只得了分，对这局比赛的结果进行预判，下列说法中，正确的是(    ) A. 甲获胜的可能性比乙大 B. 乙获胜的可能性比甲大 C. 甲、乙获胜的可能性一样大 D. 无法判断 【答案】A  【解析】解：乒乓球比赛规则是先取得分差额分的获胜， 所以甲只需再赢分即可获胜，而乙至少需要再赢分方可获胜， 故选A 本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性概率的计算方法． 根据可能性大小的概念判断即可． 6.某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，选手通过抽取卡片的形式选取故事的主人公学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成编号为，，，的四张卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张，放回洗匀后，另一人再从中随机抽取一张，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：从中随机抽取一张，放回洗匀后，另一人再从中随机抽取一张，作树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好都抽到中国数学家的结果数为种， 甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是， 故选：． 根据画树状图法求概率即可． 本题考查了列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率的求法是解题的关键． 7.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是(    ) A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B  【解析】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， 、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； 、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意； 、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意； 故选：． 8.暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是． A. 掷一枚硬币，正面向上，哥哥赢，反面向上，妹妹赢 B. 同时掷两枚硬币，两枚都正面朝上，哥哥赢，一正一反向上，妹妹赢 C. 掷一枚骰子，向上的一面是奇数，则哥哥赢，反之妹妹赢 D. 在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球，则哥哥赢，是红球，则妹妹赢 【答案】B  【解析】A.掷一枚硬币，正面向上概率为，反面向上的概率为，游戏公平，可选，故此选项不符合题意；根据分析可知两枚都正面向上的概率为，一正一反向上的概率为，游戏不公平，不可选，故此选项符合题意；掷一枚骰子，向上的一面是奇数和偶数的概率都为，游戏公平，可选，故此选项不符合题意；在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球的概率为，是红球的概率为，游戏公平，可选，故此选项不符合题意故选B． 9.为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成，，，四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜如图所示，每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是 A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：把白菜、茄子、辣椒、毛豆分别记作、、、， 画树状图如图所示： 由图可知，等可能的结果共有种，其中白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的结果有种， 白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是． 故选A． 10.如图，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】本题主要考查几何概率以及用频率估计概率，理解小球在阴影部分出现的概率可以近似表示阴影面积与长方形的比值是解题关键。 由折线图可知，小球出现的频率大概在，也即阴影面积与长方形的比值是，计算出长方形的面积，即可得到阴影面积。 【解答】 解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：， 解得， 估计不规则图案的面积大约是． 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.在一个暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球只有个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，由此可以推算出的值大约是          ． 【答案】  【解析】略 12.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个黑球、个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出个球，记下颜色后再放回袋中通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中有红球          个 【答案】  【解析】设袋中有红球个，根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故估计袋中有红球个． 13.在如图所示三个区域的图形中随机撒一把豆子，豆子落在          区域的可能性最大．填“”“”或“” 【答案】  【解析】略 14.如图，一粒杂质从粗细相同且水平放置的“田字形”水管的进水口流入，在，，三处装有过滤网，该杂质经过          处过滤网的可能性最大． 【答案】  【解析】由题图可知，其中经过处的可能性有种，经过处的可能性有种，经过处的可能性有种，  所以该杂质经过处过滤网的可能性最大． 15.已知关于的一元二次方程为整数，其中是从，，这三个数中任取的一个数，是从，，这三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件，当的概率最小时，的所有可能值为          ． 【答案】，  【解析】提示：当时，方程的根的判别式为将，各取一个数代入，共种情况，其中使的有种，所以同理可得，当时，；当时，故当的概率最小时，的所有可能值为，． 16.看了田忌赛马故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为，，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为______． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 田忌 【答案】  【解析】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为，，时，田忌的马按，，的顺序出场，田忌才能赢得比赛， 当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下： 双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢， 田忌能赢得比赛的概率为． 列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有种，再由概率公式求解即可． 本题考查了利用列表法或树状图法求概率；用的的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 17.“石头，剪子，布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲，乙两人都做出“石头”“剪子”“布”种手势中的种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢，假设甲，乙两人每次都随意并且同时做出种手势中的种随机出手一次，甲获胜的概率是        ． 【答案】  【解析】解：甲获胜的概率是； 故答案为：． 直接根据概率公式求解即可． 本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 18.我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率进行估计，用计算机随机产生个有序数对、是实数，且，，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部．若统计出这些点中到原点的距离小于或等于的点有个，则据此可估计的值为          用含、的式子表示． 【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 根据落在扇形内的点的个数与正方形内点的个数之比等于两者的面积之比列出，即可得出答案． 【解答】 解：根据题意，点的分布如图所示： 则有， 易得． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 有一组颜色、大小相同的卡片，分别标有这个数，现在将它们背面向上任意颠倒次序，放好后任意抽取一张，求： 抽到两位数． 抽到一位数． 抽到的数是的倍数． 抽到的数大于． 【答案】           【解析】略 20.本小题分 一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，犹如点亮一座灯塔、撒播一抔种子、开凿一眼清泉．如今，全民阅读已蔚然成风，氤氲书香正飘满中国，听总书记分享他的读书故事，一起感语读书之美，不负韶华梦，读书正当时某校对三国演义，红楼梦，西游记，水浒传四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． 小云从这部名著中随机选择部阅读，她选中红楼梦的概率为          ； 该校拟从这部名著中选择部作为课外阅读书籍，求红楼梦被选中的概率． 【答案】(1)  (2)  【解析】 略  略 21.本小题分 某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定每购买元商品可以获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止转动时，指针正好落在红、绿、黄区域，那么顾客可以分别获得元、元、元购物券；如果不愿转动转盘，那么可以直接获得元购物券设转盘停止转动时，指针正好落在红、绿、黄区域的概率依次为，，． 平均来说，每转动转盘次所获得购物券的金额是多少？ 小明在家也做了一个同样的试验，转动转盘次后共获得购物券元据此，小明认为，还是直接领取元购物券合算，你同意他的说法吗？ 【答案】(1)15元.  (2)不同意.  【解析】 略  略 22.本小题分 向下图所示的大正三角形区域内投针区域中每个小正三角形除颜色外完全相同，针随机落在某个小正三角形内边线忽略不计． 投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？ 要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 【答案】(1)解：∵阴影部分的面积与大正三角形的面积的比值是，∴投针一次，针落在阴影区域的概率为．  (2)要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，  还要涂黑2个小正三角形．如图所示（答案不唯一）．   【解析】 略  略 23.本小题分 下表是中国人民银行公布的中国人寿保险经验生命表年女性表的部分摘录根据下表估算下列概率结果精确到． 年龄 生存人数 死亡人数 一名女性岁当年死亡的概率． 一名岁的女性活到岁的概率． 【答案】   【解析】略 24.本小题分 某市教育局为了了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：   请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： 在调查活动中，教育局采取的调查方式是          填写“全面调查”或“抽样调查”． 教育局抽取的初中生有          人，扇形统计图中的值是          ． 已知平均每天完成作业时长在“”分钟的名初中生中有名男生和名女生，若从这名学生中随机抽取名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是          ． 若该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有          人． 【答案】(1)抽样调查  (2)300 ;30  (3)  (4)3000  【解析】 略   教育局抽取的初中生人数为人，组人数为人，组所占的百分比为，．   名初中生中有名男生和名女生，从这名学生中随机抽取名进行访谈，恰好抽到男生的概率是．   样本中平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生占比，该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人． 25.本小题分 “田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，，，田忌也有上、中、下三匹马，，，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：注：表示马与马比赛，马获胜一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： 如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？请求其获胜的概率． 如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】(1)田忌首局应出“下马”才可能获得整场比赛的胜利. 此时比赛的所有可能对阵为(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2C1，A2B1)，(C2A1，B2B1，A2C1)，(C2A1，A2C1，B2B1)，共4种. 其中田忌获胜的对阵有(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2C1，A2B1)这2种， 故此时田忌获胜的概率为P1=.   (2)不是. 齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是(C2A1，A2B1，B2C1)； 齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是(C2A1，B2C1，A2B1)； 齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是(A2B1，C2A1，B2C1)； 齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是(A2B1，B2C1，C2A1)； 齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是(B2C1，C2A1，A2B1)； 齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是(B2C1，A2B1，C2A1). 综上所述，田忌获胜的所有对阵是(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2C1，A2B1)，(A2B1，C2A1，B2C1)，(A2B1，B2C1，C2A1)，(B2C1，C2A1，A2B1)，(B2C1，A2B1，C2A1). 齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，比赛的所有可能对阵是(A2A1，B2B1，C2C1)，(A2A1，C2B1，B2C1)，(B2A1，A2B1，C2C1)，(B2A1，C2B1，A2C1)，(C2A1，A2B1，B2C1)，(C2A1，B2B1，A2C1)，共6种. 同理，齐王的其他各种出马顺序也都分别有相应的6种可能对阵， 故田忌获胜的概率为P2=.   【解析】 略  略 26.本小题分 一只不透明袋子中，装有红球、黄球、蓝球、白球若干数量见下表，这些球除颜外都相同． 颜色 红 黄 蓝 白 数量个 搅匀后从中任意摸出个球，则摸到红球的概率是______； 搅匀后先任意摸出个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出个球． 如何求两次都摸到红球的概率呢？ 【解决问题】小明设计了一个转盘将转盘二等分，如图，显然，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针落在标有“红球”区域的概率为小明利用这个转盘，任意转动转盘次，从而解决了上面的问题，即两次都摸到红球的概率为______； 如何求两次都摸到黄球的概率呢？请在图中设计一个转盘画出示意图； 猜想：摸到的球恰好是个红球和个黄球的概率为______． 请在图中设计一个转盘画出示意图，并通过将这个转盘任意转动次，用画树状图或列表的方法计算概率，验证你的猜想； 摸到的球恰好是个蓝球和个白球的概率为______直接写出结果． 【答案】     【解析】解：， 故答案为：； 列表法如图： ， 故答案为：； 摸一次黄球的概率， 示意图，如图； 猜想：； 证明：列表法如下： ； 故答案为：； 参考上述方法，将一个圆分成份，其中红色占份，黄色占份，蓝色占份，白色占份， 共有种等可能事件， 其中一蓝一白的事件有种， ， 故答案为：． 利用概率公式求解即可； 根据题干信息列出表格即可得解； 参考思路画出示意图，分成份，黄球占，即可得解； 画出示意图，分成六份，红球占份，黄球占份，蓝球和白球共占一份，再用列表法求解即可； 参考前述思路，将圆分成份，其中红色占份，黄色占份，蓝色占份，白色占份，再求解即可． 本题主要考查了概率公式、设计作图、树状图或列表法等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 简单事件的概率 综合能力提升卷 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在一副洗好的扑克牌中随意抽取一张，抽到“大王”的可能性与抽到“红桃”的可能性相比(    ) A. 抽到“大王”的可能性大 B. 抽到“红桃”的可能性大 C. 两种一样大 D. 无法确定 2.某路口交通信号灯按照绿灯黄灯红灯的顺序循环变化，三种信号灯的时间设置为：绿灯亮秒，黄灯亮秒，红灯亮秒．当人或车随机经过该路口时，遇到绿灯的概率为(    ) A. B. C. D. 3.做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖次．经过统计得“凸面向上”的频率为，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率为(    ) A. B. C. D. 4.如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半长为半径作弧形成的封闭图形将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机停在正方形内的某一点上若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 无法判断 5.乒乓球比赛以分为一局，水平相当的甲、乙两人进行乒乓球比赛，在一局比赛中，甲已经得了分，乙只得了分，对这局比赛的结果进行预判，下列说法中，正确的是(    ) A. 甲获胜的可能性比乙大 B. 乙获胜的可能性比甲大 C. 甲、乙获胜的可能性一样大 D. 无法判断 6.某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，选手通过抽取卡片的形式选取故事的主人公学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成编号为，，，的四张卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，一人从中随机抽取一张，放回洗匀后，另一人再从中随机抽取一张，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是(    ) A. B. C. D. 7.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是(    ) A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 C. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D. 袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 8.暑假快到了，父母打算带兄妹俩去某个景点旅游一次，长长见识，可哥哥坚持去黄山，妹妹坚持去泰山，争执不下，父母为了公平起见，决定设计一款游戏，若哥哥赢了就去黄山，妹妹赢了就去泰山．下列游戏中，不能选用的是． A. 掷一枚硬币，正面向上，哥哥赢，反面向上，妹妹赢 B. 同时掷两枚硬币，两枚都正面朝上，哥哥赢，一正一反向上，妹妹赢 C. 掷一枚骰子，向上的一面是奇数，则哥哥赢，反之妹妹赢 D. 在不透明的袋子中装有两黑两红四个球，除颜色外，其余均相同，随机摸出一个是黑球，则哥哥赢，是红球，则妹妹赢 9.为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成，，，四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜如图所示，每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是 A. B. C. D. 10.如图，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.在一个暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球只有个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，由此可以推算出的值大约是          ． 12.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个黑球、个白球和若干个红球每次摇匀后随机摸出个球，记下颜色后再放回袋中通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中有红球          个 13.在如图所示三个区域的图形中随机撒一把豆子，豆子落在          区域的可能性最大．填“”“”或“” 14.如图，一粒杂质从粗细相同且水平放置的“田字形”水管的进水口流入，在，，三处装有过滤网，该杂质经过          处过滤网的可能性最大． 15.已知关于的一元二次方程为整数，其中是从，，这三个数中任取的一个数，是从，，这三个数中任取的一个数，定义“方程有实数根”为事件，当的概率最小时，的所有可能值为          ． 16.看了田忌赛马故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为，，若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为______． 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 田忌 17.“石头，剪子，布”是一个广为流传的游戏，规则是：甲，乙两人都做出“石头”“剪子”“布”种手势中的种，其中“石头”赢“剪子”，“剪子”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢，假设甲，乙两人每次都随意并且同时做出种手势中的种随机出手一次，甲获胜的概率是        ． 18.我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”计算圆周率．随着时代发展，现在人们依据频率估计概率这一原理，常用随机模拟的方法对圆周率进行估计，用计算机随机产生个有序数对、是实数，且，，它们对应的点在平面直角坐标系中全部在某一个正方形的边界及其内部．若统计出这些点中到原点的距离小于或等于的点有个，则据此可估计的值为          用含、的式子表示． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分有一组颜色、大小相同的卡片，分别标有这个数，现在将它们背面向上任意颠倒次序，放好后任意抽取一张，求： 抽到两位数． 抽到一位数． 抽到的数是的倍数． 抽到的数大于． 20.本小题分一起感悟读书之美，推广全民阅读，建设“书香中国”，犹如点亮一座灯塔、撒播一抔种子、开凿一眼清泉．如今，全民阅读已蔚然成风，氤氲书香正飘满中国，听总书记分享他的读书故事，一起感语读书之美，不负韶华梦，读书正当时某校对三国演义，红楼梦，西游记，水浒传四大名著开展“传统文化经典著作”推荐阅读活动． 小云从这部名著中随机选择部阅读，她选中红楼梦的概率为          ； 该校拟从这部名著中选择部作为课外阅读书籍，求红楼梦被选中的概率． 21.本小题分某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定每购买元商品可以获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止转动时，指针正好落在红、绿、黄区域，那么顾客可以分别获得元、元、元购物券；如果不愿转动转盘，那么可以直接获得元购物券设转盘停止转动时，指针正好落在红、绿、黄区域的概率依次为，，． 平均来说，每转动转盘次所获得购物券的金额是多少？ 小明在家也做了一个同样的试验，转动转盘次后共获得购物券元据此，小明认为，还是直接领取元购物券合算，你同意他的说法吗？ 22.本小题分向下图所示的大正三角形区域内投针区域中每个小正三角形除颜色外完全相同，针随机落在某个小正三角形内边线忽略不计． 投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？ 要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画出． 23.本小题分下表是中国人民银行公布的中国人寿保险经验生命表年女性表的部分摘录根据下表估算下列概率结果精确到． 年龄 生存人数 死亡人数 一名女性岁当年死亡的概率． 一名岁的女性活到岁的概率． 24.本小题分某市教育局为了了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：   请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： 在调查活动中，教育局采取的调查方式是          填写“全面调查”或“抽样调查”． 教育局抽取的初中生有          人，扇形统计图中的值是          ． 已知平均每天完成作业时长在“”分钟的名初中生中有名男生和名女生，若从这名学生中随机抽取名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是          ． 若该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有          人． 25.本小题分“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，，，田忌也有上、中、下三匹马，，，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：注：表示马与马比赛，马获胜一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： 如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？请求其获胜的概率． 如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 26.本小题分 一只不透明袋子中，装有红球、黄球、蓝球、白球若干数量见下表，这些球除颜外都相同． 颜色 红 黄 蓝 白 数量个 搅匀后从中任意摸出个球，则摸到红球的概率是______； 搅匀后先任意摸出个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出个球． 如何求两次都摸到红球的概率呢？ 【解决问题】小明设计了一个转盘将转盘二等分，如图，显然，任意转动转盘次，当转盘停止转动时，指针落在标有“红球”区域的概率为小明利用这个转盘，任意转动转盘次，从而解决了上面的问题，即两次都摸到红球的概率为______； 如何求两次都摸到黄球的概率呢？请在图中设计一个转盘画出示意图； 猜想：摸到的球恰好是个红球和个黄球的概率为______． 请在图中设计一个转盘画出示意图，并通过将这个转盘任意转动次，用画树状图或列表的方法计算概率，验证你的猜想； 摸到的球恰好是个蓝球和个白球的概率为______直接写出结果． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$