第六章反比例函数练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第六章 反比例函数 练习 一、单选题 1．下列关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一条过原点的直线与双曲线的一个交点为，则它们的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，直角边在x轴上，，，，连接，，则k的值是（   ） A． B． C． D． 5．如图，曲线表示温度与时间之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度时，时间t应（   ） A．不小于 B．不大于 C．不小于 D．不大于 6．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 7．已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 8．函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知一次函数和反比例函数的图象相交于、两点，则不等式的解集为（   ） A．或 B． C． D．或 10．如图，两个反比例函数和在第一象限的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是反比例函数的图象上的两个点，则 （填“”、“”或“”） 12．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 13．如图，点B是反比例函数图象上的点，点A是反比例函数图象上的点，线段轴于点．若，对于反比例函数，当时，的值为 ． 14．如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、……、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③……”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，……，则 ． 15．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与药物在空气中的持续时间x分钟成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物20分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能呆在教室里． 三、解答题 16．如图，已知一次函数与反比例函数的图像分别交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 17．如图，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求m，n的值，并求反比例函数的解析式； (2)设直线与x轴交于点C，若P为x轴上一点，当的面积为3时，求点P的坐标． (3)直接写出不等式的解集． 18．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，已知点，平行四边形的边与y轴交于点，且E为的中点，双曲线经过C、D两点． (1)求反比例函数表达式； (2)点P在双曲线上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标； (3)以线段为对角线作正方形（如图3），点P为对角线上一动点，连接，过点P作．交于点M，以、为邻边作矩形，连接．试探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出值的范围． 20．已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； (2)求当，且时，自变量的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第六章 反比例函数 练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B B B D B A D 1．A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握“反比例函数解析式的一般式”是解题的关键．根据反比例函数的定义，即可判断各函数类型是否符合题意． 【详解】解：A、可变形为是的反比例函数，符合题意； B、是的正比例函数，不符合题意； C、不是的反比例函数，不符合题意； D、，y不是的反比例函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，利用关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反，解答即可． 本题考查了图象是中心对称图形，熟练掌握关于原点对称的点的特点横坐标相反，纵坐标也相反是解题的关键． 【详解】解：根据过原点的直线与反比例函数构成的是中心对称图形，且一个交点为， 则另一个交点为， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征；熟练运用含的直角三角形三边的关系进行几何计算． 根据三角形外角性质得，易得，然后在中利用含的直角三角形三边的关系得到，，则可确定点A坐标为，最后把点A坐标代入反比例函数解析式中即可得到的值． 【详解】解：，， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， 点的坐标为， 把代入反比例函数解析式中得：． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查反比例函数的性质，待定系数法求比例系数k是解题第一步，准确求出函数解析式和数形结合是关键． 首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围和结合图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】解：设函数解析式为， 经过点， ， 函数解析式为， 当时，，解得， ∴由图象可知，当时，，即时间t应不大于． 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，理解反比例函数的性质成为解题的关键． 根据题意有：当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象过点，求其解析式；再求出气球内的气压不大于时，气体体积的取值范围即可． 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， ∵图象过 ∴，解得：， ∴ ∴当时， ． 故选B． 7．D 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数成为解题的关键． 先根据反比例函数的定义求得k的值，然后由给点的横纵坐标相乘结果是的就在此函数图象上，据此即可解答． 【详解】解：∵在双曲线上， ∴， ∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上． A、因为，所以该点不在双曲线上，故A选项不符合题意； B、因为，所以该点不在双曲线上，故B选项不符合题意； C、因为，所以该点不在双曲线上，故C选项不符合题意； D、因为，所以该点在双曲线上，故D选项符合题意． 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质． 根据反比例函数和一次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解：当时，经过第一、三象限，经过第二、三、四象限， 故A、C不符合题意； 当时，经过第二、四象限，经过第一、二、三象限， 故B符合题意，D不符合题意； 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象，发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集是或． 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数和比例系数几何意义得到，，然后利用面积相减即可，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点， ∴，， ∴的面积为， 故选：． 11． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出，的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点是反比例函数的图象上的两个点， ∴， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了反比例函数中系数的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数中系数的几何意义是解决本题的关键． 设，点的横坐标为，利用求出，再利用求出值即可． 【详解】解：设，点的横坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， ∴， 当时，的值为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ ， 故答案为：． 15．80 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设出燃烧后的函数关系式，并利用待定系数法求出对应的函数关系式，再求出函数值为4时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：设燃烧后的函数关系式为， ∴， ∴， ∴燃烧后的函数关系式为， 在中，当时，， ∴从消毒开始，至少需要经过80分钟后，学生才能呆在教室里， 故答案为：80． 16．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把代入反比例函数可求得，即可得到反比例函数的解析式，再将代入可求得，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图象与轴交点坐标，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图象在反比例函数图像上方的取值范围即可． 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式等知识点，正确确定反比例函数和一次函数的解析式是解答本题的关键． 【详解】（1）将代入得，，所以； 将代入得，， ∴； 将代入得，， 解得， ∴. 所以一次函数和反比例函数的关系式分别为：，； （2）设与轴交于，则， 则； （3）由图可知，时，或. 17．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，求函数解析式，根据面积求点的坐标，通过图象判断不等式的解集等内容，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质． （1）先根据一次函数解析式求出点坐标，然后再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，假设，根据三角形的面积进行求解即可； （3）根据函数图象及交点即可判定出不等式的解集． 【详解】（1）解：将，两点分别代入得， ， 解得， ∴，， 将代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当函数值为0时得， ， 解得， ∴， 假设，根据题意得， ， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：根据图象及交点可得，当时， 或． 18．(1)， (2)或 (3)存在；或或 【分析】（1）把点的坐标代入，得出反比例函数解析式；把点的坐标代入，求出的值，得到一次函数的解析式； （2）求出点，设，根据可得，由点是反比例函数图象上的一个动点，即可得点的坐标； （3）根据平行四边形的性质和中点坐标公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数与一次函数的交点， ∴，， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，； （2）解：一次函数中，当时，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴或， ∴或； （3）解：∵点是轴上一点，点是反比例函数图象上一点， ∴，， 解得或， ∴， ∵以点为顶点的四边形是平行四边形， ∴①以为对角线时，由中点坐标公式得， ∴， ∴； ②以为对角线时，由中点坐标公式得， ∴， ； ③以为对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ； 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 19．(1)； (2)或或； (3)是，． 【分析】（1）求解，设，结合，可得，可得，进一步可得答案； （2）如图，当为对角线时，四边形为平行四边形；如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，如图，当为对角线时，四边形为平行四边形，进一步结合平移性质与平行四边形的性质求解即可； （3）如图，作于，于，证明四边形为正方形，可得，证明，可得，证明矩形为正方形，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，为中点， ∴， 设， 又∵， ∴， ∵点，都在双曲线上， ∴， ∴， ∴； ∴反比例函数表达式为：； （2）解：如图，当为对角线时，四边形为平行四边形； ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 如图，当为对角线时，四边形为平行四边形， ∴，， 设，， ∴，解得：， ∴， 综上：或或； （3）解：如图，作于，于，   点是正方形对角线上的点， ∴，， ， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ∴矩形为正方形， 正方形和正方形， ，，， ， ， ， ∴是定值． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 20．(1)，画图见详解 (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 补充其函数图象如下： （2）解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$