第四章图形的相似练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第四章 图形的相似 练习 一、单选题 1．如果，那么下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．线段与线段交于点，连接、、、，若，且，，，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．如图，在中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，F为延长线上一点，则图中相似三角形有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 5．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（  　） A． B． C． D． 6．如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　） A．， B．，2 C．， D．，2 7．如图，在中，，，正方形的顶点E，F在内，顶点D，G分别在边上，，，则点F到的距离为（    ） A．3 B．2 C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，且，连接，若，则的长为（   ） A．4 B．9 C． D．15 9．如图，在中，点、分别在边、上，连接，则下列条件中，不一定能使的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点D是上一点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接，，，．若已知的面积，则一定能求出（    ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 二、填空题 11．，，则a、b的比例中项是 ． 12．如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 13．如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为 ． 14．如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的纵坐标为，则点的横坐标为 ． 15．如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 三、解答题 16．如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． 17．如图，在中，，请用尺规作图的方法在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，在矩形中，，，动点M以的速度从A点出发，沿向点B运动，同时动点N以的速度从点D出发，沿向点A运动，设运动的时间为秒（）． (1)______；______．（用含t的式子表示） (2)当为何值时，的面积等于矩形面积的？ (3)是否存在某一时刻，使得以A、M、N为顶点的三角形与相似?若存在，求出的值，若不存在,请说明理由． 19．如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点，不重合），过点作，交边的延长线于点，连接交边于点，连接． (1)如图1， ①若，，则　　　； ②求证：． (2)如图2，若平分，连接，求证：四边形为菱形． 20．【问题情境】已知矩形和矩形，点E在边上，矩形在边的上方，且，连接． 【特例发现】（1）如图1，当时，那么的值为______；（提示：在边上取一点M，使得，连接） 【拓展延伸】（2）如图2，当时，连接，． ①求证：； ②若，且，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 图形的相似 练习2025-2026学年北师大版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A D B D A A C B 1．A 【分析】根据比例式的性质得出的关系，分别代入四个选项即可得出答案，也可用特殊值法求出；此题主要考查了比例式的性质，利用特殊值法进行排除更为简单，也是数学中的重要思想． 【详解】解： 设 A、，该选项不成立； B、，该选项成立； C、，该选项成立； D、，该选项成立； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 先证，根据对应边成比例求出的长度，再证，利用面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】如图：∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 解得：， 经检验，都是原方程的根， ∵，即，且， ∴， ∴， 当时，， ； 当时，， ； 故选：A． 3．A 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质求线段长，涉及平行线的判定与性质、平行四边形性质等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．过点作，如图所示，先判定，进而由相似比求出，再判定，进而由相似比求出即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ， 在中，对角线，相交于点，则， ，即， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ，即， 故选：A． 4．D 【分析】根据平行四边形的性质，得到平行线，再利用平行线去判定三角形的相似． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键． 设点的横坐标为，然后表示出、的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解． 【详解】解：设点的横坐标为， 则、间的横坐标的差为，、间的横坐标的差为， 放大到原来的倍得到， ， 解得： 故选：B 6．D 【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识．两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于点， 点就是位似中心，坐标为， ． ． 故选：D． 7．A 【分析】过点A作于点M，交于点N，延长交于点H，通过证明，可得，可证，可证，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案． 【详解】解：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 8．A 【分析】取的中点H，连接，利用矩形的性质与三角形中位线证明，，再证明，得，从而可求得，再证明，得，从而求得，从而可由矩形的性质求得的长． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵矩形， ∴， ，，， ∵点E是的中点， ∴，， ∵点F是的中点，点H是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查三角形相似的判定． 逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知． A、添加，可由两组角对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意； B、添加，可由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意； C、添加，不能证明，故该选项符合题意； D、添加，可由两组角对应相等的两个三角形相似证明，故该选项不符合题意． 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，，由，可证，则，，可证，则，由，即可求的面积，然后判断作答即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即可求的面积， 故选：B． 11．或6 【分析】此题考查了比例中项，关键是理解比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即比例中项．根据比例中项的概念，设、的比例中项是，则，再利用比例的基本性质计算得到的值． 【详解】解；设、的比例中项是，则 ，， ， 解得：； 故答案为：或6． 12．3 【分析】作于点M，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据等角对等边得到，证明，得到，证明，得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，作于点M， 由题意得，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴ ， ， ，， ∴ ，即， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，先根据求出，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．连接，，由正方形的性质可得，，，证明，得到，则可推出当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，再根据，，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形是正方形。 ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 图②中，图象上最低点的纵坐标为， ， 点是的中点， ， 在中，由勾股定理可得 ， 正方形的边长为， ， ， ， ， ， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 15．①②③ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 先证明，即可判定①；由，推出推出，由，推出，即可判定②；只要证明垂直平分，即可判定③；设，，则，由可得，即，可得，可判断④． 【详解】解：①如图：过D作交于N， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴垂直平分， ∴，故③正确； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④错误． 综上所述，正确结论①②③． 故答案为：①②③． 16．(1)见解析； (2)①2；②． 【分析】本题考查的是矩形的性质、平行四边形性质与判定及相似三角形判定与性质， （1）先证明，根据相似三角形性质即可证明结论； （2）①过点作，垂足为，设，借助三角形面积求出即可；②作，垂足为，作，垂足为，设，借助三角形面积求出，再通过求出，证明四边形是平行四边形，从而证明，即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， 设，则， ∴， 即， ∴点到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 设， ， ， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． 17．作图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、相似三角形的判定等知识，以为圆心，大于C到的距离为半径画弧，交于E，F两点；再以E，F为圆心，以大于为半径画弧，交于一点；作射线交于，此时 ，点即为所求 ． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 此时，，则， 则点D即为所求． 18．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了相似三角形—动点问题，一元二次方程的应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和矩形的性质是解决问题的关键； （1）根据路程等于速度乘以时间，进一步列代数式即可； （2）由的面积等于矩形面积的，可得，即可求得或； （3）与相似，分为两种情况讨论即可得到或. 【详解】（1）解：由题意可得：，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴； （2）解：由（1），，； ∵的面积等于矩形面积的， ∴， 解之得:，， ∴或时，的面积等于矩形面积的； （3）存在．理由如下： 解：∵与相似， ∴分为两种情况： ①当时 ∴，即， 解得：， ②当时， ∴，即， 解得：， 综上所述,当或时，以A、M、N为顶点的三角形与相似. 19．(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据矩形的性质得，根据勾股定理即可求解； ②根据矩形的性质得，求得，推得，证得，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据角平分线的定义可得,证得，可得，，再证得，可得，再结合（1）的结论可得，利用等角的余角相等可得，推得，利用菱形的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， ， ，， 在中，． 故答案为：； ②证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ，，即， ， ． （2）证明：平分， ， 由（1）得：，且， ， ，， ，， ， ， 由（1）知， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题关键． 20．（1）；（2）①见解析；②5 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键； （1）在边上取一点M，使，连接，则，根据证明即可； （2）①对图形进行标注，如图，证明，由，可得，进一步可得结论，即可得出结论； ②过F作于H，结合，证明，求出，，再运用勾股定理求出． 【详解】．解：（1）如图，在边上取一点M，使，连接，则， ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：对图形进行标注，如图， ∵，， ∴， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ②如图，过点F作于点H， 由①知，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 即，解得，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$