5.3二元一次方程组的应用 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 5.3 二元一次方程组的应用（第1课时） 列一元一次方程解应用题的步骤： （1）审题； （2）找等量关系，设未知数； （3）列方程； （4）解方程； （5）检验并作答. 1.让学生经历列方程组解决实际问题的过程. 2.通过现实问题情景列方程组，理解解决问题的关键是分析题意，找出题目中的两个等量关系，列出方程组. 3.在建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和应用能力. 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ （1）上有三十五头的意思是 ， 下有九十四足的意思是 . （2）如果设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有 只； 鸡足有 只；兔足有 只. （3）根据题意得方程组为 . （4）解方程组得，鸡有___只，兔有____只. （x+y） 2x 4y x+y=35 2x+4y=94 23 12 鸡、兔共有头35个 鸡、兔共有脚94只 例 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？ 【例题】 【解析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得 x+10=6（y-10) x-10=y+10 解这个方程组得 x=38 y=18 所以，甲带了38钱，乙带了18钱. 1.甲、乙两人参加植树活动，两人共植树20棵，已知甲植树数是乙的1.5倍.如果设甲植树x棵，乙植树y棵，那么可列方程组为（ ） C 【跟踪训练】 2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共 有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只， x+y=10 6x+8y=68 则列出方程组为___________. 3.小刚有5角硬币和一元硬币共8枚，币值共有6元5角，设5角的有x 枚，一元的有y枚，列出的方程组为 x+y=8 0.5x+y=6.5 ______________. 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）设两个未知数，找两个等量关系； （3）根据等量关系列方程，联立方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答. 1.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2 900朵红花，3 750朵紫花，则黄花一共用 了　　　 朵． 【解析】设甲种盆景有x盆，乙种盆景有y盆，丙种盆景有z盆. 由题意得 由25x+25z=3750可得x+z=150，则有 15x+10y+10z=5x+10（x+z）+10y=2 900，即x+2y=280， 则黄花的数量为： 24x+12y+18z=6x+18（x+z）+12y=6（x+2y）+2 700 =1 680+2 700=4 380（朵） 答案：4 380 2.今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》）题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”。每头牛、每只羊各值多少“金”？ 【解析】设每头牛值“金”x 两,每头羊值“金”y 两, 由题意,得 答:每头牛值“金” 两,每只羊值“金” 两. 5x + 2y =10, 2x + 5y =8. 解得 x = y = 3.已知某电脑公司有A型，B型，C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6 000元，B型每台4 000元，C型每台2 500元，我市东坡中学计划将100 500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由. 解得 【解析】设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况考虑： 不合题意，应该舍去. （1）只购进A型电脑和B型电脑，根据题意： （2）只购进A型电脑和C型电脑，根据题意： （3）只购进B型电脑和C型电脑，根据题意： 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台. 解得 解得 4.今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人．求该市今年外来和外出旅游的人数． 【解析】设该市去年外来人旅游的数为 x 万人，外出旅游的人数为 y 万人，由题意得: 解得： 则今年外来旅游的人数为：100×（1+30%）=130（万人）， 今年外出旅游的人数为：80×（1+20%）=96（万人）． 答：该市今年外来旅游的人数为130万人，外出旅游的人数为96万人． 第五章 二元一次方程组 5.3 二元一次方程组的应用（第2课时） 1.一个人的工资今年比去年增长了20%后变为6 000元，则该 人去年的工资为 元. 2.某药品在2024年涨价25%后，2025年降价20%至a元，则 该药品在2024年涨价前的价格为 元. a 5 000 3.小李到银行去储蓄5000元，这种储蓄的年利息为1.5%， 若他储蓄了5年，则小李5年后得到的本息和是 元. 5375 1.让学生经历列方程组解决实际问题的过程. 2.通过现实问题情景列方程组，理解解决问题的关键是分析题意，找出题目中的两个等量关系，列出方程组. 3.在建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和应用能力. 问题1：增长（亏损）率问题的公式？ 问题2：银行利率问题中的公式？（利息、本金、利率） 原量×（1+增长率）=新量 原量×（1-亏损率）=新量 利息=本金×利率×期数（时间） 本息和=本金+利息 想一想 【分析】设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则有 年份 总收入/万元 总支出/万元 利润/万元 去年 今年 (1+20﹪)x (1-10﹪)y 780 根据上表,你能通过列方程组解决这个问题吗? x y 200 【例1】某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元,今年的总收入比去年增加了20％,总支出比去年减少了10％,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元? 【例题】 【解析】设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则有 x-y=200 (1+20﹪)x-(1-10﹪)y=780 因此,去年的总收入是2 000万元,总支出是1 800万元. 解得 x=2 000 y=1 800 某校环保小组成员收集废电池,第一天收集了一号电池4节，五号电池5节，总重为460 g，第二天收集了一号电池2节，五号电池3节，总重为240 g，则一号电池和五号电池每节分别重多少克？ 【跟踪训练】 【解析】设一号电池和五号电池每节分别重x g，y g,则可列方程组 4x+5y=460， 2x+3y=240. 解这个方程组得 x=90， y=20. 答：一号电池和五号电池每节分别重90 g，20 g. 【例2】医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要? 【例题】 【解析】设每餐用甲、乙原料各x g，y g. 则有下表: 成分 甲原料x g 乙原料y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x x 0.7y 0.4y 35 40 根据题意,得方程组 5x+7y=350 ① 5x+2y=200 ② 0.5x+0.7y=35 x+0.4y=40 化简,得 ①- ②,得5y=150 y=30 把y=30代入①,得x=28,即方程组的解为： 所以每餐用甲原料28 g,乙原料30 g，可以恰好满足患者的需要. 一、二两班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,二班学生的体育达标率为75﹪,那么一、二两班各有多少名学生? 【跟踪训练】 【分析】设一、二班的学生人数分别为x名，y名.填写下表并求出x,y的值. 一班 二班 两班总和 学生人数 达标学生人数 x y 100 87.5﹪x 75﹪y 81﹪×100 【解析】设一、二班的学生人数分别为x名，y名. 根据题意,得方程组 x+y=100 87.5﹪x+75﹪y=81﹪×100 解得 x=48 y=52 所以一、二班的学生人数分别为48名和52名. 1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可 以借助列方程组的方法来处理这些问题.  　2.这种处理问题的过程可以进一步概括为： 　 3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. C 2.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ） D B． C． D． A． 3. 甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行,如果甲先走2 h,那么他们在乙出发2.5 h时相遇;如果乙先走2 h,那么他们在甲出发3 h时相遇,甲、乙两人的速度各是多少千米? 两种情况 甲的路程 乙的路程 甲乙两人的路程之和 第一种情况：甲先走2 h 第二种情况：乙先走2 h (2+2.5)x 2.5y 36 36 3x (2+3)y 【解析】设甲、乙两人的速度分别是xkm/h,ykm/h.填写下表并求出x,y的值. 根据题意,得方程组 (2+2.5)x+2.5y=36 3x+(2+3)y=36 解得 x=6 y=3.6 所以甲、乙两人的速度分别是6km/h,3.6km/h. 4.某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队先单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天．设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，则x+y的值为　 　． 【解析】由题意，得 解得： ∴x+y=20 答案：20 5.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．求每台A型电脑和B型电脑的销售利润. 【解析】设每台A型电脑的销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元， 则有 解得 即每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元. 第五章 二元一次方程组 5.3 二元一次方程组的应用（第3课时） 1. 如果一个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，那么这个两位数可表示为________;如果交换个位和十位数字, 得到的新两位数为________. 2. 两个两位数分别为x和y，如果将x放到y的左边就得到一个四位数,那么这个四位数可表示为_________;如果将x放到y的右边就得到一个新的四位数,那么这个新的四位数可表示为__________. 10x+y 10y+x 100x+y 100y+x 38 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3.一个两位数的十位数字为x，个位上的数字为y，如果在它们的中间加一个零,变成一个三位数,那么这个三位数可表示为_________. 4.甲、乙两人正在做数字游戏，甲说：“有一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把两个数字的位置对调，那么所得的新数与原数的和为143，这个两位数是多少？猜猜看！”乙百思不得其解，你能想办法帮他吗？ 100x+y 39 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【解析】设原数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意得： 解得 答：这个两位数是94 1.用二元一次方程组解决“线段图的行程问题”这一有趣场景中的数字问题和行程问题; 2.归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤; 3.初步体会列方程组解决实际问题的步骤，将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型. 41 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【例1】火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度. 解:“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图5-2、图5-3. 42 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 设隧道的长度为x m,火车的长度为 y m,根据题意，得 x+y=40×30 x-y=40×20 解这个方程组，得 x=1000 y=200 所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200m. 【规律方法】利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?与同伴交流一下. ★ 审 清题意,找出等量关系; ★ 设 未知数x,y; ★ 列 出二元一次方程组; ★ 解 方程组； ★ 检 验； ★ 答 题. 45 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 A，B两地相距36 km，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4 h后两人相遇；6 h后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？ 【解析】设甲、乙速度分别为x km/h，y km/h，根据题意得： 解方程组，得： 答：甲、乙的速度分别为4km/h， 5km/h. 【跟踪训练】 46 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 通过这节课的学习，你有什么收获？ 1.本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这些未知数表示相关数量，再列出方程. 2.用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步： 设、列、解、验、答 47 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.小颖家离学校4 800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ） A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km； C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km． 【解析】设上坡用x h，下坡用y h，根据题意得： 　　　　 6x+12y=4.8， 　　　　　x＋y＝0.5. 解得　　 x＝0.2， y＝0.3. 答案：Ａ 2．广巴高速公路，从广元到巴中全长约为126 km.一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45 min相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km／h ,y km／h，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. D 3.有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46人，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载乘客的人数为（ ） A．129 B．120 C．108 D．96 D 4.在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为 10 km/h，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2 km所用时间，与以最大速度逆流航行1.2 km所用时间相等．请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 ． 40 km/h 5．元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”请你回答：良马 天可以追上驽马. 20 6.李刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数互换了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数是　　　　　。 【解析】设李刚在7:00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么 时刻 十位数字 个位数字 表达式 ７:00 x y 10x+y ８:00 y x 10y+x ９:00 ８(10x+y) 答案：18 分析: （1） 甲 乙 相遇 S甲+S乙=42 （2） 甲 乙 追上 S乙- S甲=42 7. 甲、乙两人相距42 km,如果两人同时从两地相向而行，2 h后相遇,如果两人同时从两地同向而行,14 h后乙追上甲,求二人的速度. 【解析】设甲、乙二人的速度分别为x km/h,y km/h,根据题意得: 化简,得: 解方程组,得: 答:甲、乙二人的速度分别为9 km/h, 12 km/h. 57 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 $$