3.1勾股定理的探究 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

3.1勾股定理的探究 同步练习 一．选择题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，BC＝12，则AB的长为（　　） A．5 B．12 C．13 D．15 2．如图，三角形是直角三角形，以点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为x，则x的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 3．在△ABC中，∠A＝90°，则下列各式中不成立的是（　　） A．BC2＝AB2+AC2 B．AB2＝AC2+BC2 C．AB2＝BC2﹣AC2 D．AC2＝BC2﹣AB2 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 5．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 6．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，三角形ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为（　　） A．6 B．2 C． D．3 7．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A．6 B．8 C． D． 8．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（　　）公式． A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2﹣2ab+b2 C．c2＝a2+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 9．以直角三角形a、b、c为边，向外作半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形个数有（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 10．已知x，y为正数，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　） A．10 B．100 C．14 D．196 二．填空题 11．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AB水平放置，则刚好与AD一样长，已知滑梯的高度BC＝3m，CD＝1m，BC⊥AD，则滑梯的水平距离AC的长度为 　 　 m． 12．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　 　 ． 13．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的周长为 　 　 ． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则AC＝　 　 ． 15．正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为　 　 cm． 16．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　 　 ． 三．解答题 17．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）如果a＝7，b＝24，求c； （2）如果a＝12，c＝13，求b． 18．如图，已知点C，请你按要求分别设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC． （1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数； （2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数； （3）三边的长均为无理数． 19．如图，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，求AB的长． 20．4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试． 21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长； （2）当t为几秒时，BP平分∠ABC； （3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B C A D C A B 一．选择题（共10小题） 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝5，BC＝12，则AB的长为（　　） A．5 B．12 C．13 D．15 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， 由勾股定理得： AB13； 故选：C． 2．如图，三角形是直角三角形，以点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，若点A所表示的数为x，则x的值为（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【解答】解：∵OB， ∴OA， ∵点A在x轴的负半轴， ∴x的值为． 故选：B． 3．在△ABC中，∠A＝90°，则下列各式中不成立的是（　　） A．BC2＝AB2+AC2 B．AB2＝AC2+BC2 C．AB2＝BC2﹣AC2 D．AC2＝BC2﹣AB2 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，∴斜边是BC， ∴利用勾股定理得到：BC2＝AB2+AC2，AB2＝BC2﹣AC2AC2＝BC2﹣AB2， 不正确的是：AB2＝AC2+BC2． 故选：B． 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4ab；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 5．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【解答】解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2， 根据勾股定理得，62+（x﹣2）2＝x2， 解得x＝10， 故选：C． 6．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，三角形ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为（　　） A．6 B．2 C． D．3 【解答】解：由勾股定理得，BC6． 故选：A． 7．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　） A．6 B．8 C． D． 【解答】解：由题意得，斜边为13．所以斜边上的高＝12×5÷13． 故选：D． 8．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（　　）公式． A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2﹣2ab+b2 C．c2＝a2+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 【解答】解：∵大正方形的面积表示为：c2 又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2， ∴c2ab×4+（b﹣a）2， c2＝2ab+b2﹣2ab+a2， ∴c2＝a2+b2． 故选：C． 9．以直角三角形a、b、c为边，向外作半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3图形个数有（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2＝c2． 图1：S1a2，S2b2，S3c2， ∵a2+b2＝c2， ∴a2b2c2， ∴S1+S2＝S3； 图2：S1a2，S2b2，S3c2， ∵a2+b2＝c2， ∴a2b2c2， ∴S1+S2＝S3． 图3：S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3． 综上，可得面积关系满足S1+S2＝S3图形有3个． 故选：A． 10．已知x，y为正数，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　） A．10 B．100 C．14 D．196 【解答】解：∵x，y为正数，且|x﹣6|+（y﹣8）2＝0， ∴x﹣6＝0，y﹣8＝0， ∴x＝6，y＝8， ∴以x，y的长为直角边作一个直角三角形的斜边长为10， ∴以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为102＝100， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AB水平放置，则刚好与AD一样长，已知滑梯的高度BC＝3m，CD＝1m，BC⊥AD，则滑梯的水平距离AC的长度为 　4　 m． 【解答】解：设滑梯的水平距离AC的长度为x m， 则AB＝AD＝AC+CD＝（x+1）m， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2， 即：x+1）2＝32+x2， 解得：x＝4， 即滑梯的水平距离AC的长度为4m， 故答案为：4． 12．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为 　25　 ． 【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝9，一直角边的平方＝16， 则斜边的平方＝9+16＝25． 故答案为：25． 13．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的周长为 　48　 ． 【解答】解：设直角三角形的两直角边分别是3x，4x，根据勾股定理得， 9x2+16x2＝400， 解得，x＝4或x＝﹣4（舍去）， 所以此直角三角形的周长为：3x+4x+20＝7x+20＝7×4+20＝48． 故答案为48． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则AC＝　6　 ． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC6． 故答案为：6． 15．正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为　6　 cm． 【解答】解：设对角线长是xcm．则有x2＝18，即x＝6． 16．如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝　7　 ． 【解答】解：由勾股定理可知OB，OC，OD ∴OD2＝7． 三．解答题（共6小题） 17．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b． （1）如果a＝7，b＝24，求c； （2）如果a＝12，c＝13，求b． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°， 由勾股定理得： c ＝25； （2）在Rt△ABC中， 由勾股定理得： b ＝5． 18．如图，已知点C，请你按要求分别设计△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC． （1）AB的长为无理数，AC、BC的长均为有理数； （2）AB的长为有理数，AC、BC的长均为无理数； （3）三边的长均为无理数． 【解答】解：（1）如图所示：AB＝AC＝2，则AB＝2； （2）如图所示：AC＝BC，则AB＝2； （3）如图所示：AC＝BC，则AB＝2． 19．如图，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，求AB的长． 【解答】解：∵CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9， ∴在Rt△BCD中，CD2＝CB2﹣DB2＝152﹣92＝144； 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣144＝256， ∴AD＝16， ∴AB＝AD+DB＝16+9＝25． 20．4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试． 【解答】解：图形的总面积可以表示为：c2+2ab＝c2+ab， 也可以表示为：a2+b2+2ab＝a2+b2+ab， 所以，c2+ab＝a2+b2+ab， 所以，a2+b2＝c2． 21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求△ABP的周长； （2）当t为几秒时，BP平分∠ABC； （3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？ 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm ∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm． ∵∠C＝90°， ∴由勾股定理得PB＝2cm ∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2（16+2）cm； （2）如图2所示，过点P作PD⊥AB于点D， ∵BP平分∠ABC， ∴PD＝PC． 在Rt△BPD与Rt△BPC中，， ∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL）， ∴BD＝BC＝6 cm， ∴AD＝10﹣6＝4 cm． 设PC＝x cm，则PA＝（8﹣x）cm 在Rt△APD中，PD2+AD2＝PA2， 即x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， ∴当t＝3秒时，BP平分∠ABC； （3）若P在边AC上时，BC＝CP＝6cm， 此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形； 若P在AB边上时，有两种情况： ①若使BP＝CB＝6cm，此时AP＝4cm，P运动的路程为12cm， 所以用的时间为12s，故t＝12s时△BCP为等腰三角形； ②若CP＝BC＝6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm， 根据勾股定理求得BP＝7.2cm， 所以P运动的路程为18﹣7.2＝10.8cm， ∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形； ③若BP＝CP时，则∠PCB＝∠PBC， ∵∠ACP+∠BCP＝90°，∠PBC+∠CAP＝90°，∴∠ACP＝∠CAP，∴PA＝PC ∴PA＝PB＝5cm ∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形． ∴t＝6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝10， ∴BD＝5， Rt△ABD中，∵AB＝13， ∴AD12， Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH 在△CHB和△AEF中， ∵， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∵BD＝CD，FD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， ∴EF＝FH， Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$