1.3 公式法-第2课时 用完全平方公式因式分解 课件 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

第1章 因式分解 1.3 公式法 第2课时 用完全平方公式因式分解 学习目标 1.掌握完全平方公式的特点，能熟练地用完全平方公式对多项式进行因式分解；（重、难点） 2.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识和能力. 新课导入 说一说 完全平方公式 公式中的x，y，可以分别用任何数或任意多项式代入. x2+4x+4=(x+2)2. 完全平方公式1：(x+y)2=x2+2xy+y2 例如，在完全平方公式1中，将y用2代入得到等式 (x+2)2=x2+4x+4. 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x2+4x+4因式分解： 完全平方公式2：(x-y)2=x2-2xy+y2 【例5】把9x2-6x+1因式分解. 分析 由于9x2=( 3x )2，1=12，2·3x·1=6x，因此9x2-6x+1符合完全平方公式2右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式2，就可以把完全平方公式2因式分解. 解 9x2-6x+1=(3x)2-2·3x·1+12=(3x-1)2. 议一议 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ ①必须是三项式(或可以看成三项的)；②有两个同号的平方项；③有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)． 【例6】把下列多项式因式分解： (1)-4x2+12xy-9y2； (2)x5+2x3y+xy2. 解 (1)-4x2+12xy-9y2 = -(4x2-12xy+9y2) = -[( 2x )2-2·2x·3y+( 3y )2] = -( 2x-3y )2. (2)x5+2x3y+xy2 =x(x4+2x2y+y2) =x[(x2)2+2·x2·y+y2] =x(x2+y)2. 【例7】把多项式x4-2x2+1因式分解. 解 x4-2x2+1 = ( x2 )2-2·x2·1+12 = ( x2-1 )2 = [( x+1 )( x-1 )]2 = ( x+1 )2( x-1 )2. 做一做 可以利用完全平方公式把多项式( x+y )2-4( x+y )+4因式分解吗？ ( x+y )2-4( x+y )+4=( x+y )2-2·( x+y )·2+4 =( x+y-2 )2. 将x+y看作一个整体. 1.下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ） A. a2+b2+ab B. a2+2ab-b2 C. a2-ab+2b2 D. -2ab+a2+b2 解析：-2ab+a2+b2=( a-b )2. D 2.如果100x2+kxy+y2可以分解为(10x-y)2,那么k的值是（ ） A. 20 B. -20 C. 10 D. -10 解析：(10x-y)2=100x2-20xy+y2，所以k=-20. B 随 堂 小 测 3.如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A. 6 B. ±6 C. 3 D. ±3 解析：m=2×1×3=6或m=-(2×1×3)=-6. B 4.若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是_______． 解析：m2-4mn+4n2=(m-2n)2，当m=2n+1时，原式=(2n+1-2n)2=1. 1 5.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式，则m的值为_______. 解析：m2=16，m=±4. ±4 6.把下列多项式因式分解： （1）x2-10x+25； （2）9x2-6xy+y2； （3）(x²-2x)²-2(x²-2x)+1； （4）3m3-6m2+3m. 解 （1）x2-10x+25 =x2-2·x·5+25 =(x-5)2. （2）9x2-6xy+y2 =(3x)2-2·3x·y+y2 =(3x-y)2. （3）(x²-2x)²+2(x²-2x)+1 =(x²-2x+1)2 =(x-1)2. （4）3m3-6m2+3m =3m(m2-2m+1) =3m(m-1)2. 7.已知：a-b=2，ab=，求代数式a3b-2a2b2+ab3的值. 解： a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2. 因为a-b=2，ab=，所以ab(a-b)2=×22=. 8.+b2-4b+4=0，求2a2-8ab+8b2的值. 解：因为+b2-4b+4=0，所以+(b-2)2=0， 所以a-5=0，b-2=0，解得a=5，b=2. 所以2a2-8ab+8b2=2(a2-4ab+4b2)=2(a-2b)2=2×(5-2×2)2=2. 课堂小结 一提：有公因式的先提公因式； 二用：没有公因式的用公式； 三查：检查每一个多项式的因式，看能否继续分解. 分解因式的步骤 可以用完全平方公式因式分解的式子特点 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的平方项； 3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)． 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 谢谢 $$