2025-2026学年北师大版九年级数学上册入学收心试题

2025-2026学年北师版九年级上册入学收心试题 一、单选题 1．已知，下列式子不成立的是(   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键．将不等式变形时，需根据不等式的3条基本性质进行：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质解答． 【详解】解：A、不等式的两边同时减4，不等号方向不改变，即，原式成立，故本选项不符合题意； B、不等式的两边同时乘，不等号方向不改变，即：，原式成立，故本选项不符合题意； C、不等式的两边同时乘，不等号方向不改变，即，原式成立，故本选项不符合题意； D、不等式的两边同时乘，不等号方向改变，即，原式不成立，故本选项符合题意． 故选：D． 2．下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：和是分式，共2个， 故选：D． 3．把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化． 将变形为，再提公因式即可． 【详解】解： 故选：B． 4．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，的中点E，并步测出的长约为18，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A．18 B．24 C．27 D．36 【答案】D 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：D． 5．下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，即可求解． 【详解】解：A. 左边为多项式，右边写成，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． B. 左边为乘积，右边展开为，属于整式乘法，而非因式分解，不合题意． C. 右边为，包含减法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． D. 右边为，包含加法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． 故选：A． 6．下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的化简．该同学在分式加减运算过程中，第二步合并分子时符号处理错误，导致后续步骤均出现错误． 【详解】步骤①：将原式通分，正确， 原式中，，而可变形为， 通分后为，此处正确， 步骤②：合并分子时错误， 正确合并应为： 但该同学误将分子写为，导致错误， 步骤③、④：因步骤②错误，后续步骤均无效， 综上，错误首次出现在步骤②． 故选：B． 7．方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的思路（转化为整式方程求解，然后再检验）成为解题的关键． 先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得： 经检验，是分式方程的解． 故选A． 8．如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（　　） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质；证明，则可得，，则可求得面积． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转知：， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，以、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠性质、正方形的性质，掌握折叠性质是解答的关键．由折叠性质得，，结合求得，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠性质，得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解新定义．根据“非负差值运算”的定义逐项判断即可． 【详解】解：①， ∴对、5、9进行“非负差值运算”的结果是24，故①正确； ②当时，、、6的“非负差值运算”结果为，故②错误； ③∵x、y、z的“非负差值运算”结果为， ∴时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 同理，时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为， 时，x、y、z的“非负差值运算”结果为； ∴x、y、z的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，故③错误； ∴正确的有1个． 故选：B． 二、填空题 11．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得． 故答案为：7． 12．如图，在平面直角坐标系内，直线：与直线：相交，交点的横坐标为3，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，直线：与直线：的交点的横坐标为3， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 13．若，则 ． 【答案】-2 【分析】将所求式子利用乘法公式变形为，再将已知式子整体代入计算即可． 【详解】解： = = = = =-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是要将所求式子进行适当的变形． 14．如图，在中，平分若则 ． 【答案】1 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 16．若一个各位数字均不为的四位数（，，，，，，为整数）满足：把的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字组成的两位数与的和记作，的千位数字与个位数字的倍的和记作，如果的各位数字之和与的和是一个正整数的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数称“赓续元素”；当，时，最小“赓续数”为 ；若“赓续数”满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大为 . 【答案】 【分析】当，时，可知，，则，当时，可以取得最小值，且，据此即可求得答案．根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案． 【详解】∵，， ∴四位数． ∴，． ∴． ∴当时，可以取得最小值． 又， ∴． ∵， ∴． ∵为整数， ∴为整数． 又，， ∴或． ①当时． 根据题意可知 ，，，． ，． ∴． ∴． ∴不符合题意． ②当，且，，时． 根据题意，得 ，，． ∴． ∵为正整数， ∴． ∴． ∴，，，不符合题意． ③当，且，，时． 根据题意，得 ，，． ∴． ∵为正整数， ∴． ∴． ∴． 综上所述，符合条件的的最大值为． 故答案为： ，． 【点睛】本题主要考查实数，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键． 三、解答题 17．按要求完成下列各小题： (1)解方程：； (2)先化简，再求值：，在﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1)x＝4 (2) 【分析】本题围绕分式方程与分式运算的规则和限制命题，解题时需严格遵循“消分母要检验（分式方程）、运算先化简（分式求值）、取值避禁区（分母非0）”，体现分式运算的严谨性． （1）利用等式性质，给方程两边同乘最简公分母消去分母，转化为整式方程求解；必须检验，确保分母不为0，排除增根，若跳过检验，可能得到使原方程分母为0的错误解，违背分式方程定义（分母不能为0）； （2）本小题是分式的混合运算（通分、约分）、分式有意义的条件（分母不为0），先对括号内分式通分，再将除法变乘法（除以分式等于乘它的倒数 ），最后通过因式分解约分，逐步简化式子． 【详解】（1）， 方程两边同乘，得：， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是； （2） ＝ ＝ ＝ ＝， ∵当时，原分式无意义， ∴当时，原式＝＝3． 18．（1）解不等式：； （2）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组； （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式； （2）先求出两个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项得，， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下．    19．在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． (1)用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)；；；； 【分析】本题考查尺规作角平分线，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据中位线定理，对顶角相等，证明，得到，内错角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即， 又∵①， ∴为的中位线， ∴②， ∵，③， ∴， ∴④， 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：；；；． 20．如图，方格中每个小正方形的边长是1，各顶点坐标为，，． (1)在方格中画出关于y轴对称的图形； (2)在方格中画出绕原点O逆时针旋转后的图形，并直接写出的坐标； (3)若点D在y轴，且，则点D的坐标为________． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析， (3) 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称变换，垂直平分线的性质，写出直角坐标系中点的坐标，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的图形即可； （2）根据旋转的性质即可画出绕原点O逆时针旋转后的图形，进而可以写出点的坐标； （3）根据垂直平分线的性质作出的垂直平分线与y轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图：即为所求， ； （3）解：如图，点D即为所求， ， 点D位于的垂直平分线上， ． 21．如图1，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，到达时停止运动，运动时间为秒，的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有且只有两个交点，则的取值范围为______． 【答案】(1) (2)详见解析，性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查了一次函数中的分段函数的图象和性质，三角函数的应用等知识点， （1）过点过点P作于点H，分点P在上运动和点P在上运动，分别求出y与t的函数关系式，最后写成分段函数的形式即可； （2）利用描点法画出函数图象，根据图象写出它的一条性质即可； （3）根据函数图象，数形结合求解； 熟练掌握数形结合的数学思想是解决此题的关键． 【详解】（1）在中，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 如图，当点P在上运动时，则， 如图，当点P在上运动时，过点P作于点H， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：y与t的函数关系式为：； （2）当时，，当时，，当时，，将上述3个点描点连线绘制函数图象如下： 从图象看，当时，y随t的增大而增大，当 时，y随t的增大而减小（答案不唯一）； （3）如图，当直线在m、n的位置时，为直线与该函数图象有且只有2个交点的临界点， 将点代入得：，则， 将点代入得：，则， ∴k的取值范围为：， 故答案为：． 22．某商店销售10台A型和20台B型打印机的利润为4000元，销售20台A型和10台B型打印机的利润为3500元． (1)求每台A型打印机和B型打印机的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的打印机共120台，其中B型打印机的进货量不超过A型打印机的2倍，且限定商店最多购进A型打印机70台。实际进货时，厂家对A型打印机出厂价下调元，B型打印机进价不变，若商店保持两种打印机的售价不变，设购进A型打印机x台，这120台打印机的销售总利润为y元，请设计出使这120台打印机销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型打印机的销售利润为100元，每台B型打印机的销售利润为150元 (2)当时，商店购进40台A型打印机和80台B型打印机能获得最大利润；当时，商店购进A型打印机数满足的整数时，均获得最大利润18000元；③当时，商店购进70台A型打印机和50台B型打印机能获得最大利润． 【分析】（1）设每台A型打印机的销售利润为a元，每台B型打印机的销售利润为b元，根据等量关系式：销售10台A型打印机利润+20台B型打印机的利润=4000元，销售20台A型打印机的利润+10台B型打印机的利润=3500元； （2）先写出y与x的函数关系式，并求出x的取值范围，然后根据m的值进行分类讨论，根据一次函数的增减性，得出使这120台打印机销售总利润最大的进货方案． 【详解】（1）解：设每台A型打印机的销售利润为a元，每台B型打印机的销售利润为b元，根据题意得： ，解得， 答：每台A型打印机的销售利润为100元，每台B型打印机的销售利润为150元． （2）根据题意得，即， ∵B型打印机的进货量不超过A型打印机的2倍， ∴， 解得：， ∵限定商店最多购进A型打印机70台， ∴； ①当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值， 即商店购进40台A型打印机和80台B型打印机能获得最大利润； ②当时，，， 即商店购进A型打印机数满足的整数时，均获得最大利润18000元； ③当时，，y随x的增大而增大， ∴时，y取得最大值， 即商店购进70台A型打印机和50台B型打印机能获得最大利润． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，写出y与x的函数关系式，并求出x的取值范围，是解题的关键． 23．用适当的方法解下列方程： (1) ； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用公式法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了运用公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ， ， ，， 解得，． 24．如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1． (1)求该一次函数的解析式； (2)轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，一次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）作关于轴的对称点，连接，得到，进而得到当在线段上时，取的最小值，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可； （3）求出点坐标，进而得到，得到，平移得到新的函数解析式，进而得到，的坐标，取直线上一点作，且，连接，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式与直线的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得：，解得：， ∴； （2）作关于轴的对称点， 则：， ∴当在线段上时，取的最小值， ∵，， 同（1）法可得，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴； （3）当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，得到，点对应点为， ∴，当时，， 设，过点作，且，连接，则：， 当点在直线下方时，过点作轴于点，作，交的延长线于点， 则：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， ∵， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得：， ∴； 当点在直线上方时，同法可得：，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 25．在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作于点E． (1)如图1，若，，且，连接，求线段的长度； (2)如图2，若，在上取点F，若，求证：； (3)如图3，若，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）可推出，从而得出结果； （2）作于G，作，交的延长线于点H，可证得，从而，进而证得，从而； （3）先根据勾股定理求出，的长，再证明为等边三角形，以点D为顶点，在左侧作，在上取后，连接、交射线于点，过点H作射线于点T，过点B作于点N，过点E作于点M，证明，推出点与点下重合时最小即最小，证明，，利用相似三角形性质求出的长即可 【详解】（1）解：， ， ， ， 点E时的中点， ， ， ， 线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段， ， （2）证明：如图， 作于G，作，交的延长线于点H， ， ， ， ， 线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：在中，， 在中， ，即， 线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段， 在中 ， 如图，取的中点F，连接， ， ， ， 为等边三角形， 如图，以点D为顶点，在左侧作，在上取后，连接、交射线于点，过点H作射线于点T， 过点B作于点N，过点E作于点M， 在和中 ， ∴点与点下重合时最小即最小 在中， ，， ， 在和中 ， ， 在中， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，即， 最小时，点E到的距离是 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师版九年级上册入学收心试题 一、单选题 1．已知，下列式子不成立的是(   ） A． B．2 C． D． 2．下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，的中点E，并步测出的长约为18，由此估测A，B之间的距离约为（   ） A．18 B．24 C．27 D．36 5．下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 7．方程的解是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（　　） A． B． C． D．3 9．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，以、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为 0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于 0，1，3 进行“非负差值运算”，． ①对，5，9 进行“非负差值运算”的结果是24； ②x，，6的“非负差值运算”的最小值是15； ③x，y，z 的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 二、填空题 11．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是 ． 12．如图，在平面直角坐标系内，直线：与直线：相交，交点的横坐标为3，则关于x的不等式的解集为 ． 13．若，则 ． 14．如图，在中，平分若则 ． 15．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 16．若一个各位数字均不为的四位数（，，，，，，为整数）满足：把的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字组成的两位数与的和记作，的千位数字与个位数字的倍的和记作，如果的各位数字之和与的和是一个正整数的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数称“赓续元素”；当，时，最小“赓续数”为 ；若“赓续数”满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大为 . 三、解答题 17．按要求完成下列各小题： (1)解方程：； (2)先化简，再求值：，在﹣1，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 18．（1）解不等式：； （2）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 19．在学习了平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考．如图所示，四边形是平行四边形，对角线交于点E，，交于点F． (1)用无刻度直尺和圆规作在下方作，使得，且射线交的延长线于点G，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分，即． 又∵ ①， ∴为的中位线， ∴ ②． ∵， ③， ∴， ∴ ④． 又， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20．如图，方格中每个小正方形的边长是1，各顶点坐标为，，． (1)在方格中画出关于y轴对称的图形； (2)在方格中画出绕原点O逆时针旋转后的图形，并直接写出的坐标； (3)若点D在y轴，且，则点D的坐标为________． 21．如图1，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，到达时停止运动，运动时间为秒，的面积为，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与该函数图象有且只有两个交点，则的取值范围为______． 22．某商店销售10台A型和20台B型打印机的利润为4000元，销售20台A型和10台B型打印机的利润为3500元． (1)求每台A型打印机和B型打印机的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的打印机共120台，其中B型打印机的进货量不超过A型打印机的2倍，且限定商店最多购进A型打印机70台。实际进货时，厂家对A型打印机出厂价下调元，B型打印机进价不变，若商店保持两种打印机的售价不变，设购进A型打印机x台，这120台打印机的销售总利润为y元，请设计出使这120台打印机销售总利润最大的进货方案． 23．用适当的方法解下列方程： (1) ； (2)； 24．如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1． (1)求该一次函数的解析式； (2)轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标． 25．在中，，将线段绕点B逆时针旋转一定角度至线段，连接，过点A作于点E． (1)如图1，若，，且，连接，求线段的长度； (2)如图2，若，在上取点F，若，求证：； (3)如图3，若，，点P在射线上，点Q在射线上，且，连接，，当最小时，直接写出此时点E到的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$