4.2.3 定理，推论课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

第4章 三角形 4.2 命题与证明 4.2.3 定理，推论 1 1. 了解定理、推论与互逆命题的概念；（重点） 2. 能经过推论证明命题．（难点） 学习目标 2 经过证明为真的命题叫作定理. 例如，“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”. 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 例如，利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 课时导入 3 如图4.2-1，在△ABC中，已知∠BAC=80°，∠ABC=60°，∠BCA=40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF是∠ABC的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 因为∠ACE=180°-40°=140°，∠CBD=180° -60°=120°，∠BAF=180°-80°=100°, 所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120° +100°=360°. 这启发我们猜测：三角形的三个外角之和等于360°. 探究 图4.2-1 D C A E B F 60° 40° 80° 4 下面来证明. 由此可得： 如图4.2-2，△ABC的三个外角分别为∠BAF， ∠CBD，∠ACE. 因为∠BAF=180°-∠BAC，∠CBD=180°-∠ABC, ∠ACE=180°-∠ACB, 所以∠BAF+∠CBD+∠ACE =（180°-∠BAC）+ （180°-∠ABC）+（180°-∠ACB） =540°-（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB） =540°-180°=360°. 三角形的外角和等于360°. 图4.2-2 D C A E B F 5 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称它是原定理的逆定理，并将这两个定理叫作互逆定理. 例如，平行线的性质定理1（两直线平行，应同位角相等）与 平行线的判定定理1（同位角相等，两直线平行）是互逆定理. 逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等. 这个逆命题正确，原定理有逆定理． 命题“等角的补角相等”有没有逆定理？ 练一练 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边， 例5 图4.2-3 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，∠CAD=∠B +∠C. 又∠B =∠C ， 于是∠CAD= 2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线， 因此∠CAD=2∠DAE， 即∠B=∠DAE . 所以AE∥BC (同位角相等，两直线平行). 分析 对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行. 已知：如图4.2-3，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线.求证：AE//BC. 从而2∠B=2∠DAE， 7 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明. 8 （1）同旁内角互补（ ） （4）两点可以确定一条直线（ ） （7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ ） （2）一个角的补角大于这个角（ ） 1.判断下列命题的真假.真的画“√”，假的画“× ”. （5）两点之间线段最短（ ） （3）相等的两个角是对顶角（ ） × √ （6）同角的余角相等（ ） × √ √ √ × 随 堂 小 测 9 2.举反例说明下列命题是假命题. （1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； （2）若 ab = 0，则 a + b = 0. 解：（1）如：两条平行线被第三条直线所截得的一组内错角，它们不是对顶角，但这两个角相等. （2）如：当 a = 5，b = 0 时，ab = 0，但 a +b ≠ 0. 10 3.试着判断下列定理没有逆定理： （1）对顶角相等； （2）两直线平行，同旁内角互补. 解：（1）逆命题：相等的角是对顶角. 这个逆命题不正确，原定理没有逆定理． （2）逆命题：同旁内角互补，两直线平行. 这个逆命题正确，原定理有逆定理． 逆定理 推论 定理 举反例 基本事实 少数 假命题 真命题 证明 真命题 命题 小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 谢谢 14 $$