精品解析：广东省广州市天河区华实学校2024～2025学年下学期五月月考八年级数学试卷

2024-2025学年第二学期八年级5月学情调研（数学） （卷面120分 用时120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个式子中含有二次根式，那么二次根式中的被开方数都必须是非负数．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴＞0， 解得x＜3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围的求法，即二次根式中的被开方数是非负数． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法法则逐一计算即可得答案． 【详解】解：A、，故该选项计算错误，不符合题意； B、，故该选项计算错误，不符合题意； C、，故该选项计算正确，符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 3. 如图，一棵大树在离地面两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于点，首先由题意得：，，然后根据米，得到米，最后利用勾股定理得的长度即可． 【详解】如图，过作于点， 由题意得：， ∴， ∵， 四边形是矩形， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：大树折断前的高度是． 故选：B． 4. 如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则四边形是平行四边形 B. 若，，，则四边形是矩形 C. 若，，，则四边形是菱形 D. 若，，，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，熟练掌握各种判定方法是解题关键． 根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，，不能判定四边形是平行四边形，此选项错误，不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故不能判定四边形是矩形，此选项错误，不符合题意； C、，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故此选项正确，符合题意； D、，，，不能判定四边形是正方形，此选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质和勾股定理求出，再证明是的中位线，得出，即可得出四边形的周长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是矩形的对角线的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 6. 一次函数y=kx和 y=-x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx>-x+3的解集是（ ） A. x>1 B. x≥1 C. x< 2 D. x≤ 2 【答案】A 【解析】 【分析】观察图象可得当时，函数y=kx的图象在函数y=-x+3的图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，函数y=kx的图象在函数y=-x+3的图象的上方， ∴关于x的不等式kx>-x+3的解集是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 7. 在正比例函数（m为常熟，且）中，随的增大而增大，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质．先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，再求出于x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， ∴函数的图象大致是 ， 故选：D． 8. 关于函数（k为常数），下列说法不正确的是（ ） A. 当时，该函数是一次函数 B. 若点，在该函数图象上，且，则 C. 若该函数图象不经过第四象限，则 D. 该函数图象恒过点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的性质等； A.由一次函数的定义得即可判断； B.将点，代入解析式，由，即可判断； C.当时，当时，即可判断； D.解析式化为，当时，即可判断； 理解一次函数定义及性质是解题的关键． 【详解】解：A.由一次函数的定义得，结论正确，不符合题意； B.，，，，解得：，结论正确，不符合题意； C.当时，，，此时不经过第四象限；当时，函数图象不经过第四象限，，解得；，结论错误，符合题意； D.，当时，，，函数图象恒过点，结论正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，根据折叠的性质，推出，得到，进而证明，得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可知：直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵对折至，折痕为， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图1，在中，，点是的中点，动点从点出发沿运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与动点问题有关的两个变量间的图象关系：图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是求出和的长．由图象可知：当时，等于4，由此可得出的长，进而得出的长；当时，面积最大，且面积发生转折，此时点和点重合，可得，由直角三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：由图象可知：当，即时， ∴，即， 解得， 点是的中点， ， 当时，面积发生转折，此时点和点重合， ， 在中，，，， ． 故选：C． 二、填空题（共6小题，每题3分；共18分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解. 【详解】2-=. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键． 12. 如图，在数轴上找出表示3的点，则，过点作直线l垂直，在l上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点，则点表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 故答案为：． 13. 如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米． 【答案】7 【解析】 【详解】由勾股定理求出另一直角边为4，将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和=3+4=7. 14. 点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，一次函数图象上点的坐标满足一次函数解析式． 根据题意得出，代入计算即可． 【详解】解：∵点在直线上， ， ∴ ∴， 故答案为： ． 15. 菱形的面积是，一条对角线长是4，则菱形的周长是__________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据菱形的面积可求得另一条对角线的长，再根据勾股定理求得其边长，从而求得其周长． 【详解】如图所示： ∵菱形ABCD的面积是，一条对角线长AC=4， ∴AB=BC=CD=AD，4×BD=8，OA=OC=2，OB=OD，AC⊥BD， 解得：BD=4， ∴OBBD=2， ∴AB4， 则菱形的周长=4×4=16． 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、面积公式、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 16. 如图，在边长为5的正方形中，点M为线段上一点，且，点P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、、，交于点，利用正方形性质和已知条件可证得四边形是矩形，再证得，由，可知当点B、P、M三点共线时，即点P和点重合时，为最小值，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、、、交于点， ∵，正方形边长为5， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点B、P、M三点共线时，即点P和点重合时，为最小值， 在中，， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（17、18、19题6分，20、21、22、23题8分，24题10分，25题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的加减即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算二次根式的加减即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知：如图，在四边形中，对角线，相交于点O，O是的中点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三角形全等，结合平行四边形的判定解答即可． 本题考查了三角形的全等判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 19. 如图，在平行四边形ABCD中： （1）尺规作图：作BC的垂直平分线EF，交BC于点E，交AD与点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接DE并延长交AB的延长线于点G，求证：AG＝2BG． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，ABCD，再证明BEG≌CED得到BG＝CD，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，EF为所作； （2）证明：∵EF垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠G＝∠CDE， 在BEG和CED中， ， ∴BEG≌CED（AAS）， ∴BG＝CD， ∴BG＝AB， ∴AG＝2BG． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图（作线段的垂直平分线）是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质． 20. 函数的图象为直线，函数图象为直线，两直线相交于点C． （1）求m、n的值； （2）在给出的直角坐标系中，画出直线和直线的图象； （3）求直线、与y轴围成的三角形面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式，一次函数图象，坐标与图形；熟练掌握一次函数解析式，一次函数图象，坐标与图形是解题的关键 （1）将C分别代入，，计算求解可得m、n的值； （2）由（1）可知，，则的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；然后作函数图象即可； （3）根据直线、与y轴围成的三角形面积为，计算求解即可． 【小问1详解】 解：将C代入得，， 解得，， 将C代入得，， 解得，， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴的图象与坐标轴的两个交点为；的图象与坐标轴的两个交点为；作函数图象如下； 【小问3详解】 解：由题意知，， ∴直线、与y轴围成的三角形面积为4． 21. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米． （1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米？ 【答案】（1）是，证明见解析；（2）千米． 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理的逆定理验证△CHB为直角三角形，进而得到CH⊥AB，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； (2)在△ACH中根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）∵在中，， 又， 是以为直角的直角三角形， ， ∵点到直线垂线段的长度最短， 是村庄C到河边的最近路． （2）设， 千米， 千米， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， 千米， 比少千米． 【点睛】此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． 22. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形纸片是黄金矩形，宽，折叠纸片，使点A落在上的点E处，得到折痕；再次折叠纸片，使点C落在上的点G处，得到折痕． （1）求证：四边形是正方形； （2）四边形是黄金矩形吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的判定定理求解即可； （2）首先根据题意设设，，然后根据正方形和矩形的性质表示出，进而求解即可． 【小问1详解】 ∵折叠纸片，使点A落在上的点E处， ∴， 又∵四边形是矩形 ∴ ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 ∵矩形纸片是黄金矩形 ∴ ∴设， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】此题考查了正方形和矩形的性质和判定，黄金分割等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23. 汽车租赁公司共有50台客车，其中大客车20台，小客车30台，现要将这50台客车派往A、B两学校，其中30台派往A校，20台派往B校．两校与该汽车租赁公司商定的每天的租赁价格见表： 每台大客车的租金 每台小客车的租金 A校 1800 1600 B校 1600 1200 （1）设派往A校x台小客车，租赁公司这50台客车一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，写出x的取值范围； （2）如果要使这50台客车每天获得的租金最高，请你为汽车租赁公司提一条合理化建议． 【答案】（1） （2）要使这50台客车每天获得的租金最高，汽车租赁公司应将台小客车全部派往校，将台大客车全部派往校 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确列出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）由题意可得，派往校台大客车，派往校台小客车，派往校台大客车，再结合题意列出y与x间的函数关系式即可，列出一元一次不等式组，即可得出x的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得，派往校台大客车，派往校台小客车，派往校台大客车， 则， ∵， 解得：， ∴y与x间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最大， 此时（台），（台）， ∴要使这50台客车每天获得的租金最高，汽车租赁公司应将台小客车全部派往校，将台大客车全部派往校． 24. 【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 （1）博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析； （2）①矩形还是正方形，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． （1）利用正方形性质得出，，证明，得出，由正方形判定定理解答即可； （2）①过点作，，垂足分别为，利用（1）中方法解答即可； ②求出，过点作于点，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 解： 四边形是正方形， ，平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； 【小问2详解】 ①矩形还是正方形，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为， ， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， 矩形是正方形． ②四边形是正方形， ， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形 ， ，， ， ， ． 25. 定义：如图，只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”． （1）如图1，点P在直线上且横坐标是4，点，点，连接．判断：四边形 损矩形（填“是”或“不是”）； （2）如图2，点E在y轴正半轴上，点F在x轴正半轴上，点P是直线上位于第一象限的一个动点，四边形是“损矩形”，请确定：与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若， ①在直线：上找一个点Q，使得四边形为损矩形，求点Q的坐标； ②K点也在直线：上且，直接写出K坐标． 【答案】（1）是 （2） （3）①;②点K的坐标为或 【解析】 【分析】（1）欲证四边形是损矩形，需证，故自点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为N、M，只需证，则， 结合，即可得出，从而获证． （2）利用损矩形的性质及直线的横纵坐标相等，证得，从而证得，把转化为，然后在等腰直角三角形中，寻找的关系，从而得出结论． （3）①巧用勾股定理，先求得的长度，然后设点Q的坐标为，用含a的代数式表示出直角三角形的边长，最后用勾股定理求得a值即可． ②针对点K在第一、第三象限两种情况讨论，利用面积关系式求得K点的坐标． 【小问1详解】 如下图，自点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为N、M． 则为矩形，． ∵点P的横坐标为4，且在直线上， ∴点P的纵坐标也为4， ∴， 由点、点可知，． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 因为，故四边形是损矩形． 【小问2详解】 自P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、点G． ∵点P是直线上位于第一象限的一个动点， ∴点P的横纵坐标相等． ∴． ∵四边形是损矩形． ∴． 由垂直于x轴，垂直于y轴可知，四边形为矩形，则，，． ∵， ∴． 在直角与直角中， ∴． ∴． ∴． 在等腰直角三角形中，， ， ∴， ∴， ∴． 即：． ∵， ∴ 【小问3详解】 ①连接，自Q分别作y轴、x轴的垂线，垂足为点．如下图． 设点Q的横坐标为，由点Q在直线上可得，点Q的纵坐标为， ∴， 则． 在直角三角形与直角三角形中，分别有： ， 即：． ∴． 在与中，由勾股定理可得： ． ∴． 解得：（不合题意，舍去），． 故点Q的坐标为：． ②如下图，先求得四边形的面积． ．即．（见下图） 以下分两种情况讨论： 第一情况，如下图，点K在第三象限，因点K在直线上，故设点K的坐标为．如下图．过点M作y轴的垂线，过点K作x轴的垂线，两垂线相交于点G； 过点N作x轴的垂线，过点K作y轴的垂线，两垂线相交于点H；与y轴相交于点S． ， ∴， 化简整理得：． ∴． 故点K的坐标为． 第二情况，如下图，点K在第一象限，因点K在直线上，故设点K的坐标为．如下图．过点K作y轴的垂线，与y轴相交于点H． ∵， ∴． 解得：，． 故点K的坐标为． 综合上述两种情况，点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了损矩形的性质、全等三角形的性质、勾股定理的应用、一次函数的性质、面积的分割和计算等知识点，灵活运用所学知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级5月学情调研（数学） （卷面120分 用时120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一棵大树在离地面两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的对角线，交于点，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则四边形是平行四边形 B. 若，，，则四边形是矩形 C. 若，，，则四边形是菱形 D. 若，，，则四边形是正方形 5. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 6. 一次函数y=kx和 y=-x+3的图象如图所示，则关于x的不等式kx>-x+3的解集是（ ） A. x>1 B. x≥1 C. x< 2 D. x≤ 2 7. 在正比例函数（m为常熟，且）中，随的增大而增大，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数（k为常数），下列说法不正确的是（ ） A. 当时，该函数是一次函数 B. 若点，在该函数图象上，且，则 C. 若该函数图象不经过第四象限，则 D. 该函数图象恒过点 9. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．若与交点为，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 如图1，在中，，点是的中点，动点从点出发沿运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的图象如图2所示，则的面积为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 40 二、填空题（共6小题，每题3分；共18分） 11. 计算：_______． 12. 如图，在数轴上找出表示3的点，则，过点作直线l垂直，在l上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点，则点表示的实数是________． 13. 如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米． 14. 点在直线上，则代数式的值是______． 15. 菱形的面积是，一条对角线长是4，则菱形的周长是__________． 16. 如图，在边长为5的正方形中，点M为线段上一点，且，点P是对角线上一动点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为________． 三、解答题（17、18、19题6分，20、21、22、23题8分，24题10分，25题12分，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：如图，在四边形中，对角线，相交于点O，O是的中点，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，在平行四边形ABCD中： （1）尺规作图：作BC的垂直平分线EF，交BC于点E，交AD与点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接DE并延长交AB的延长线于点G，求证：AG＝2BG． 20. 函数的图象为直线，函数图象为直线，两直线相交于点C． （1）求m、n的值； （2）在给出的直角坐标系中，画出直线和直线的图象； （3）求直线、与y轴围成的三角形面积． 21. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，电C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（在同一条直线上），并新修一条路，已知千米，千米，千米． （1）是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求新路比原路少多少千米？ 22. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形纸片是黄金矩形，宽，折叠纸片，使点A落在上的点E处，得到折痕；再次折叠纸片，使点C落在上的点G处，得到折痕． （1）求证：四边形是正方形； （2）四边形是黄金矩形吗？请说明理由． 23. 汽车租赁公司共有50台客车，其中大客车20台，小客车30台，现要将这50台客车派往A、B两学校，其中30台派往A校，20台派往B校．两校与该汽车租赁公司商定的每天的租赁价格见表： 每台大客车的租金 每台小客车的租金 A校 1800 1600 B校 1600 1200 （1）设派往A校x台小客车，租赁公司这50台客车一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，写出x的取值范围； （2）如果要使这50台客车每天获得的租金最高，请你为汽车租赁公司提一条合理化建议． 24. 【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 （1）博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 25. 定义：如图，只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”． （1）如图1，点P在直线上且横坐标是4，点，点，连接．判断：四边形 损矩形（填“是”或“不是”）； （2）如图2，点E在y轴正半轴上，点F在x轴正半轴上，点P是直线上位于第一象限的一个动点，四边形是“损矩形”，请确定：与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若， ①在直线：上找一个点Q，使得四边形为损矩形，求点Q的坐标； ②K点也在直线：上且，直接写出K坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $