4.4 尺规作图课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

第4章 三角形 4.4 　尺规作图 1 1. 能利用尺规作已知角的等角及过直线外一点作已知直线的平行线； 2. 在分别给出三边、两边及其夹角和两角及其夹边的条件下，能够利用尺规作出三角形； 3. 了解作图方法的合理性. 学习目标 2 1.尺规作图的工具是什么？ 2.你已经学会用尺规作哪些图形？动手试一试. 直尺和圆规. 会作一条线段等于已知线段 根据三角形全等的判定条件，已知三边、两边及其夹角、两角及任何一边，都可以确定唯一的一个三角形.从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形. 新课导入 3 · · · · · · c b a 如图，已知线段 a，b，c. 求作△ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c. 【例1】 已知三边作三角形. 分析 上一节在探索判定三角形全等的边边边定理时，作出了三条边长分别为2.5 cm，3 cm，4 cm的三角形.由此受到启发，可采取同样步骤作出所求作的三角形。 4 · · · · · · c b a 如图，已知线段 a，b，c. 求作△ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c. B A C (1)作线段BC=a； (2)以点B为圆心，以c为半径画弧，再以点C为圆心，以b为半径画弧，两弧在BC的一侧相交于点A； (3)连接AB和AC，则△ABC为所求作的三角形. 作法： a b c · · · 【例1】 已知三边作三角形. 上述方法作出的三角形是唯一的吗？为什么？ 由全等三角形的判定定理（边边边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知三边能作出唯一的三角形. 5 O B A 分析 以点O为顶点，分别在边OA，OB上截取OC，OD，使OC=OD，连接CD，则构成△COD.然后作一个与△COD全等的三角形，则该三角形中与∠AOB相对应的角，就是所求作的角. 【例2】作一个角等于已知角？ 如图，已知∠AOB. 求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB. 6 O B A D' C' B' O' A' (1)作射线O'A'； (3)以O'为圆心，以OC(或OD) 的长为半径画圆弧，交O'A'于点C'； (4)以点C'为圆心，以CD的长为半径画圆弧，交前弧于点D'； 作法： (5)过D'作射线O'B'，则∠A'O'B'为所求作的角. D C (2)以点O为圆心，以任意长为半径画圆弧，交OA于点C，交OB于点D； 【例2】作一个角等于已知角？ 如图，已知∠AOB. 求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB. 7 运用所学知识，请说一说：为什么∠A'O'B' 就是所求作的角？ 解：由作图过程可知： 根据“边边边”可得△D'O'C'≌△DOC， 所以∠D'O'C'=∠DOC， 即∠A'O'B'=∠AOB. O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=DC， 8 【例3】已知两边及其夹角作三角形 如图，已知∠α和线段a，c. 求作△ABC，使∠B=∠α，BC=a，AB=c. (2)在射线BM，BN上分别截取BC=a，AB=c； (3)连接AC，则△ABC为所求作的三角形. (1)作∠MBN=∠α； B M N A C 作法： 为什么△ABC 就是所求作的三角形？ 由全等三角形的判定定理（边角边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知两边及其夹角能作出唯一的三角形. 9 【例4】已知两角及其夹边作三角形 如图,已知∠α,∠β和线段a . 求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β,BC=a. A (1)作线段BC=a； α β E D C B 作法： (2)在BC的同侧，作∠DBC=∠α，∠ECB= ∠β，BD与CE相交于点A.则△ABC为所求作的三角形. 例题作出的△ABC 唯一吗？ 由全等三角形的判定定理（角角边)可知，这样作出的三角形都是全等的，因此已知两角及其夹边能作出唯一的三角形. (1)如图,已知∠α,∠β和线段a . 求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，AB=a. 做一做 (2)你根据(1)作出的△ABC与其他同学 作出的三角形能完全重合吗？为什么 【例5】过直线外一点作这条直线的平行线. 如图，已知直线AB，点P不在AB上. 求作过点P且与直线AB平行的直线. 分析 受利用平移三角板画平行线的启发，可先过直线外一点P画一条直线与直线AB相交，构造出∠α，再以点P为顶点作∠α的同位角教使它等于∠α，最后根据“同位角相等，两直线平行”可知：在点P处所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线. A B P 【例5】过直线外一点作这条直线的平行线. 如图，已知直线AB，点P不在AB上. 求作过点P且与直线AB平行的直线. A B P (5)连接PD，则直线PD为所求作的平行线. 作法 (1)过点P作直线EF,与直线AB相交于点M; (2)以点M为圆心,以小于MP的长度为半径画圆弧,交MB于点G,交MF于点H； (3)以点P为圆心,以MG(或MH)的长为半径画圆弧,交PF于点C； (4)以点C为圆心,以HG的长为半径画圆弧,与前弧交于点D； A B P M E F G D C H 1. 如图，△ABC 是三边均不相等的三角形，DE = BC，以 D，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画 个. A B C D E 4 随 堂 小 测 O a 分析：先作一个角等于已知角，即∠MBN =∠O,再在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求作的三角形. M B N C P A 2. 如图，已知线段 a 及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC = a，∠B =∠O，∠C = 2∠B. 15 3. 如图，已知线段a，b，m，求作△ABC，使BC＝2a，AC＝b，且BC边上的中线AD＝m. 解：作法： (1)作△ADC，使AC＝b，AD＝m， DC＝a； (2)作BD＝a； (3)连接AB，则△ABC即为 所求作的三角形，如图. 16 常用作图语言 1.作∠……=∠……； 2.在……截取，使……=……； 3.以……顶点，以……为一边，作∠……=∠……； 4.作一条线段……=……； 5.连接……，或连接……交……于点……； 6.分别以……，……为圆心，以……，……为半径画圆弧，两弧交于……点. 用尺规作三角形的方法 1.已知两边及它们的夹角作三角形的方法 2.已知三边作三角形的方法 3.已知两角及它们的夹边作三角形的方法 课堂小结 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 课后作业 谢谢 19 $$