1.1.1第1课时 认识勾股定理课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.1　探索勾股定理 第1课时　探索勾股定理 如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，你知道需要多长的钢索吗？ 直角三角形三边长度存在一种特殊的关系，这节课我们一起探索勾股定理． 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 A B C 问题1 图中正方形 A、B、C 的面积之间有何关系吗？ 以等腰直角三角形两直角边为边的小正方形的面积的和，等于以斜边为边的正方形的面积. 问题2　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形 A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位 1 )： 这两幅图中 A，B 的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 根据前面求出的 C 的面积直接填出下表： A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 += 问题3 正方形 A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 探究2 我们也不难发现教材图1-2中的直角三角形是等腰直角三角形．如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，会不 会也有这种关系呢？ (1)教材图1－3中，A，B，C的面积是否还满足上面的关系？你是如何计算的？ 思 考 A，B，C的面积还满足上面的关系，即SA＋SB＝SC，是通过数格子的方法计算的． (2)如果直角三角形的两直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？ 思 考 仍然成立 几何语言描述： 在Rt△ABC 中，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2 a b c 勾 股 定 理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2. 公式变形： （a、b、c 为正数） 1. 如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2.若S1＝36，S2＝64，则斜边AB的长是（　C　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 100 第1题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点B顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环（涂色部分），且AB与以BC为半径的圆相交于点D. 要求该圆环的面积，只需测量一条线段的长度，这条线段就是（　D　） A. AD B. AB C. BD D. AC 第2题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，则正方形ABCD的面积为（　A　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第3题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O. 若AD＝2，BC＝7，则AB2＋CD2的值是（　D　） A. 45 B. 49 C. 50 D. 53 第4题 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C，则OC的长为 　2　. 第5题 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 生活中，可以用身体上的尺子：肘、拃、步长等来估计距离.某校教室新安装了一批屏幕为长方形的多媒体设备，某同学想知道屏幕有多大，他测量得屏幕的长是12拃，宽是5拃，则屏幕的对角线的长度大约是 　260　cm（1拃≈20cm）. 7. 如图所示为勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，S1，S2，S3，S4分别表示其对应正方形的面积.若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则S1－S2＋S3－S4的值为 　55　. 260　 55　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. （15分）如图，求图①中未知边c的长度，图②③中涂色部分的面积（图中的四边形均是正方形）. 解：题图①：由勾股定理，得c2＝172－152＝64（cm2），所以c＝8cm；题图②：由勾股定理，得S涂色＝152－189＝36（cm2）；题图③：设半圆的半径为rcm.由勾股定理，得（2r）2＋62＝102，所以r＝4.所以S涂色＝ ×π×42＝8π（cm2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，连接AD. 求： （1） AD的长； 解：（1） 因为D为BC的中点，所以BD＝CD＝ BC＝5.又因为AB＝AC，AD＝AD，所以△ABD≌△ACD. 所以∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝132－52＝144.所以AD＝12 （2） DE的长. 解：（2） 因为DE⊥AB，所以△ABD的面积＝ BD·AD＝ AB·DE. 所以DE＝ ＝ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. ★（18分）如图，在△ABC中，AB＝30，BC＝28，AC＝26，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了以下解题思路：过点A作AD⊥BC于点D. 设BD＝x.用含x的式子表示CD的长；根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型，进而求出AD的长，最后计算三角形的面积.请你按照他们的解题思路完成解答过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.设BD＝x，则CD＝BC－BD＝28－x.在Rt△ABD中，AB＝30，BD＝x，由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝302－x2.在Rt△ACD中，AC＝26，CD＝28－x，由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝262－（28－x）2.所以302－x2＝262－（28－x）2，解得x＝18.所以AD2＝302－182＝576.所以AD＝24.所以△ABC的面积＝ BC·AD＝ ×28×24＝336 第10题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$