1.3　勾股定理的应用课件2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.3　勾股定理的应用 【探究1】直角三角形的判定 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ (2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？ (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD 是否垂直于边AB吗？ 用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长， 若 AD2 + AB2＝DB2， 则 ∠A＝90°，即AD⊥AB. (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？ ∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，DB2＝502＝2500 ∴∠A＝90°，即AD⊥AB. 所以边 AD 垂直于边 AB (2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？ A B C D A B C D 能检验.在 AD 上从 A 点量取 12 cm 得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F. 因为 12² + 16²= 20²， 用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm， 根据勾股定理逆定理，AD⊥AB； 若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB. (3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗? E F 案例分析 用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由. 如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？ A C B E D 分析： (1) 本题已知什么？求的是什么？ 5 10 A C B E D （3）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边吗？ （2）本题将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重 合，折痕为 DE，可得到什么？依据是什么？ AD = BD；依据：折叠的性质. 5 CD 在Rt△ACD 中； x 10-x 10-x 可设 CD = x， 则 AD = 10 - x. 10 A C B E D 5 x 10-x 10-x 10 解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm， 由题意，根据折叠的性质， 可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5. 在Rt△ACD 中， 由勾股定理得，AD² = AC² + CD²， (10 - x)² = 5² + x²， 解得 x = . 则 CD = . 【探究2】勾股定理的应用 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G， 交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗? 解：设DF长x cm，则EF长为(8-x) cm， ∵正方形纸片ABCD的边长为8 cm，点E为AD中点， ∴ED＝AD＝4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理， 得DE2＋DF2＝EF2， 即42＋x2＝(8-x)2， 解得x＝3. ∴DF的长为3 cm. 你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？ 试一试 总 结 利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤： ①标已知，设未知； ②利用折叠，找相等； ③利用勾股定理，列方程； ④解方程，得解. 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短路程问题 勾股定理的实际应用问题 1. 如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　A　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 第1题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，小明准备测量一段水渠的深度，他把一根竹竿AB竖直插到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD＝1.5米，竹竿高出水面的部分AD＝0.5米.若把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则水渠的深度BD为（　A　） A. 2米 B. 2.5米 C. 2.25米 D. 3米 第2题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（　B　） A. 10米 B. 15米 C. 16米 D. 17米 第3题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. ★★如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　C　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 第4题 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 五根小木棒，其长度分别为8，9，12，15，17，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的图形中，正确的是 　③　（填序号）. 第5题 ③　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是 　如果三角形的三边AB，BC，AC，满足AB2＋BC2＝AC2，那么这个三角形是直角三角形（合理即可）　. 第6题 如果三角形的三边AB，BC，AC，满足AB2＋BC2＝AC2，那么 这个三角形是直角三角形（合理即可）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. ★如图所示为一秋千的平面示意图.秋千静止的时候，踏板离地一尺（AC＝1尺），将踏板往前推至点B处（EB＝10尺），此时踏板离地五尺（BD＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）的长为 　14.5　尺. 第7题 14.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. （16分）地面上放着一个小凳子（AB与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40cm.如图①，一木杆的一端与墙脚O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm. （1） 求小凳子的高度. 解：（1） 如图①，过点A作AM垂直于墙面， 垂足为M. 由题意，得AM＝40cm. 在Rt△AOM中，由勾股定理，得OM2＝OA2－AM2＝502－402.所以OM＝30cm，即小凳子的高度为30cm 第8题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2） 如图②，另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙面上的点C处.若OC＝90cm，木杆BC比凳宽AB长60cm，求凳宽AB和木杆BC的长度. 解：（2） 如图②，延长BA交墙面于点N， 则易得∠BNC＝90°，ON＝30cm，AN＝40cm. 设AB＝xcm，则BC＝（x＋60）cm， BN＝AB＋AN＝（x＋40）cm，CN＝OC－ON＝90－30 ＝60（cm）.在Rt△BCN中，由勾股定理，得BN2＋CN2＝BC2，即（x＋40）2＋602＝（x＋60）2，解得x＝40.所以AB＝40cm，BC＝60＋40＝100（cm） 第8题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. ★（16分）滑撑杆在悬窗中运用广泛.如图，某款滑撑杆由滑道OC，撑杆AB，BC组成，滑道OC固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB，BC的长度始终保持不变.当悬窗关闭时，如图①，此时点A与点O重合，撑杆AB，BC恰与滑道OC完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆AB与撑杆BC恰成直角，即∠B＝90°，测量得OA＝12cm，撑杆AB＝15cm，求滑道OC的长度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：设OC＝mcm，则BC＝OC－AB＝（m－15）cm，AC＝OC－OA＝（m－12）cm.在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，AB2＋BC2＝AC2，即152＋（m－15）2＝（m－12）2，解得m＝51.所以滑道OC的长度为51cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$