精品解析：浙江省金华市南苑中学2024—2025学年下学期第二次月考七年级数学试卷

2024学年第二学期第二次学业水平反馈七年级数学试题卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列现象中，属于平移的是（ ） A. 足球在草坪上滚动 B. 货物在传送带上移动 C. 小朋友在荡秋千 D. 汽车雨刮器的摆动 2. 下列各组是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 5. 在下列多项式乘法运算中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 6. 根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A. B. C. D. 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 有两个正方形A和B，将A放置在B内部得到图1，将A，B并列放置得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和8，则正方形A的面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_________ ． 12. 计算的结果为______． 13. 因式分解：a3－a=______． 14. 已知，则的值为____________． 15. 若， 则的值为___________． 16. 图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则___________；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则___________． 三、解答题（本题8小题，共72分) 17. 计算或化简： （1）； （2）． 18. 解方程（组）： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中x的值从，0，2中选取一个． 20. 如图所示，在每个小正方形边长均为个单位长度的方格内，有一个，且的每个顶点均与小正方形的顶点重合． （1）在方格内，将向下平移个单位长度得到，请画出， （2）求三角形平移到的过程中，所扫过的面积． 21. 如图，于点D，点F是上任意一点，过点F作于点E，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 22. 某商铺准备在端午节前购进一批肉粽和蜜枣粽，已知肉粽的单价比蜜枣粽的单价多元，且花元购买的肉粽数刚好是花元购买的蜜枣粽数的倍． （1）求肉粽和蜜枣粽的单价分别是多少元？ （2）若该商铺一次性购进个蜜枣粽和个肉粽，并分别以元/个和元/个的定价按以下方式销售：端午节前肉粽涨价，端午节后肉粽打九折，蜜枣粽的售价始终保持不变，若两种粽子全部售出后共获利元，求端午节前肉粽售出的个数． 23. 【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①； ②； ③ ； ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 24. 佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． （1）若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？ （2）打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． （3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期第二次学业水平反馈七年级数学试题卷 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列现象中，属于平移的是（ ） A. 足球在草坪上滚动 B. 货物在传送带上移动 C. 小朋友在荡秋千 D. 汽车雨刮器的摆动 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键． 根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．足球在草坪上滚动，属于旋转，故该选项不符合题意； B．货物在传送带上移动，属于平移，故该选项符合题意； C．小朋友在荡秋千，属于旋转，故该选项不符合题意； D．汽车雨刮器的摆动，属于旋转，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中，的值代入原方程，取使得方程左边=方程右边的选项，即可得出结论． 【详解】解：当时，方程左边，方程右边，， 方程左边=方程右边， 是二元一次方程的解，选项符合题意； 当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 当时，方程左边，方程右边， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项不符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方逐一计算即可判断答案． 【详解】解：A、和不是同类项，并不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、，原计算错误，不符合题意，选项错误； C、，原计算正确，符合题意，选项正确； D、，原计算错误，不符合题意，选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 4. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴． ∴ 故选A． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 5. 在下列多项式乘法运算中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式：进行逐一判断即可得到答案. 【详解】解：A、可以用平方差公式进行运算，故不符合题意； B、，可以用平方差公式进行运算，故不符合题意； C、，不可以用平方差公式进行运算，故符合题意； D、，可以用平方差公式进行运算，故不符合题意； 故选C. 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式. 6. 根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子的正负号、分母的正负号、分数线上的正负号，同时变换两处的正负号，分式的值不变． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式基本性质是解题的关键． 7. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 8. 如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由三个已知条件可得AB∥CD，从而①正确；由①及平行线的性质则可推得②正确；由条件无法推出AC∥BD，可知③错误；由及平分，可得∠ACP=∠E，得AC∥BD，从而由平行线的性质易得，即④正确． 【详解】∵平分，平分 ∴∠ACD=2∠ACP=2∠2，∠CAB=2∠1=2∠CAP ∵ ∴∠ACD+∠CAB=2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜ ∴ 故①正确 ∵ ∴∠ABE=∠CDB ∵∠CDB+∠CDF=180゜ ∴ 故②正确 由已知条件无法推出AC∥BD 故③错误 ∵，∠ACD=2∠ACP=2∠2 ∴∠ACP=∠E ∴AC∥BD ∴∠CAP=∠F ∵∠CAB=2∠1=2∠CAP ∴ 故④正确 故正确的序号为①②④ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握这些知识是关键． 9. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题． 【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3， 移项、合并，解得：x=， ∵分式方程的解为非负数， ∴≥0且≠1， 解得：m≤5且m≠3， ∵m为正整数 ∴m=1，2，4，5，共4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解． 10. 有两个正方形A和B，将A放置在B内部得到图1，将A，B并列放置得到图2，若图1和图2中阴影部分的面积分别为5和8，则正方形A的面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式运算的应用，解题的关键是根据图形得出数量关系．设正方形A的边长是a，正方形B的边长是，根据图1和图2中阴影部分的面积分别为5和8，列出等式，根据求出结论． 【详解】解：设正方形A的边长是a，正方形B的边长是， 由题可得图1中阴影部分的面积是， 图2中阴影部分的面积是， ∵图1和图2中阴影部分的面积分别为5和8， ∴， ∴， ， ，即正方形A的面积为6， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】将看作已知数，根据移项求出． 【详解】解：， 移项得． 12. 计算的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查多项式除单项式的运算，根据多项式除单项式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 14. 已知，则的值为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，掌握将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件中的指数和进行计算是解题的关键． 将和化为以为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则和已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 由已知 得 ， ∴． 故答案为：． 15. 若， 则的值为___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，利用，（x可为任意值）即可求解出a的值． 【详解】解：①当时，可得，即； ②当且时，可得，即； ③当时，，此时指数，不为偶数，故此情况不成立，应舍去． 故答案为：，． 16. 图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则___________；现将支撑杆调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板至，使得，则___________． 【答案】 ①. 42 ②. ##76度 【解析】 【分析】如图2，过点B作，则，利用平行线的性质求出，再利用平行线的性质即可求出；如图3，延长交于H，利用三角形外角的性质求出，利用平行线的性质求出，然后根据的度数列式计算即可． 【详解】解：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图3，延长交于H， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：42，． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键． 三、解答题（本题8小题，共72分) 17. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）先计算零次幂、负整数指数幂和乘方，再计算乘除，最后计算加减； （）先运用平方差公式和完全平方公式进行整式乘法运算，再合并同类项； 本题考查了实数的运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握相关方程的解法步骤是解答的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先将分式方程化为整式方程，再解整式方程的解，最后检验即可求解． 【小问1详解】 解：方程组 由得，解得 将代入①，得，解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 检验：当时，， ∴该分式方程的解为． 19. 先化简，再求值：，其中x的值从，0，2中选取一个． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式有意义的条件及分式相关的运算法则； 首先将括号里面通分，再将分子与分母分解因式进而化简，再根据分式有意义的条件选取数值代入即可． 【详解】 ， ，且， 当时，原式． 20. 如图所示，在每个小正方形边长均为个单位长度的方格内，有一个，且的每个顶点均与小正方形的顶点重合． （1）在方格内，将向下平移个单位长度得到，请画出， （2）求三角形平移到的过程中，所扫过的面积． 【答案】（1） 如图所示：即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）根据图形平移的性质画出图形即可； （2）扫过的面积即长方形BCFE的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：所扫过的面积． 21. 如图，于点D，点F是上任意一点，过点F作于点E，且． （1）求证：； （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂线定义得出，证明，得出即可； （2）证明，得出，根据角平分线的定义求出，得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 22. 某商铺准备在端午节前购进一批肉粽和蜜枣粽，已知肉粽的单价比蜜枣粽的单价多元，且花元购买的肉粽数刚好是花元购买的蜜枣粽数的倍． （1）求肉粽和蜜枣粽的单价分别是多少元？ （2）若该商铺一次性购进个蜜枣粽和个肉粽，并分别以元/个和元/个的定价按以下方式销售：端午节前肉粽涨价，端午节后肉粽打九折，蜜枣粽的售价始终保持不变，若两种粽子全部售出后共获利元，求端午节前肉粽售出的个数． 【答案】（1）肉粽的单件为元，蜜枣粽的单价为元； （2）端午前售出的肉粽为个； 【解析】 【分析】（1）设蜜枣粽的单价为元，肉粽的单价为元，根据题意列方程即可解答； （2）设端午节前肉粽售出个，端午后售出个，根据题意列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设蜜枣粽的单价为元，肉粽的单价为元，根据题意可得， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴原分式方程的解为， ∴肉粽的单价为， 答：肉粽的单件为元，蜜枣粽的单价为元； 【小问2详解】 解：设端午节前肉粽售出个，端午后售出个，根据题意可得， ， 解得：， 答：端午前售出的肉粽为个； 【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次方程与实际问题，读懂题意明确题目中的数量关系和等量关系是解题的关键． 23. 【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①； ②； ③ ； ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【答案】（1）①③；（2）或；（3），，， 【解析】 【分析】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）可将给出的两项看作完全平方式的前两项或第一项和第三项，分别求得第三项和第二项，而给出的二项式的两项本身都是完全平方式，还可去掉其中一项，由此即可得解． 本题考查完全平方公式，完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【详解】解：（1）①， ②， ③ ， ④　． ∴是完全平方式的有①③． 故答案为：①③． （2）∵和都是完全平方式， ∴， ∴， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 24. 佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． （1）若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？ （2）打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． （3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【答案】（1）买灯A单价是万元，买灯B的单价是万元 （2）秒，秒，秒，秒 （3） 【解析】 【分析】（1）列二元一次方程组求解即可； （2）分四种情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可； （3）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可. 【小问1详解】 解：设买灯A和灯B的单价分别是万元和万元，根据题意，得： 解得： 答：买灯A单价是万元，买灯B的单价是万元． 【小问2详解】 解：设旋转时间为秒， 灯A的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：(秒)， 灯B的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：(秒)， ①当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示： 作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 于是有：， 解得：； ②当，且垂足在右边时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时，，， 于是有：， 解得：； ③当，且垂足在左边时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时，，， 于是有：， 解得：； ④当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时，， ， 于是有：， 解得：； 综上可得，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：秒，秒，秒，秒； 【小问3详解】 解：与的数量关系是： 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵作与的角平分线并交于点F， ∴， ∴ 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $