5.3一元一次方程的应用 教学设计 -2025-2026学年北师大版数学七年级上册

教案 课 题 一元一次方程的应用 备课人 授课日期 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过分析行程问题，学生能够从实际问题中抽象出数学模型，理解速度、路程、时间之间的关系，并用数学的眼光观察生活中的运动现象。 （2）会用数学的思维思考现实世界：学生能够借助 “线段图” 分析行程问题中的等量关系，运用一元一次方程解决实际问题，培养逻辑推理和数学建模的能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：学生能够通过列方程、解方程的过程，用数学语言清晰表达实际问题中的数量关系，并能与他人交流解题思路和结果。 教 学 重 点 与 难 点 （1）学生理解并掌握如何通过画 “线段图” 分析行程问题中的等量关系，并能够将实际问题转化为数学模型，列出一元一次方程。 （2）学生在解决追及问题时，能够准确区分同向不同地和同向同地不同时的两种情况，正确建立等量关系并列出方程。 （3）学生在综合情境中，能够灵活运用一元一次方程解决复杂的行程问题，培养数形结合的思想和解决实际问题的能力。 媒体教具 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示行程问题的动画模拟和线段图分析，帮助学生直观理解速度、时间和路程之间的关系。 （2）准备若干行程问题的实际案例视频，例如运动员赛跑、交通工具行驶等，以便学生能够联系实际，加深对方程应用的理解。 （3）制作互动式电子白板课件，包含可拖动的线段图元素和方程填写模块，让学生在课堂上能够积极参与，动手操作，即时反馈。 教法学法 讲授法、问题导向法、合作学习法 教 学 过 程 二次备课调整 一、引入新课 教师活动 1： 教师展示问题：小明和小华相距 100 米，他们同时出发，相向而行，小明每秒走 3 米，小华每秒走 4 米，他们能相遇吗？几秒钟可以相遇？ （这道题是小学做过的常见应用题：行程问题。用到的数量关系主要有： 路程 = 平均速度 × 时间； 时间 = 路程 ÷ 平均速度。 行程问题就是抓住速度、路程、时间三个量之间的关系，找出等量关系，正确列出方程来解决实际问题。） 学生活动 1： 学生回顾旧知，尝试解答问题。（学生可能会回忆起小学时解过类似的行程问题，通过回顾速度、时间和路程的关系，为解决问题打下基础。） （生：小明和小华相向而行，他们的相对速度是 3 + 4 = 7 米 / 秒。他们相距 100 米，所以相遇时间是 100 ÷ 7 ≈ 14.29 秒。） 二、新知探究 教师活动 2： 教师展示新问题并引导学生分析：小明每天早上要到距家 1000 m 的学校上学。一天，小明以 80 m/min 的速度出发，出发后 5 min, 小明的爸爸发现小明忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度沿同一条路去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 问题中有哪些已知量和未知量？ 已知量：家与学校的距离 1000 m，小明的速度 80 m/min，爸爸的速度 180 m/min，爸爸比小明晚 5 分钟 出发。 未知量：追及时间，追上时离校距离。 想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ 学生活动 2： 学生阅读问题，找出等量关系，画出线段图，并列出方程求解。（学生小组讨论，确定等量关系，画出线段图，并列出方程。） 设爸爸追上小明用了 x 分钟。 小明行走的距离：80 × (x + 5) 爸爸行走的距离：180 × x 根据等量关系，可列出方程：80(x + 5) = 180x 解这个方程，得 x = 4。 因此，爸爸追上小明用了 4 min，此时距离学校还有 1000 - 180 × 4 = 280 米。 （生：我们可以通过画线段图来直观表示这个问题。设爸爸追上小明用了 x 分钟，那么小明走了 80 × (x + 5) 米，爸爸走了 180 × x 米。根据等量关系，我们可以列出方程并求解。） 三、探究新知 教师活动 3： 教师展示例题并逐步引导学生分析：小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置。 如果小明起跑后 1 min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ 如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ （1）解：设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程 260 + 260x = 300x 解这个方程，得 x = 6.5 因此，小华用 6.5 min 追上小明。 （2）解：设小华起跑后 x min 两人首次相遇，根据等量关系，可列出方程 260x + 300x = 400 解这个方程，得 x = 0.25 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。 学生活动 3： 学生利用线段图进行分析，然后独立列出方程求解，指名回答，并说明理由。（学生通过画线段图，理解小华追上小明和两人首次相遇的问题，列出方程并求解。） （1）小明先跑了 1 分钟，即 260 × 1 = 260 米，然后小华开始追赶。 设小华用了 x 分钟 追上小明，则小明跑了 260 + 260x 米，小华跑了 300x 米。 根据等量关系，列出方程 260 + 260x = 300x，解得 x = 6.5。 （2）小明先跑了 1 分钟，即 260 × 1 = 260 米，然后小华开始反向跑。 设小华起了 x 分钟 后两人首次相遇，则小明跑了 260x 米，小华跑了 300x 米。 两人相遇时，共跑了 400 米，即 260x + 300x = 400，解得 x = 0.25。 （生：小明先跑了 1 分钟，小华再开始追赶。通过画线段图，我们可以清楚地看到小华追上小明所需的时间。） 四、新知探究 教师活动 4： 教师引导学生思考并交流： 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？与同伴进行交流。 借助表格和线段图寻找等量关系。 培养 数形结合思想 的应用意识，提高分析问题、解决问题的能力。 学生活动 4： 学生思考并交流，归纳总结。（学生小组讨论，交流解题步骤，总结归纳经验。） 步骤： 仔细审题，找出已知量和未知量。 找出等量关系，列出方程。 解方程，求出未知量。 检验解是否合理。 （生：通过这些实际问题，我学会了如何利用线段图找到等量关系，并列方程求解。这种 数形结合 的方法非常有效。） 五、课堂总结 教师活动： 教师总结本节课的内容，强调用一元一次方程解决实际问题的关键步骤和方法。 行程问题中的 等量关系。 列方程的基本步骤。 数形结合思想的应用。 学生活动： 学生反思本节课的收获，提出疑问。（学生反思本节课的学习内容，总结解题方法，提出不懂的问题。） （生：今天我们学习了如何利用线段图和方程解决 行程问题，我觉得这种方法非常有用。不过，有些复杂的题目还是需要多加练习才能掌握。） 作业布置 （1）根据行程问题的等量关系，列出方程并解决实际问题：小亮乘公交车去动物园，公交车速度为 30 千米 / 时，小亮从家出发后，公交车已经行驶了 5 分钟。若小亮以 6 千米 / 时的速度追赶公交车，问小亮多久能追上公交车？（提示：将时间转换为小时进行计算） （2）绘制线段图，并根据线段图解决以下问题：小明和小红在一条直线上相距 120 米，同时向对方走去，小明的速度是每秒 2 米，小红的速度是每秒 3 米。问他们多长时间后相遇？ 学科网（北京）股份有限公司 $$