精品解析：贵州省六盘水市青云学校2024-2025学年下学期第四次月考九年级数学试卷

六盘水市青云学校2024-2025学年第四次月考试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列四个数的绝对值比2大的是(　　)． A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 2. 据2025年《政府工作报告》报道，2024年国内生产总值达到134.9万亿元、增长5%，增速居世界主要经济体前列．其中134.9万亿用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（　　）． A. 主视图的面积为4 B. 左视图的面积为4 C. 俯视图的面积为3 D. 三种视图的面积都是4 4. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是（ ） A. 88.5 B. 86.5 C. 90 D. 90.5 5. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，E为的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能发生的事件是( ) A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为13 8. 在月历上框出相邻的三个数、、，若它们的和为33，则框图不可能是（　　　） A. B. C. D. 9. 如图，▱ABCD中，AC⊥BC，BC＝3，AC＝4，则B，D两点间的距离是（　　） A. B. 6 C. 10 D. 5 10. 使代数式 有意义的x满足(   ) A. x≠3且x≠2                B. x≠3且x≠-1                C. x≠2且x≠-2               D. x≠-1,x≠2且x≠3 11. 如图所示,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A'点,连接A'B,则线段A'B与线段AC的关系是 (　　) A. 垂直 B. 相等 C. 平分 D. 平分且垂直 12. 已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则m的值是（    ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. ±1或2 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 长方形的长为a，宽为b，则它的周长为______． 14. 如图所示，在直角坐标系中，的顶点，且，则点 C 的坐标是__________ 15. 点在直线上，则代数式的值是___． 16. 如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，若，则_____． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）在①，②，③，④ 中任选3个代数式相加并化简； （2）先化简，再求值： 其中； 18. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 19. 如图，是正方形对角线上一点，，点分别是垂足. （1）求证：； （2）若，求的长. 20. 为培育和践行社会主义核心价值观，弘扬传统美德，学校决定购进相同数量的名著《平凡的世界》（简称A）和《恰同学少年》（简称B），其中A的标价比B的标价多25元，为此，学校划拨了1800元用于购买A，划拨了800元用于购买B． （1）求A、B的标价各多少元？ （2）阳光书店为支持学校的读书活动，决定将A、B两本名著的标价都降低m%后卖给学校，这样，A的数量不变，B还可多买2m本，且总购书款不变，求m的值． 21. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 22. 设函数，函数（，，b是常数，，）． （1）若函数和函数的图象交于点，点， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． （2）若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 23. 如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为弧的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 24. 如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米． 图2 （1）直接写出，的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 25. 如图，在中，，，，为底边上一动点，连接，以为斜边向左上方作等腰直角，连接． 观察猜想： （1）当点落在线段上时，直接写出，的数量关系：_______． 类比探究： （2）如图2，当点在线段上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸： （3）在点运动过程中，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六盘水市青云学校2024-2025学年第四次月考试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分． 1. 下列四个数的绝对值比2大的是(　　)． A. －3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出选项中四个数的绝对值，再与2比较，从而可得答案． 【详解】解：因为： 所以：>2． 故选：A． 【点睛】本题考查的是求一个数的绝对值以及有理数的大小比较，掌握以上知识是解题的关键． 2. 据2025年《政府工作报告》报道，2024年国内生产总值达到134.9万亿元、增长5%，增速居世界主要经济体前列．其中134.9万亿用科学记数法表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：134.9万亿． 故选D． 3. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（　　）． A. 主视图的面积为4 B. 左视图的面积为4 C. 俯视图的面积为3 D. 三种视图的面积都是4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的绘制，首先画出三视图再计算其面积. 【详解】解：A．主视图的面积为4，此选项正确； B．左视图的面积为3，此选项错误； C．俯视图的面积为4，此选项错误； D．由以上选项知此选项错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查三视图的画法，关键在于正面方向. 4. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是（ ） A. 88.5 B. 86.5 C. 90 D. 90.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，85分别乘以它们的百分比，再求和即可． 【详解】根据题意得：95×20%+90×30%+85×50%=88.5（分）， 即小彤这学期的体育成绩为88.5分． 故选A． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键. 5. 下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【详解】解：A、两项都是相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、中两项有相反项，有相同项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、中两项都是相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、只有相同的项，没有互为相反数的项，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 6. 如图，已知，E为的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE=∠CFE，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB=12cm即可求出BD的长． 【详解】∵AB∥CF， ∴∠ADE=∠CFE， ∵E为DF的中点， ∴DE=FE， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD=CF=7cm， ∵AB=12cm， ∴BD=12-7=5cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定及性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 7. 同时掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能发生的事件是( ) A. 点数之和为12 B. 点数之和小于3 C. 点数之和大于4且小于8 D. 点数之和为13 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：找到一定不会发生的事件即可． 解：A、6点+6点=12点，为随机事件，不符合题意； B、例如：1点+1点=2点，为随机事件，不符合题意； C、例如：1点+5点=6点，为随机事件，不符合题意； D、两枚骰子点数最大之和为12点，不可能是13点，为不可能事件，符合题意． 故选D． 考点：随机事件． 8. 在月历上框出相邻的三个数、、，若它们的和为33，则框图不可能是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由日历的特点可得：左右相邻的两个数相差1，上下相邻的两个数相差7，且为正整数，再就每个选项构建一元一次方程，通过解方程可得答案. 【详解】解：由日历的特点可得：左右相邻的两个数相差1，上下相邻的两个数相差7，且为正整数， 选项A： 则 解得： 则 故A不符合题意； 选项B： 则 解得： 故B符合题意； 选项C： 则 解得： 则 故C不符合题意； 选项D： 则 解得： 故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“日历的特点：左右相邻的两个数相差1，上下相邻的两个数相差7，再构建一元一次方程”是解本题的关键. 9. 如图，▱ABCD中，AC⊥BC，BC＝3，AC＝4，则B，D两点间的距离是（　　） A. B. 6 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】过作，连接,构造直角三角形,利用勾股定理求出即可． 【详解】过作，连接 四边形为平行四边形 又 , 四边形为矩形 在中， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及矩形的判定，同时结合勾股定理进行相关计算，熟练掌握平行四边形的相关性质定理是解决本题的关键. 10. 使代数式 有意义的x满足(   ) A. x≠3且x≠2                B. x≠3且x≠-1                C. x≠2且x≠-2               D. x≠-1,x≠2且x≠3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即可解答． 【详解】∵=有意义， ∴x-3≠0，x-2≠0，x+1≠0， ∴x≠3，x≠2，x≠-1， 故选D． 【点睛】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是熟记分式有意义的条件． 11. 如图所示,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A'点,连接A'B,则线段A'B与线段AC的关系是 (　　) A. 垂直 B. 相等 C. 平分 D. 平分且垂直 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系． 【详解】解：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O． ∵A′O=OB=，AO=OC=2， ∴线段A′B与线段AC互相平分， 又∵∠AOA′=45°+45°=90°， ∴A′B⊥AC， ∴线段A′B与线段AC互相垂直平分． 故选D 【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理，正确利用网格求边长长度及角度是解题的关键． 12. 已知二次函数y＝x2－2x＋2在m≤x≤m＋1时有最小值m，则m的值是（    ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. ±1或2 【答案】C 【解析】 【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围m≤x≤m+1分三种情况分析： （1）顶点坐标在范围m≤x≤m+1右侧时； （2）顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时； （3）顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时； 分别结合二次函数增减性求出最值即可． 【详解】解：y=x2-2x+2=（x-1）2+1，分类讨论： （1）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1右侧时，有m＜1，此时y随x的增大而减小， ∴当x=m+1时，函数取得最小值，y最小值=m=（m+1）2-2（m+1）+2， 方程无解． （2）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1内时，即有m≤1≤m+1， 解这个不等式，即 0≤m≤1．此时当x=1时，函数取得最小值，y最小值=1， ∴m=1． （3）若顶点横坐标在范围m≤x≤m+1左侧时，即m＞1时，y随x的增大而增大， ∵当x=m时，函数取得最小值，y最小值=m=m2-2m+2，解得m=2或1（舍弃） ∴m=1或2． 故选C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 长方形的长为a，宽为b，则它的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由周长为长加宽之和的2倍，列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，则长方形的周长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了整式的加减，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 14. 如图所示，在直角坐标系中，的顶点，且，则点 C 的坐标是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握点的坐标特点，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 如图：过点C作于点D，根据点得，再根据等腰直角三角形性质得，由此可得点C的坐标． 【详解】解：如图：过点C作于点D， ∵点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故答案为． 15. 点在直线上，则代数式的值是___． 【答案】-3 【解析】 【分析】直接把点代入函数，得到，再代入代数式即可得出结论． 【详解】解：∵点 在函数的图象上， ∴， ∴ 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了一次函数图象 上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 16. 如图，四边形是正方形，点E在边上，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，分别交于点M，N，过点F作的垂线交的延长线于点G．连接，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，过点Q作于Q，先证明得到，进而证明，得到，则，证明四边形是矩形，得到，，证明， 求出，证明，求出，则． 【详解】解：如图所示，过点Q作于Q， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）在①，②，③，④ 中任选3个代数式相加并化简； （2）先化简，再求值： 其中； 【答案】（1）（不唯一）；（2），11 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的加减运算、整式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据题意列出代数式，然后按照整式的加减运算法则求解即可； （2）先按照整式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1）选①，②，③， 则 ； （2） ； 当时，原式． 18. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 【答案】（1） （2）， 补全统计图如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率； （1）根据组的人数除以占比得出总人数； （2）根据总人数求得组的人数，进而求得占比，以及补全统计图； （3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：参加本次问卷调查的学生共有（人）； 【小问2详解】 解：A组人数为人 A组所占的百分比为：； 【小问3详解】 画树状图法如下图 列表法如下图 A B C D A B C D 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种． ∴P（选中的2个社团恰好是B和C）． 19. 如图，是正方形对角线上一点，，点分别是垂足. （1）求证：； （2）若，求的长. 【答案】（1）证明： ∵四边形是正方形，为对角线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，再利用SAS证明，最后利用全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质及余角可知，再根据正方形的性质得出，进一步可求得PE的值，最后根据30度角的性质即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、含30度角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 20. 为培育和践行社会主义核心价值观，弘扬传统美德，学校决定购进相同数量的名著《平凡的世界》（简称A）和《恰同学少年》（简称B），其中A的标价比B的标价多25元，为此，学校划拨了1800元用于购买A，划拨了800元用于购买B． （1）求A、B的标价各多少元？ （2）阳光书店为支持学校的读书活动，决定将A、B两本名著的标价都降低m%后卖给学校，这样，A的数量不变，B还可多买2m本，且总购书款不变，求m的值． 【答案】（1）45元，20元；（2）35． 【解析】 【分析】（1）设B的标价为x元，则A的标价为（x+25）元，列方程，解方程即可； （2）将A、B两本名著的新标价计算出来，根据数量×单价＋数量×单价 ，列方程求解即可． 【详解】解：（1）设B的标价为x元，则A的标价为（x+25）元，列方程， 解方程，得x=20， 经检验，x=20是原方程的根，所以x+25=45， 答：A的标价是45元，B的标价是20元； （2）将A、B两本名著的标价都降低m%后，A的标价为45（1- m%）元，B的标价为20（1- m%）元，原购买数量为A：40（本），变化后的购买数量：A种40本，B种（40+2m）本， 根据题意，得40×45（1- m%）+（40+2m）×20（1- m%）=2600， 解得： 经检验：不合题意舍去，取 答：的值为 【点睛】本题考查了分式方程的应用，熟记数量×单价＝费用是解题的关键，注意分式方程必须要验根． 21. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 22. 设函数，函数（，，b是常数，，）． （1）若函数和函数的图象交于点，点， ①求函数，的表达式： ②当时，比较与的大小（直接写出结果）． （2）若点在函数的图象上，点C先向下平移3个单位，再向左平移5个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值． 【答案】（1）①，；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式； ②利用函数图象分析比较； （2）根据平移确定点D的坐标，然后利用函数图象上点的坐标特征代入求解． 【小问1详解】 解：①把点代入， ， 解得：， ∴函数的表达式为， 把点代入，解得， 把点，点代入， ， 解得， ∴函数的表达式为； ②由图知，当时，； 【小问2详解】 解：由平移，可得点D坐标为， ∴， 解得：， ∴n的值为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，理解反比例函数和一次函数的图象性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想是解题的关键． 23. 如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为弧的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，，进而求得，得出，即可证得结论； （2）根据垂径定理和圆周角定理易求得，得出，解直角三角形求得，即可求得的半径； （3）根据求得即可． 【小问1详解】 解：证明：连接， ，为的直径， ， 点恰好为的中点， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 过点作弦垂直于直径于， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的半径为2． 【小问3详解】 连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形和等边三角形是解题的关键． 24. 如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米． 图2 （1）直接写出，的值； （2）求大棚的最高处到地面的距离； （3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】（1），；（2）米；（3）352 【解析】 【分析】（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入，求出b、c即可； （2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可； （3根据，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可． 【详解】解：（1）由题意知点A坐标为，点B坐标为， 将A、B坐标代入得： 解得：， 故，； （2）由， 可得当时，有最大值， 即大棚最高处到地面的距离为米； （3）由，解得，， 又因为， 可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） 共需要（根）竹竿． 【点睛】本题主要考查根据待定系数法求函数解析式，根据函数解析式求顶点坐标，以及根据函数值确定自变量取值范围，掌握此题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质． 25. 如图，在中，，，，为底边上一动点，连接，以为斜边向左上方作等腰直角，连接． 观察猜想： （1）当点落在线段上时，直接写出，的数量关系：_______． 类比探究： （2）如图2，当点在线段上运动时，请问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸： （3）在点运动过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）=； （2）如图（2）中，结论成立． 证明：取的中点，连接，． ，，， ，，， ，都是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）证明是等腰直角三角形即可． （2）结论成立．取的中点，连接，．证明，推出，再证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，取的中点，连接．当点在线段上时，如图中，当点在线段上时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图（1）中， ，都是等腰直角三角形， ，， ， ， 故答案为：． （2）略 （3）如图中，取的中点，连接．当点在线段上时， ， ， ， ， ， 在中，， ． 如图中，当点在线段上时，同法可得，， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $