精品解析：内蒙古包头市景泰高级中学2026届高三上学期8月份月考数学试卷

包头市景泰高级中学高三8月份月考数学试卷 本试卷主要考查集合、复数、统计概率，简易逻辑，三角恒等公式和正余弦定理、平面向量、排列组合和二项式定理. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的备选答案中，只有一个选项是符合题意的.） 1. 已知命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中，为实数，令，则=（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的必要而不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对按照比例得部分分，选错或不选得0分.） 9. 已知多项式，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是（ ） A. 该四位数是奇数的有108个 B. 该四位数能被5整除的有108个 C. 该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个 D. 若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142 三、填空题（共3小题，每小题5分，共20分） 12. 已知复数在复平面上对应的点在上，则实数______. 13. 命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是________． 14. 已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 点击量 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______ 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数． 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 （1）当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值． 附： 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 已知平面向量，且与的夹角等于与的夹角. （1）求的值； （2）设，且，若在方向上的投影向量为，求的值. 17. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． （1）求和的值及展开式中项的系数； （2）求的展开式中的常数项． 18. 我校举行的“青年歌手大奖赛”吸引了众多有才华的学生参赛.为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 ， 8 0.16 第2组 ， ▓ 第3组 ， 20 0.40 第4组 ， ▓ 0.08 第5组 ， 2 合计 ▓ ▓ （1）求出，，，的值； （2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的平均数和第60百分位. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，周长为，且，求. （3）若，求面积的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市景泰高级中学高三8月份月考数学试卷 本试卷主要考查集合、复数、统计概率，简易逻辑，三角恒等公式和正余弦定理、平面向量、排列组合和二项式定理. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的备选答案中，只有一个选项是符合题意的.） 1. 已知命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】命题的否定为：. 故选：C. 2. 已知，其中，为实数，令，则=（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题先将已知等式左边的复数进行化简，然后根据复数相等的条件，列出关于实数，的方程组，求出，的值，代入复数模长的公式计算即可. 【详解】因为，所以， 由复数相等的定义可得，，解得. 又，则，所以. 故选：B． 3. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解两个不等式，求得集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】因，， 则 故选：D． 4. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 6种 D. 8种 【答案】C 【解析】 【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可. 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法 所以，不同的安排方法共有种 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略. 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用排列和组合，求出基本事件的个数和两位参赛同学抽到一个相同主题的个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，共有种， 所以甲、乙两位参赛同学抽取两个不同主题准备作文，共有种， 两位参赛同学抽到一个相同主题，有种， 则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题的概率为P＝＝． 故选：A． 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即，再利用三角形内角和为即可求角. 【详解】由正弦定理得， 即， 所以，在中，所以， ，又，所以， 则． 故选：B． 7. 设，则“”是“”的必要而不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式以及绝对值不等式的求解化简，即可根据必要不充分条件列出不等式求解. 【详解】∵，∴，∵，∴， ∴是的必要不充分条件，则或，得， 故选：A． 8. 在中，，为边上的中线，为的中点，在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得又由在方向上的投影向量为，得，又，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 如图，在中，为边上的中线，为的中点， 则（*）， 由在方向上的投影向量为，得，则， 由（*）两边平方，可得： ，所以， 故选：D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对按照比例得部分分，选错或不选得0分.） 9. 已知多项式，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项求解判断. 【详解】对于A，取，得，A正确； 对于B，在的展开式中，含的项为，即，B正确； 对于C，令，得①，则，C正确； 对于D，令，得②， 由①-②可得：，则，D错误. 故选：ABC 10. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数取值范围、二倍角公式、两角和差公式、同角三角函数关系等知识，即可得出结果. 【详解】对于A，因为，， 所以，所以， 所以，即，故A正确； 对于B，又，，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，， . 故选：ABD. 11. 由0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的四位数，则下列说法错误的是（ ） A. 该四位数是奇数的有108个 B. 该四位数能被5整除的有108个 C. 该四位数中，个位上的数字小于十位上的数字的有150个 D. 若该四位数是偶数，将这些偶数从小到大排列，则第71个数是3142 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A：优先考虑个位为奇数，再考虑千位不能是0，借助排列组合数公式计算即可；对于选项B：优先考虑个位为0以及个位为5，再利用排列组合数公式及分类计数原理计算即可；对于选项C：分别讨论个位是0，1，2，3，4，再利用排列组合数公式及分类计数原理计算即可；对于选项D：借助计数原理等知识，优先考虑千位数，依次讨论千位数为1，2，3，在考虑百位数，直至找到第71个数即可. 【详解】对于选项A：当末位是数字1，3，5时，千位不能是0，共有个奇数．所以选项A错误； 对于选项B：能被5整除的数则末位是数字0或5，当末位是数字0时，可以组成个， 当末位是数字5时，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，有个， 根据分类计数原理知共有个，所以B正确； 对于选项C：该四位数中个位上的数字小于十位上的数字，个位是0，有个； 个位是1，有个；个位是2，有个； 个位是3，有个；个位是4，有个， 共有：个，所以选项C正确； 对于选项D：当千位是数字1时，可以组成个偶数； 当千位是2时，偶数共有个偶数； 千位是3时，百位为0时有：个；合计66个， 千位是3．百位是1时，偶数依次为：3102，3104，3120，3124，3140， 3140就是0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来第71个数． 所以选项D不正确； 故选：AD． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共20分） 12. 已知复数在复平面上对应的点在上，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得点的坐标，代入直线方程中即可求解. 【详解】解：复数在复平面上对应的点,， 依题意，，所以，结合，得． 故答案为：2． 13. 命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知电商平台统计的连续5天某商品的点击量（单位：万次）如下： 样本号 1 2 3 4 5 第天 1 2 3 4 5 点击量 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，，，，.建立点击量关于天数的线性回归方程，预测第6天的点击量为______ 【答案】9.11万次 【解析】 【分析】根据条件，求出关于的回归直线方程，即可求解. 【详解】因为， 则，所以关于的回归直线方程为， 当时，，故预测第6天的点击量约为9.11万次， 故答案为：9.11万次. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 某校以“和经典相伴，与书香同行”为主题举行学习活动．为了解男女同学对该活动的感兴趣程度，对该校多位同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中为正整数． 参加 不参加 合计 男生 女生 合计 （1）当足够大时，估计该校任一不参加活动的学生是男生的概率； （2）若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求的最小值． 附： 0.1 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率即可得出答案； （2）根据小概率值的独立性检验得到即可得出答案. 【小问1详解】 设事件为“该校任一不参加活动的学生是男生”，由调查数据可知当足够大时，以频率估计概率可知该校任一不参加活动的学生是男生的概率． 【小问2详解】 零假设为：是否参加活动与性别无关． 由题意可得， 若根据小概率值的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，即不成立， 则，解得． 因为为正整数，则的最小值为10． 16. 已知平面向量，且与的夹角等于与的夹角. （1）求的值； （2）设，且，若在方向上的投影向量为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量加法坐标运算和两向量的夹角坐标公式计算参数的值； （2）先根据向量加法和数量积坐标运算得，再根据投影向量的坐标运算计算参数值； 【小问1详解】 ∵向量， 又∵与的夹角等于与的夹角， ∴，∴， ∴＝，解得 【小问2详解】 根据(1)知，， 因为，得，解得，则， ，在方向上的投影向量为， 所以，则，解得. 17. 已知的展开式中所有项的二项式系数和为，各项系数和为． （1）求和的值及展开式中项的系数； （2）求的展开式中的常数项． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）二项式系数和为即可求出，再令可得各项系数和，即可求出，写出展开式的通项，利用通项求出项的系数； （2）由，利用（1）中的通项计算可得. 【小问1详解】 因为的展开式中所有项的二项式系数和为，所以，解得； 所以，令可得，解得； 所以展开式的通项为：， 令，解得， 所以项的系数为； 【小问2详解】 ， ①当即时，； ②当即时，； 所求的常数项为． 18. 我校举行的“青年歌手大奖赛”吸引了众多有才华的学生参赛.为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 ， 8 0.16 第2组 ， ▓ 第3组 ， 20 0.40 第4组 ， ▓ 0.08 第5组 ， 2 合计 ▓ ▓ （1）求出，，，的值； （2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的平均数和第60百分位. 【答案】（1）16，0.04，0.032，0.004 （2） （3）70.2，73 【解析】 【分析】（1）利用频率计算公式，以及频率分布直方图的横坐标和纵坐标的定义，即可求出； （2）由（1）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用列举即可求出从这6人中任选2人的种数和所选的两人来自同一组的情况，利用古典概型的概率计算公式即可得出； （3）按照频率分布直方图平均数和百分位数的定义，分别计算，可得结果. 【小问1详解】 由题意可知，，解得；，内的频数为， 样本容量，； 又，内的频率为，； ，内的频率为0.04，； 【小问2详解】 由题意可知，第4组共有4人，记为、、、， 第5组共有2人，记为、； 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有 、、、、、、、、、、 、、、、共15种情况； 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件， 有、，、、、、、、共9种情况； 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是； 【小问3详解】 根据频率分布直方图知，平均数． 设第60百分位为，根据频率得第60百分位的数在第3组，， 解得，第60百分位的数为73. 19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知且. （1）求； （2）若的外接圆半径为，周长为，且，求. （3）若，求面积的最大值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由切化弦及和角正弦公式得，再利用正弦定理化简求解. （2）利用正弦定理边化角求得，再利用三角恒等变换求解. （3）利用余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，进而求出面积最大值. 【小问1详解】 在中，， 依题意，，由正弦定理得． 而，则，又，所以. 【小问2详解】 的外接圆半径为，由正弦定理得，，， 由，得，而， 于是， 则，由，得，因此，所以. 【小问3详解】 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 的面积， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $