安徽省肥东县第一中学2025-2026学年高三大联考(三)数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 肥东一中2026级高三大联考(三) 数 学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C A A D D D 题号 9 10 11 12 13 14. (Ⅰ) 14. (Ⅱ) 答案 AD BC ABD 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是( C ) A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差 【分析】根据极差、中位数、平均数、众数的定义，结合题设、特例和各项描述依次分析其正误. 【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A错误； B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是2，B错误； C，设原平均数为 ，假设去掉最大值后平均数不变，则，所以，解得，由原数据不全相等，可得，矛盾，所以平均数一定改变，C正确； D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误． 故选：C 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则的虚部是( D ) A． B． C． D． 【难度】0.94 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的坐标表示、复数的除法运算 【分析】根据复数的几何意义得，再由复数的乘法、除法运算即可求解. 【详解】因为在复平面内，复数z对应的点为， 所以，所以的虚部是． 故选： D． 3. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的( C ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【难度】0.94 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意即可得到答案. 【详解】由题意，“其身正，不令而行”，即身正令行， 故“身正”是“令行”的充分条件； “其身不正，虽令不从”，即令行身正， 所以“身正”是“令行”的必要条件． 综上可知，“身正”是“令行”的充要条件. 故选：C． 4. 已知是方程的两个根，且，则( A ) A． B． C． D． 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据韦达定理与两角和的正切公式结合求解即可. 【详解】由韦达定理可得，，， 又， 故. 故选：A 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则( A ) A． B． C．1 D．2 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】结合已知利用正余弦定理化简求解即可. 【详解】因为， 由正余弦定理得，即， 化简得 故选：A 6. 已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是( D ) A． B． C． D． 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】由于所求值为定值，可取特殊位置求解，设出两直线方程，分别代入抛物线方程，根据韦达定理和弦长公式求解和即可. 【详解】如图，由于两直线有很好的对称性，故可取特殊位置. 易知，该抛物线的焦点， 设此时两直线方程分别为，，代入，得，， 设，，，，则，，，， 则， ，所以. 故选：D. 第6题答案图 7. 已知数列的前项和为，当时，，则的值为( D ) A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列的递推公式得出，即第3项起相邻两项之和为定值，再结合题意即可求出结果. 【详解】由题意可知，当时，，则当时，， 两式相减可得，即， 则， 所以． 故选：D． 8. 在锐角中，若，则的最小值是( D ) A．4 B． C． D．8 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简，再利用基本不等式和上述结论，从而可得的最小值. 【详解】由，可得． 因为为锐角三角形，所以均大于0． 则(*)(当且仅当时取等号)． 而 ， 则由(*)可得：，即，当且仅当， 即时取等号，即当或时， 的最小值是8． 故选： D. 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分． 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 某植物基因型为Aa的亲本个体自交，第1代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA和aa出现的概率分别为，之后每一代个体都自交，记第n代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA出现的概率为，则( AD ) A．数列是等比数列 B．第5代中杂合子Aa出现的概率为 C．数列是等差数列 D．第5代中纯合子AA出现的概率为 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、等比数列的定义、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】根据递推关系可得，，即可结合选项求解ABC,利用累加法即可求解D. 【详解】由题意可得，第2代中杂合子Aa出现的概率为，第3代中杂合子Aa出现的概率为，…，故第n代中杂合子Aa出现的概率 ，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，A正确；，B错误； 由题意可得，第1代中杂合子Aa自交后在第2代中出现纯合子AA的概率为，所以第2代中出现纯合子AA的概率为，第2代中杂合子Aa自交后在第3代中出现纯合子AA的概率为，所以第3代中出现纯合子AA的概率为，…，故第n代中纯合子AA出现的概率，，不是等差数列，C错误； ，D正确． 故选：AD 10. 已知函数，则( BC ) A．当时，在上单调递减 B．当时，有两个极值 C．若有三个不同零点，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有两条 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】对于A，由题可得当时，，据此可判断选项正误； 对于B，由题可得此时，由判别式可判断极值点个数； 对于C，由题可得，然后通过比较常数项可判断选项正误； 对于D，设切点为由题可得判断切线条数相当于判断方程根的个数，利用导数研究函数 单调性可得根个数. 【详解】对于A，当时， 恒成立， 故函数在上单调递增，A错误． 对于B，， 有两个不相等实数根，有两个极值，故B正确． 对于C，有三个不同零点 ， 取可得，， 所以，，故C正确． 对于D，显然点不在的图象上，设切点为 ， 故切线方程为 ， 又切线过点，故 ， 整理得，设 ，则， 令，得或， 令，得或， 令，得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中 ，又，故 只有1个根-2， 故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，D错误． 故选：BC． 11. 双曲线(，)的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是( ) A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形(四边形)的面积问题 【分析】根据双曲线的渐近线，圆和直线的位置关系，以及焦点三角形的性质，逐一判断各选项正误. 【详解】双曲线，则，，，，渐近线方程为，以为直径的圆方程为； 联立方程组得，解得，不妨设， 则，由，得， 解得，则，离心率，所以A正确； 可知，则，所以，故B正确； 由，则，，，， 当位置互换时，，不符合条件，所以C错误； 由，则，所以， 已知，， 所以，所以D正确； 故选：ABD. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则． 【难度】0.85 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】表示出，由向量垂直的条件，列式解出答案 【详解】因为，，所以. 因为，所以， 解得. 故答案为： 13. 甲、乙两人进行象棋比赛(没有平局)，采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为 ． 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，所以，再利用导数求解最大值． 【详解】甲以获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜， 所以，则． 令，得；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为．故答案为： 14. 已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形．设等腰四面体的三组对棱长分别为．在等腰四面体中，，．则： (Ⅰ) 该四面体的体积为 ； (Ⅱ) 该四面体的内切球表面积为 ． 【难度】0.4 【知识点】余弦定理、锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】将对棱相等的 “等腰四面体”放入一个长方体中，求出长方体的棱长，求出该四面体的体积，根据体积，使用等体积法求出内切圆半径即可. 【详解】已知，，根据余弦定理可知, 如图，将对棱相等的 “等腰四面体”放入一个长方体中，则，解得， ，所以， 已知，，则， 可知，则四面体表面积， 设内切球半径为，则，则半径，则内切球表面积为， 故答案为：；. 第14题答案图 解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题13分) 【本问13分】求函数f(x)=x+4+的定义域与值域． 16. (本小题15分) 已知双曲线的左、右焦点分别为． (Ⅰ) 【本问6分】若与D:有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (Ⅱ) 【本问9分】若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、求椭圆的焦点、焦距、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】(Ⅰ) 求出椭圆的焦点坐标，再利用待定法求出双曲线方程. (Ⅱ) 利用双曲线定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】(Ⅰ) 椭圆的焦点为和， 依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为. (Ⅱ) 设，，则由双曲线的定义得， 在中，， 则，所以的面积. 17. (本小题15分) 如图1，正方形的边长为2．如图2，现将正方形沿着对角线翻折，其中O为原正方形的中心． (Ⅰ) 【本问4分】证明：平面； (Ⅱ) 【本问11分】翻折至四面体的体积最大时． (ⅰ) 【本问5分】求异面直线与所成角的大小； (ⅱ) 【本问6分】求与平面所成的角的正弦值． 第17题图 第17题答案图1~3 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】(Ⅰ) 依据条件得到，，然后利用线面垂直判定定理可得； (Ⅱ) (ⅰ) 方法1：分别取，的中点，记为E，F，然后找到或其补角为异面直线与所成角，然后计算相关线的长度计算；方法二：建立空间直角坐标系，计算，，然后利用空间夹角公式计算即可；(ⅱ) 计算以及面的一个法向量，然后计算. 【详解】(Ⅰ) 证明：在图1中连接，，因为和都是等腰三角形，且O是正方形中心，所以，，，，平面，所以平面． (Ⅱ) 在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，D点到平面的距离最大，此时平面平面，因为，所以平面． 方法1：(ⅰ) 如图2所示，在四面体中，取，的中点，记为E，F，连接，，． 因为为的中位线，所以且，同理且， 所以或其补角为异面直线与所成角，且，， 由前知，平面，所以．又，，所以， 所以为等边三角形，，所以异面直线与所成角的大小为． 方法2：(ⅰ) 所以，，两两垂直，如图3，以O为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 因为正方形的边长为2，所以，，，，，， 设异面直线与所成角为，，因为，所以． (ⅱ) 因为，，，设平面的一个法向量， 因为，即，令，则，，得， 设与平面所成角为，，即与所成的角的正弦值为． 18. (本小题17分) 已知函数有三个零点，满足． (Ⅰ) 【本问6分】求实数a的取值范围； (Ⅱ) 【本问11分】若为上任意个实数，，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”．若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”． 这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式，请根据以上材料，回答下面的问题． (ⅰ) 【本问5分】若函数为凸函数，求b的取值范围； (ⅱ) 【本问6分】证明∶． 【难度】0.15 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究恒成立问题、利用导数研究函数的零点、函数新定义 【分析】(Ⅰ) 由题目信息可判断单调性，从而可得，然后讨论，2大小关系，可得单调性，再结合零点存在性定理可得答案； (Ⅱ) (ⅰ) 由题可得，对定义域恒成立，通过换元及复合函数导数求法可得，据此可得答案；(ⅱ) 由题目信息，然后由(i)中结论可完成证明. 【详解】(Ⅰ) 由题，由题目信息：，则. 从而在上单调递减，在上单调递增，从而.若，则， 则在上单调递增，又注意到，则此时只有1个零点，不满足题意； 若，则， 令在上单调递增，则. ,又，则存在，使. 结合单调性可得， . 则在上单调递增，在上单调递减. ，则. 令，则， 从而在上单调递减，又，则. 又注意到，，，， 则存在，使，满足题意. 所以实数的取值范围是； (Ⅱ) (ⅰ) 令，则，从而， 令，则，从而， 由题，对定义域恒成立，则恒成立，即. 令，则，令，则， 从而，，则在上单调递增，在上单调递减，则， 从而，所以实数的取值范围是； (ⅱ) 由题目信息，，当且仅当时取等号. 由(Ⅰ) ，，又注意到， 则. 令， 则 则， 即， 即 . 因，则， 因，则，， 则，从而 ，则取时， 即时， ， 即. 19. (本小题17分) 【坦编原创题】错位重排是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题．现不妨将数字任意排成一列，如果数字恰好在第个位置上，则称有一个TB，其中TB的个数称为TB数，记为．当时的排列称为B-E排列，并记数字的B-E排列种数为，例如a1=0，a2=1，该种问题就是错位重排问题，也称作B-E问题． (Ⅰ) 【本问3分】现有一道五选五的选句填空题，需要将选项为A，B，C，D，E的5个选项，分别填入题号为1，2，3，4，5的5个小题， 求每道题都答错的概率(结果保留分数)； (Ⅱ) 【本问5分，本问若仅写出关于的递推关系，得分不得超过2分】求的通项公式； (Ⅲ) 【本问4分】设n个数字排位一列且没有TB的概率p，讨论p与的大小关系，并说明理由； (Ⅳ) 【本问5分】证明：为奇数． 附：泰勒展开式：…． 【难度】0.15 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理、计算古典概型问题的概率、由递推关系式求通项公式、写出简单离散型随机变量分布列、数学归纳法证明整除问题 【分析】(Ⅰ) 根据定义分别计算，并计算包含的所有样本点，即可求解； (Ⅱ) 先将封信分为两步，再将第二步分为两类，最后由分步乘法和分类加法计数原理表示出，令，得出，由累乘法得，再由累加法得，进而得出； (Ⅲ) 将(Ⅱ)的结果同时除以后变形，再结合所给展开式分为奇数和偶数时分别求出概率即可； (Ⅳ) 由递推关系得对任意正奇数，有均为偶数，再利用以及归纳假设得结论. 【详解】(Ⅰ) 由题意可得，=44(可以使用树状图，本题答案省略)，一共有种， 故每道题都答错的概率为. (Ⅱ) 若有封信时，其装法可分为两个步骤： 第一步：编号为的信，有种装法； 第二步：重装其余的封信，根据第一步装法可分为两类， 第一类，若编号为的信，装入编号为的信封，，但编号为的信装入编号为的信封，这样有种装法； 第二类，若编号为的信，装入编号为的信封，，但编号为的信不装入编号为的信封，这样有种装法； 由分步乘法和分类加法计数原理，所以， 所以有递推公式，． 令，则有， 化简得，从而有，而， 由累乘法知． 而，故也符合该式，于是由累加法知，， (Ⅲ) 由(Ⅱ)知：，所以， 所以， 又因为n个数字排位一列且没有TB的概率为， ， 所以， 当为奇数时：， 当为偶数时：， 所以当为奇数时，n个数字排位一列且没有TB的概率p小于， 当为偶数时，n个数字排位一列且没有TB的概率p大于. (Ⅳ) 根据(Ⅱ)的递推关系及(Ⅰ)的结论，均为自然数； 当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数， 又也是偶数，故对任意正奇数，有均为偶数. 下面用数学归纳法证明(其中)为奇数.当时，为奇数； 假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，， 注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数， 又为奇数，所以，即结论对也成立； 根据前面所述，对任意，都有为奇数. 【数学答案 第1页 共3页】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 试卷类型：A 肥东一中2026级高三大联考(三) 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。命题人：司成煜；审题人：元梓凡。 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是( ) A．极差 B．中位数 C．平均数 D．众数 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则的虚部是( ) A． B． C． D． 3. “其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语•子路》．意思是：领导者自身品行端正时，即使不发布命令，人们也会自觉遵行；自身行为不端时，即使发布命令，人们也不会听从．根据上述材料，“身正”是“令行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4. 已知是方程的两个根，且，则( ) A． B． C． D． 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则( ) A． B． C．1 D．2 6. 已知抛物线的焦点是，直线均过焦点且互相垂直，则的值是( ) A． B． C． D． 7. 已知数列的前项和为，当时，，则的值为( ) A．1010 B．1011 C．1012 D．1013 8. 在锐角中，若，则的最小值是( ) A．4 B． C． D．8 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分． 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 某植物基因型为Aa的亲本个体自交，第1代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA和aa出现的概率分别为，之后每一代个体都自交，记第n代中杂合子Aa出现的概率为，纯合子AA出现的概率为，则( ) A．数列是等比数列 B．第5代中杂合子Aa出现的概率为 C．数列是等差数列 D．第5代中纯合子AA出现的概率为 10. 已知函数，则( ) A．当时，在上单调递减 B．当时，有两个极值 C．若有三个不同零点，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有两条 11. 双曲线(，)的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，且，则下列说法一定正确的是( ) A．的离心率为 B． C． D．当时，四边形的面积为 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______． 13. 甲、乙两人进行象棋比赛(没有平局)，采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，．设甲以获胜的概率为，则的最大值为______． 14. 已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形．设等腰四面体的三组对棱长分别为．在等腰四面体中，，．则： (Ⅰ) 该四面体的体积为______； (Ⅱ) 该四面体的内切球表面积为______． 解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题13分) 求函数f(x)=x+4+的定义域与值域． 16. (本小题15分) 已知双曲线的左、右焦点分别为． (Ⅰ) 若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (Ⅱ) 若，点在双曲线右支上，且，求的面积． 17. (本小题15分) 如图1，正方形的边长为2，如图2，将正方形沿着对角线翻折，O为原正方形的中心． (Ⅰ) 证明：平面； (Ⅱ) 翻折至四面体的体积最大时． (ⅰ) 求异面直线与所成角的大小； (ⅱ) 求与平面所成的角的正弦值． 第17题图 18. (本小题17分) 已知函数有三个零点，满足． (Ⅰ) 求实数a的取值范围； (Ⅱ) 若为上任意个实数，，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”．若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”． 这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式，请根据以上材料，回答下面的问题． (ⅰ) 若函数为凸函数，求b的取值范围； (ⅱ) 证明∶． 19. (本小题17分) 错位重排是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题．现不妨将数字任意排成一列，如果数字恰好在第个位置上，则称有一个TB，其中TB的个数称为TB数，记为．当时的排列称为B-E排列，并记数字的B-E排列种数为，例如a1=0，a2=1，该种问题就是错位重排问题，也称作B-E问题． (Ⅰ) 现有一道五选五的选句填空题，需要将选项为A，B，C，D，E的5个选项，分别填入题号为1，2，3，4，5的5个小题， 求每道题都答错的概率(结果保留分数)； (Ⅱ) 求的通项公式； (Ⅲ) 设n个数字排位一列且没有TB的概率p，讨论p与的大小关系，并说明理由； (Ⅳ) 证明：为奇数． 附：泰勒展开式：…． 【数学试卷 第1页 共3页】 学科网（北京）股份有限公司 $$