安徽省肥东县第一中学2025-2026学年高三大联考(二)数学试题

绝密★启用前 试卷类型：A 肥东一中2026级高三大联考(二) 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。命题人：司成煜；审题人：元梓凡。 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则( ) A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的充分不必要条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的充分不必要条件 2. 若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则非负整数为(     ) A． B． C． D． 3. 已知集合，，如果至多有一个元素，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 4. 如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成二面角的平面角的余弦值是(     ) A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 第4题图 5. 小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋．每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为4次，那么不同的方案数为( ) A．120960 B．20160 C．1920 D．384 6. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 7. 已知在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是边a，b，c，其中C为最大角，且sin2A+sin2B > sin2C，并总有tan A·sin A(tan B·tan C-1)=2tan B·tan C恒成立，存在实数m使等式bsin B+csin C=masin A成立，则m的取值范围为( ) A．[0, 1] B．(1, ) C．[, 2] D．(2, 3) 8. 已知，，，则( ) A． B． C． D． 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分． 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则( ) A．当时，函数在区间上恰有3040个零点 B．当时，函数在区间上恰有2028个零点 C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值仅为2168 D．当时，函数在区间上恰有4054个零点 10. 著名数学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了方程，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”，它具有非常完美的对称性，则下列说法正确的是( ) A．曲线C过点 B．曲线C关于原点对称 C．若，曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为3 D．若，曲线C上任一点均满足 11. 信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三个性质： ①单调性：发生概率越高的事件，其携带的信息量越低； ②非负性：信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然； ③累加性：即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和. 克劳德·香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式，令，设随机变量所有取值为1，2，3，⋯，n，且，，则下列说法正确的有( ) A．时， B．时，若 ，则的值随着的增大而减小 C．若 ， ()，则 D．若，随机变量Y的所有可能取值为且，则 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数， (Ⅰ) 当时，若函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为______； (Ⅱ) 若函数在，上都是增函数，则实数a的取值范围为______． 13. 在函数f (x)=x3-3x2+4x+3的图像上存在M(m, 1.2)，N(n, 8.8)两点，则m+n=______． 14. 设正整数数列满足，则在前6项中奇数个数为______． 解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题13分) 在中，设角所对的边分别是，且满足． (Ⅰ) 求sin ； (Ⅱ) 若，求面积的最大值． 16. (本小题15分) 在四棱锥中，．设，其中． (Ⅰ) 求证：平面平面ABCD； (Ⅱ) 当时，求三棱锥的外接球表面积的取值范围． 第16题图 17. (本小题15分) 《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事. 假设在一片草场上有若干村民和一名牧童. 每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救. 若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题： (Ⅰ) 当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望； (Ⅱ) 当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率； (Ⅲ) 假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为. 在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为. 记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式. 18. (本小题17分) “拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数满足如下条件： ①在区间上的图象是连续的； ②在区间上可导； 则在区间上至少存在一个实数，使得成立． 已知函数． (Ⅰ) ，且，若恒成立，求的取值范围； (Ⅱ) 当时，证明：存在区间，使； (Ⅲ) 当时，设的两个极值点为，，且，证明：． 19. (本小题17分) 如下图所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作、，点在第一象限，点在第三象限． (Ⅰ) 如图1，设，，，求点的坐标和a(结果保留根号)； (Ⅱ) 如图2，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积； (Ⅲ) 如图3，在轴右侧的曲线上有两点、，直线经过点(点在上)．当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在请说明理由． 第19题图 【数学试卷 第1页 共3页】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 试卷类型：A 肥东一中2026级高三大联考(二) 数 学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C D A B B 题号 9 10 11 12．(Ⅰ) 12．(Ⅱ) 13 14 答案 AC BD ABC [-1, 0) (-∞, -3] 2 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则( A ) A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的充分不必要条件 B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件 C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件 D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的充分不必要条件 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、必要条件 【分析】将每个选项都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而判断． 【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为， 对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋， 命题“B是A的必要条件”，等价于命题：， 因此，但，所以是的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋， 命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即， 也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋， 因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误； 对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含， 命题“是的充要条件”等价于命题，即， 因此，但，所以是的必要不充分条件，故D错误． 故选：A． 【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解． 2. 若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则非负整数为( B ) A． B． C． D． 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】，故圆心为，要想圆心到轴、轴的距离相等， 则非负整数，故选：B 3. 已知集合，，如果至多有一个元素，则实数的取值范围为( C ) A． B． C． D． 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果． 【详解】因为有且只有两个元素，所以曲线与有且只有两个交点． 对于曲线变形可得，表示的是双曲线在轴上及上方的所有点， 对于曲线， (1)当时，如下最左图所示，表示的是一条直线， 与交于，两点，不符合题意； 第3题答案图 (2)当时，，与至多有一个交点，符合题意； (3)当时，表示的是两条射线，， ①当时， 表示的是和两条射线，与仅有一个交点，如上左中图所示，所以符合题意； ②当时，与轴的交点为，，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的左右两支各有一个交点，如上右中图所示，所以不符合题意； ③当时，与轴的交点为，，且的斜率，的斜率，而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和，所以与的右支没有交点，与左支有两个交点，如上最右图所示，所以不符合题意； 综上，实数的取值范围为． 故选：C 4. 如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成二面角的平面角的余弦值是(     ) A．先增大再减小 B．减小 C．增大 D．先减小再增大 第4题图 【知识点】面面角的向量求法 【详解】以中点为坐标原点，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系. 设所有棱长均为2，则，, ，，设平面BDE法向量, 则，令有， 故.又平面ABC的法向量， 故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值 ， 又，故在上单增， 上单减， 则cos随着x增大先变大后变小. 故选：D. 5. 小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋．每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为4次，那么不同的方案数为( C ) A．120960 B．20160 C．1920 D．384 【知识点】排列组合综合、分类加法计数原理、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后答案． 【详解】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现4次，分类计算分堆可能：“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z” 只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能； 综上：不同的方案数为=种． 故选：C 6. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是( D ) A． B． C． D． 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数研究函数的零点 【分析】不等式存在整数解等价于的图象有部分在直线的下方且这部分图象上有横坐标为整数的点，用导数刻画的图象后考虑动直线的变化趋势从而得到实数a的取值范围． 【详解】令，则， 当时， ，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数； 由可得， 由题意可知，存在唯一的整数，使得， 则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点， 因为，当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意； 所以，因为， 当直线过点时，则，解得； 又，直线，所以此时函数与直线相切于点， 当直线过点时，则，且， 结合图象可得，所以的取值范围是，故选：D 7. 【坦编原创题】已知在△ABC中，边a，b，c分别对应角A，B，C，其中C为最大角，且sin 2A+sin 2B > sin 2C，并总有tan A·sin A(tan B·tan C-1)=2tan B·tan C恒成立，存在实数m使等式bsin B+csin C=masin A成立，则m的取值范围为( B ) A． [0, 1] B．(1, ) C．[, 2] D．(2, 3) 【解析】 8. 【坦编原创题】已知，，，则( B ) A． B． C． D． 【解析】 多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分． 每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则( BD ) A．当时，函数在区间上恰有3040个零点 B．当时，函数在区间上恰有2028个零点 C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值仅为2168 D．当时，函数在区间上恰有4054个零点 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围、二倍角的余弦公式、求函数零点或方程根的个数 【分析】将函数变形为，利用换元法可得，，根据二次函数零点可得原题等价与在题中所给区间的零点问题，结合正弦函数图象分析即可逐一判断． 【详解】，令，所以， 因为，函数有两个零点，记的两个零点分别为， ， 则，设，，，，， 对于，当时，，令，得或，所以或． 当时，或或，所以在上有个零点，而， 所以函数在区间上有个零点，故错误； 对于，当时，，，， 所以，， 所以函数在上没有零点，在上有两个零点，而， 所以函数在区间上有个零点，故正确； 对于，当时，，，， 所以，， 所以函数在上有两个零点，在上没有零点， 因为函数在区间上恰有2168个零点， 而，所以或，故错误； 对于，当时，， ，，所以，， 所以函数在上有两个零点，在上有两个零点， 而， 所以函数在区间上有个零点，故正确； 故选：． 10. 著名数学家笛卡尔根据他所研究的一簇花瓣和叶形曲线特征，列出了方程，该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”(如图)，它具有非常完美的对称性，则正确的是( AC ) A．曲线C过点 B．曲线C关于原点对称 C．若，曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值一定不是3 D．若，曲线C上任一点均满足 第10题图 第10题答案图 【知识点】零点存在性定理的应用、由方程研究曲线的性质 【分析】将点代入方程可判断A；在方程中，把x，y互换方程不变，可判断B；从形上看曲线上有点的纵坐标大于3，从数上看取，则，记，利用零点存在定理可得在上必有一根可判断C；设，代入曲线方程，结合判别式可判断D． 【详解】对于A，将点代入方程得， 点满足方程，故曲线C过该点，故A正确； 对于B，在方程中，把x，y互换方程不变，即当在曲线C上时， 它关于的对称点也在曲线C上，故曲线C关于对称，故B错误； 对于C，当，由A，B知曲线过点且关于对称， 从形上看曲线上有点的纵坐标大于3(如下图1)，从数上看取， 则，记， ， ，图像连续不间断， 故在上必有一根，故曲线上有点的纵坐标的最大值大于3，故C错误； 对于D，设，则，代入曲线方程得， 即 ，当，即时，代入得，矛盾； 当即时， ， 可得，又，故，如图2从形上看曲线C夹在渐近 线和切线之间，故D错误． 故选：AC． 11. 信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三个性质： ①单调性：发生概率越高的事件，其携带的信息量越低； ②非负性：信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然； ③累加性：即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和. 克劳德·香农从数学上严格证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式，令，设随机变量所有取值为1，2，3，⋯，n，且，，则下列说法正确的有( ABC ) A．时， B．时，若 ，则的值随着的增大而减小 C．若 ， ()，则 D．若，随机变量Y的所有可能取值为且，则 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求等比数列前n项和、错位相减法求和、求离散型随机变量的均值 【分析】A直接利用公式求解；B先求出,再判断单调性即可求解；CD分别求出和,结合对数函数单调性放缩即可求解. 【详解】对于：若,则,因此正确; 对于：当时,， 令，则， 即函数在上单调递增,所以的值随着的增大而增大,正确; 对于：，则， ,，而，于是 令，则， 两式相减得，因此, ，C正确； 对于,若，随机变量的所有可能的取值为， 且, 由于,即有,则, 因此,所以,错误. 故选:. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数， (Ⅰ) 当时，若函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为 [-1, 0) ； (Ⅱ) 若函数在，上都是增函数，则实数a的取值范围为 (-∞, -3] ． 【知识点】画出具体函数图象、根据函数零点的个数求参数范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】(Ⅰ) 有三个不同的交点，同一坐标系内画出与的图象，数形结合得到，进而即得；(Ⅱ) 只需在上单调递增，当时，不合要求，舍去；需，对称轴为，需满足，解得． 【详解】(Ⅰ) 时， ，有三个不同的零点，即有三个不同的交点，同一坐标系内画出与的图象，如下． 需满足，故实数k的取值范围为[-1, 0)； 第12题答案图 (Ⅱ) 由于在上单调递增，所以只需在上单调递增， 当时，为常数函数，不合要求，舍去； 显然，，，对称轴为，需满足，解得． 13. 【坦编原创题】在函数f (x)=x3-3x2+4x+3的图像上存在M(m, 1.2)，N(n, 8.8)两点，则实数m，n的和为 2 ． 【知识点】三次函数对称性问题；二阶导数的应用 【分析】要解决函数f (x)=x3-3x2+4x+3的图像上存在点M(m, 1.2)，N(n, 8.8)时，求 m+n的值，并利用函数的对称性发现f (x)关于(1,5)对称。 【详解】∵f (x)=x3-3x2+4x+3， ∴f ’(x)=3x2-6x+4， ∴f ’’(x)=6x-6， 令f ’’(x)=0，得x=1，此时f (1)=5， 则f (x)关于(1,5)对称，即f (x)+f (2-x)=10， 结合已知在函数f (x)=x3-3x2+4x+3的图像上存在M(m, 1.2)，N(n, 8.8)两点， 有f (m)+f (n)=10成立， 则M(m, 1.2)，N(n, 8.8)两点关于(1,5)对称， 则m+n=2. 14. 设正整数数列满足，则前6项中奇数个数为 1351 ． 【知识点】数学归纳法证明数列问题、数列周期性的应用 【分析】分别令、、，求出数列前项的值，猜想得出，再利用数学归纳法证明出猜想成立，然后列举出数列前若干项的值，可知，即可得解． 【详解】当时，由题意可得， 因为数列是正整数数列，假设，则， 为了满足为正，只需，即， 假设，则，可得，合乎题意， 假设，则，可得不是正整数，故，从而可得， 当时，则有，即，解得， 当时，， 即，解得， 当时，， 猜想，假设当时，猜想成立，即， 当时，， 由猜想可得，则， 所以， 所以 这说明当时猜想也成立，故数列满足， 所以，数列的各项依次为：，，，，，，，，，，， 由上可知均为偶数，则除了均为奇数， 又因为，故的前项中奇数有675×2+1=1351 故答案为：． 解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题13分) 【备选题1】在中，设角所对的边分别是，且满足． (Ⅰ) 【本小问5分】求sin ； (Ⅱ) 【本小问8分】若，求面积的最大值： 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】(Ⅰ) 根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； (Ⅱ) 根据三角形面积公式，结合余弦定理以及基本不等式求解即可； (Ⅲ) 利用余弦定理和正弦定理边角互化将原式转化为，令，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域． 【详解】(Ⅰ) 因为，根据正弦定理得：，且，可得， 即，又因为，则，可得，整理可得， 又，则，可得，解得，则sin B = (Ⅱ) 由余弦定理得：，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为：，故面积的最大值为． 【鉴于本题难度较大，第(Ⅲ)题已略去】 (Ⅲ) 【本小问6分(3+4+6分)】求的取值范围． (Ⅲ) 由余弦定理可得：，所以，即， 所以， 根据正弦定理得： ， 令，则， 可得， 将原式化为：， 因为，则，可得， 根据二次函数的图像性质得到，当时，原式取得最小值，； 当时，原式取得最大值，； 故的取值范围为． 【备选题2】【坦编原创题】 (Ⅰ) 【本小问3分】证明：在锐角三角形中，任意一个角的正弦值必然大于另一个角的余弦值； (Ⅱ) 【本小问4分】证明：对于任意角θ，ξ，都有sin 2θ-sin 2ξ=sin (θ+ξ)·sin (θ-ξ)(正弦平方差公式)； 【补充】余弦平方差公式：对于任意角α，β，都有cos 2α-sin 2β=cos (α+β)·cos (α-β)； (Ⅲ) 【本小问6分】在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是边a，b，c，已知：|a2-b2|<c2<|a2+b2|，且a2+2abcos C=3b2恒成立，试求tan A·tan B·tan C的最小值．【答案】6． 16. (本小题15分) 在四棱锥中，．设，其中． (Ⅰ) 【本小问4分】求证：平面平面ABCD； (Ⅱ) 【本小问5分】若，求二面角的余弦的取值范围； (Ⅲ) 【本小问6分】当时，求三棱锥的外接球表面积的取值范围． 第16题图 第16题答案图 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直、求二面角 【分析】(Ⅰ) 根据线线垂直证明线面垂直得到平面PCD，再由线在面内推出面面垂直即得；(Ⅱ) 易得二面角的平面角即为，利用余弦定理求得，结合的范围和二次函数的单调性即可求得答案；(Ⅲ) 设和的外接圆圆心分别和，则球心为过点和且分别垂直于平面PCD、平面BCD的两直线的交点为，球的半径设为，分别利用正余弦定理求得和的外接圆半径，结合图形得到，整理得，利用二次函数的值域可求的最小值，即得外接球体积的最小值． 【详解】(Ⅰ) 证明：因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． (Ⅱ) 如图，由，知二面角的平面角即为． 在中由余弦定理得，在中，由且， 结合，可得，故，所以，所以， 所以的范围是，则二面角的余弦的取值范围是． (Ⅲ) 如图，设和的外接圆圆心分别和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点为． 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径． 过点作于，连接EH，设，因为为外接圆的圆心，所以为的中点， 因为为外接圆的圆心，所以，由(1)知平面平面， 因为平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以∥，同理可证得∥，所以四边形为平行四边形， 因为平面，平面，所以，所以四边形为矩形， 所以，则，即， 整理得，故取值范围为[16π, 71π) 17. (本小题15分) 《狼来了》是家喻户晓的寓言，讲述牧童屡次谎称“狼来了”以逗弄村民，结果当狼真的出现时，村民因屡次受骗而不再响应，导致羊群遭受损失的故事. 假设在一片草场上有若干村民和一名牧童. 每当牧童呼救时，只有当认为应当营救的村民数目不少于全体村民的一半时，全体村民才会赶来营救. 若每位村民独立作出“救”与“不救”的决策，其营救意愿均为，求解下列问题： (Ⅰ) 【本小问3分】当村民数为4时，求具有救援意愿的村民人数的期望； (Ⅱ) 【本小问5分】当村民数为时，求全体村民赶来营救的概率； (Ⅲ) 【本小问7分】假设村民数为2，牧童呼救时撒谎的概率为. 在正常情况下，每位村民的营救意愿为；但若他们因虚假呼救而白跑，则下次的营救意愿降为. 记牧童第次呼救时，村民白跑的概率为，求的表达式. 【知识点】由递推关系证明等比数列、建立二项分布模型解决实际问题、利用全概率公式求概率 【分析】(Ⅰ) 利用二项分布的数学期望公式计算即得；(Ⅱ) 由题意，可知即为求，先求得，再由，利用组合数的性质与运算公式即得；(Ⅲ) 由题意化简得，推出数列是首项为，公比为的等比数列，从而求得的解析式. 【详解】(Ⅰ) 当村民数为4时，每位村民的营救意愿相互独立且概率都为， 设愿意营救的村民人数为，则满足二项分布，即， 所以救援人数的期望值. (Ⅱ) 当村民数为2n时，全体村民赶来营救的条件是至少人选择营救. 所以本题即求.而，则. 故(*) ，故. 附注：(*)式的证明如下：因， 则，即， 故. (Ⅲ) 村民数为2时，至少一人有营救意愿则全体村民前往营救. 故正常情况下，村民前往营救的概率为， 当村民因虚假呼救而白跑，则下一次前往营救的概率为. 记事件为第n次村民前往营救白跑，则, 故牧童第次呼救，有，即， 整理可得，，即数列是首项为，公比为的等比数列， 故，其中，故 经检验也符合，故 【备选题2】超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡． 某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n()份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中k(且)份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次． 假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p()． 现取其中k(且)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． (Ⅰ) 【本小问5分】运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式； (Ⅱ) 【本小问10分】若P与抗生素计量相关，其中x1，x2，…，()是不同的正实数，满足，对任意的()，都有． (ⅰ) 【本小问6分】证明：为等比数列； (ⅱ) 【本小问4分】当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值． 参考数据：，，，，，，，，． 【详解】(Ⅰ) 当进行逐份检验时，； 当进行混合检验时，，，则 ∵，∴ 则，即(且)． (Ⅱ) (ⅰ) 当时，有，则猜想：． 下面用数学归纳法进行证明： ①当时，满足 ②假设当时，，则当时， 设(且)，则 ， ∴ ∴ ，∴ 整理可得：，∴或(舍去)，由①②可得：对一切都成立．即为等比数列． (ⅱ) 依题可知：，由(1)可知：，∴ 令()，则，所以在上单调递增，在上单调递减 ∵， 则k的最大值为8． 18. (本小题17分) “拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数满足如下条件： ①在区间上的图象是连续的； ②在区间上可导，则在区间上至少存在一个实数，使得成立． 已知函数． (Ⅰ) 【本小问4分】，且，若恒成立，求的取值范围； (Ⅱ) 【本小问6分】当时，证明：存在区间，使； 【注】第(Ⅱ)问若使用函数的凹凸性解题，本问酌情赋分. (Ⅲ) 【本小问7分】当时，设的两个极值点为，，且，证明：． 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题 【分析】(Ⅰ) 利用拉格朗日中值定理转化为要求对所有成立；(Ⅱ) 方法一：题设不等式等价变形为，由拉格朗日中值定理进行等价转化为只需证明在区间上单调递增；方法二：分析函数的凹凸性，利用数形结合分析得到结论；(Ⅲ) 当时，有两个极值点()．利用导数分析可得到．由得和．两式相减得．作换元，可得，经分析可知要证明的结论等价于证明． 构造函数利用导数可以证明对于恒成立，，整理得：，最后转化为证明，至此在构造函数，利用导数逐次分析可以证得待证不等式． 【详解】(Ⅰ) 由题意，对于任意，有，等价于，即存在使得． 因此，要求对所有成立．整理得． 设函数，则． 在内，单调递增，在内，单调递减． ，故； (Ⅱ) 当时，函数． 验证是否存在区间()使得． 方法一：不等式等价于． 由拉格朗日中值定理，可知存在，使得， 因此只需保证，这只需要在区间上单调递增， 由于函数，在时大于零， 所以的单调递增区间为，所以只需要即可，因此存在这样的区间． 方法二：等价于函数在区间上为凹函数． 当(即)时，，在为凸函数； 当时，，为凹函数． 在凹区间(如)取，则； 在凸区间(如)取，则，因此存在这样的区间． (Ⅲ) 由于，设，， 令得时，，单调递减；时，，单调递增． 因此，在处取得极小值： 由于，且，所以． 又因为和， 所以有两个解和，． 因为，所以，由和，相减得：①， 需要证明，即：， 设，需证明②． 由①得：，，所以③， 设，令， ，在时，单调递增，所以，，所以单调递增， 所以， 所以对于恒成立， 所以结合③可得， 整理得：， 于是结合待证式子②，可知只要证明，即， 构造函数，只需证明在的条件下成立． 令， 对于恒成立， 所以即在上单调递增， ，所以，所以单调递减， 又因为，所以时成立，证毕！ 19. (本小题17分) 如下图所示：曲线是与组成的，与其中的两个交点分别记作、，点在第一象限，点在第三象限． (Ⅰ) 【本小问7分】如图1，设，，，求点的坐标和a(结果保留根号)； (Ⅱ) 【本小问7分】如图2，设四边形的四条边都与曲线相切，时，求四边形的面积； (Ⅲ) 【本小问7分】如图3，在轴右侧的曲线上有两点、，直线经过点(点在上)．当时，是否存在直线，使得所在直线与所在直线关于直线对称？若存在，求直线的方程，若不存在请说明理由． 第19题图 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的定直线、椭圆中三角形(四边形)的面积 【分析】(Ⅰ) 由题可得、为与公共点，将两椭圆方程联立，结合题意，可得；由，结合，可得，再将代入椭圆方程可得，据此可得答案； (Ⅱ) 由(Ⅰ)分析结合，可得椭圆方程，由对称性可设直线方程为：，由直线与椭圆相切，结合联立方程判别式为0，可得，从而可得四点坐标，据此可得面积； (Ⅲ) 由(Ⅰ)分析结合，可得椭圆方程，设直线，将直线与两椭圆方程联立，设，结合韦达定理，可得关于k的表达式，由、在y轴右侧，点在上)，可得．假设相关直线存在，则，据此可得关于的方程，通过判断方程有无解，可判断相关直线是否存在． 【详解】(Ⅰ) 令，由题可得，、为与公共点． 将与联立，可得，解得：，则， 由题可得，则，又，则，从而． 将代入，得． 解得或(小于0，舍去)，故； (Ⅱ) 由(1)分析可知，又，则，则两椭圆方程为：． 设，由对称性可得，则直线方程为：． 将直线方程与联立，化简后可得， 因直线与椭圆相切，则判别式． 此时，将与联立，化简后可得：， 其判别式也为0，则直线也与椭圆 相切． 则，由对称性可得， 则四边形的面积为：； (Ⅲ) 由(1)分析可得，又，则，则两椭圆方程为：． 从而曲线与y轴正半轴，x轴正半轴交点为：． 设直线，将直线分别与两椭圆方程联立， 则，化简后可得：， ； ， ． 设，由韦达定理，，． 因、在y轴右侧，点在上)，则． 则，．因， 则，． 若所在直线与所在直线关于直线对称，则． 因，由对称性可得，则．若， 则， 化简可得， 因，则不存在使得，即不存在，使得直线与直线关于直线对称． 【点睛】关键点睛：对于存在性问题，常先假设相关研究对象存在，据此得到关于某参数的不等式或方程，通过判断相关不等式或方程有无解，可完成结论判断． 【数学答案 第1页 共3页】 学科网（北京）股份有限公司 $$