精品解析：江苏省苏州市苏州高新区实验学校2024--2025学年八年级下学期数学月考试题

新区实验初二数学 一、选择题 1. 下列图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”，③抽到“大王或小王”；④抽到“红桃5”．其中，发生可能性最大的事件是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件发生的可能性，先分别求出各个事件发生的可能性，再进行比较，即可得；正确求出各个事件发生的可能性是解题的关键． 【详解】解：∵①抽到“K”的可能性为；②抽到“黑桃”的可能性为；③抽到“大王或小王”的可能性为；④抽到“红桃5”的可能性为； ∴， ∴发生可能性最大的事件是②， 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大，得到，若点A和点C的坐标分别为，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据与的面积比等于相似比的平方作出判断． 【详解】解：，， ，． 将以原点为位似中心放大，得到， 与的相似比是． 与的面积比是． 故选：C． 5. 如图，在四边形中，，，点E，F在对角线上，连接，则添加下列条件，仍不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，得到，则，再根据平行四边形的判定定理和全等三角形的性质与判定定理证明即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； 当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B不符合题意； 当，时，， 同理可证明四边形是平行四边形，故D不符合题意； 根据不能证明明四边形是平行四边形，故C符合题意； 故选：C． 6. 据统计，苏州市2022年中考人数约为9.1万人，随着中考人数逐年递增，2024年中考人数达到10.4万人，若设苏州市中考人数近两年的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得游客人数与预计游客人数相等的方程． 【详解】解：设游客人数的年平均增长率为， 根据题意得． 故选：A． 7. 如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．证明，推出，得到点在射线上，当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴点在射线上， ∴当时，有最小值， 最小值为， 故选：C． 8. 如图，矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点为中点，点为中点，设，，利用勾股定理分析求得与的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读和、和的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤． 【详解】解：由折叠性质可得：，，， ，，，， ，， ， ，故①正确； 设，，则，， ， 在中，， ， 解得：， ，故②错误； 在中，设，则， ， 解得：， ，， 在中，， ，，故③④正确； 无法证明， 无法判断，故⑤错误； 综上，正确的是①③④， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键． 二、填空题 9. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质可得，代入已知条件即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 将40个统计数据分成若干组，若其中某一组的频率为0.1，则该组的频数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率与频数之间的关系是解题的关键．根据频率=频数总次数，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 这一组的频数是4， 故答案为：4． 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到点B，则点B关于原点的对称点C的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，原点对称，熟练掌握平移规律，对称点的坐标特征是解题的关键． 【详解】∵点向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到点B， ∴点， ∴点B关于原点的对称点C的坐标是， 故答案为：． 12. 小明想测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的星期天，他在电线杆旁的点处立一标杆．使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点、、在一直线上）．量得米，米，米．则电线杆长________米． 【答案】5.4 【解析】 【分析】根据题意可得△ECD∽△EAB，利用相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， ∴， ∴AB＝5.4米． 故答案为：5.4． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出电线杆AB长是解题的关键． 13. 如图，原点O是ABC和的位似中心，点A(1，0)与点(－2，0)是对应点，ABC的面积是，则的面积是________________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2，可利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得△A′B′C′的面积是6． 【详解】解：∵点A（1，0）与点A′（-2，0）是对应点，原点O是位似中心 ∴△ABC和△A′B′C′的位似比是1：2 ∴△ABC和△A′B′C′的面积的比是1：4 ∴△A′B′C′的面积是6． 故答案是：6 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 14. 如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，若，，且，记的面积为，的面积为，的面积为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，得到，，再利用三角形的面积公式列式，代入计算即可求解． 【详解】解：作的高，作的高， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ， ， ∴， 故答案为：． 15. 将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形，点A、C、D的对应点分别为、、．如图，当过点C时，若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质．连接，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，，， 由勾股定理得，， ， 由勾股定理得，， ，，， ， ，即， 解得，． 故答案为：． 16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题 17. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ∴， ， ， ， ∴，或， 解得，． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 【答案】 证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD＝BE． 【解析】 【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用． 19. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． （1）求证：； （2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为． 20. 某地一旅游风景区，有关收费信息公告如下： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于60元 某校八年级（1）班组织学生到该风景区开展研学活动，一共支付了2800元．则该班参加这次研学活动的学生有多少人？ 【答案】40人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该班参加这次研学活动的学生有x人，先证明，再根据每增加1人，人均收费降低1元，且总费用为2800元列出方程求解即可． 【详解】解：设该班参加这次研学活动的学生有x人， ∵， ∴， ∵不是整数， ∴人均收费高于60元， ∴，即， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：该班参加这次研学活动的学生有40人． 21. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． （1）若，求线段的长． （2）若的面积为3，求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出； （2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 22. 瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，则，，证明，则，即，可求，同理，则，即，可求，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴真身宝塔的高度为米． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 【答案】（1）方程是“伴根方程”； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断； （2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根据“伴根方程”的定义得到，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：解方程得，， ， 方程是“伴根方程”； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，， 方程是常数）是“伴根方程”， ， 或． 24. （1）如图①，已知和为等腰直角三角形，，则与线段的数量关系为 ___________ ， 与线段的位置关系为 ___________ ． （2）如图②，，，试探究线段与线段的数量关系及位置关系，并加以证明． （3）如图③，，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】（1）证明则，，再结合三角形内角和定理可得； （2）证明，则、，证明，则、， 由，可得，即； （3）如图，过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则、，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，； 如图：设相交于F，、相交于G， ∵，， ∴，即． 故答案为：，． （2）解：，，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图，过点C作，在上取点E使，连接，     由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为16， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识等知识点．熟练运用相关知识是解题的关键． 25. 【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在中，点D是的中点，点E是的一个三等分点，且．连结，交于点G，求值． 小明发现，过点D作的平行线或过E作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程 【尝试应用】 （2）如图②，在中，D为上一点，，连结，若，交于点E、F．若，，，则的长为 ． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点E为的中点，点F为上一点，与、分别交于点G、M，若，若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】（1）3（2）7（3）10 【解析】 【分析】（1）过点D作交于H，则，而，所以，则，所以，由，得，所以，可证明，得，可推导出，则； （2）取的中点H，连结，由，于点E，得，则，可证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案； （3）设的面积为，求出，，过点作交于点，证明，得，，再证明，得，由列式求出的值即可得出的面积 【详解】解：解：如图①，过点D作交于H，则， 图① ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵E是的一个三等分点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为3； （2）如图②，取的中点H，连结，则， ∵于点E，， ∴， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：7． （3）如图③，设的面积为， ∴， ∵原来的中点， ∴且， 连接，则 ∵， ∴， 过点作交于点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为10， 故答案为：10 【点睛】本题主要考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新区实验初二数学 一、选择题 1. 下列图形中，中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”，③抽到“大王或小王”；④抽到“红桃5”．其中，发生可能性最大的事件是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大，得到，若点A和点C的坐标分别为，，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，，点E，F在对角线上，连接，则添加下列条件，仍不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. ， 6. 据统计，苏州市2022年中考人数约为9.1万人，随着中考人数逐年递增，2024年中考人数达到10.4万人，若设苏州市中考人数近两年的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形沿着、、翻折，使得点、、恰好都落在点处，且点、、在同一条直线上，同时点、、在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④⑤ 二、填空题 9. 若，则______． 10. 将40个统计数据分成若干组，若其中某一组的频率为0.1，则该组的频数为______． 11. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，向下平移1个单位长度得到点B，则点B关于原点的对称点C的坐标是______． 12. 小明想测量出电线杆的高度，于是在阳光明媚的星期天，他在电线杆旁的点处立一标杆．使标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点、、在一直线上）．量得米，米，米．则电线杆长________米． 13. 如图，原点O是ABC和的位似中心，点A(1，0)与点(－2，0)是对应点，ABC的面积是，则的面积是________________． 14. 如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，若，，且，记的面积为，的面积为，的面积为，则______． 15. 将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形，点A、C、D的对应点分别为、、．如图，当过点C时，若，，则的长为______． 16. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题 17. 解方程： （1）． （2）． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 19. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． （1）求证：； （2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 20. 某地一旅游风景区，有关收费信息公告如下： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于60元 某校八年级（1）班组织学生到该风景区开展研学活动，一共支付了2800元．则该班参加这次研学活动的学生有多少人？ 21. 如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，． （1）若，求线段的长． （2）若的面积为3，求平行四边形的面积． 22. 瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”，求m的值． 24. （1）如图①，已知和为等腰直角三角形，，则与线段的数量关系为 ___________ ， 与线段的位置关系为 ___________ ． （2）如图②，，，试探究线段与线段的数量关系及位置关系，并加以证明． （3）如图③，，则的最大值为___________． 25. 【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在中，点D是的中点，点E是的一个三等分点，且．连结，交于点G，求值． 小明发现，过点D作的平行线或过E作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程 【尝试应用】 （2）如图②，在中，D为上一点，，连结，若，交于点E、F．若，，，则的长为 ． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点E为的中点，点F为上一点，与、分别交于点G、M，若，若的面积为2，则的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $