精品解析： 云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期适应性测试（一）数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出集合,再根据并集概念求出结果即可. 【详解】解:由题, 由,则. 故选:C 2. 已知向量，，其中，．若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知向量，， 根据，得到，即，再利用基本不等式求解. 【详解】已知向量，， 因为， 所以， 即， 又因为，， 所以， 当且仅当，，即时，取等号， 所以的最大值为 . 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方、除法运算求得，进而求得的虚部. 【详解】由，得， 所以，所以的虚部为. 故选：D. 4. 若，是函数()两个相邻的极值点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得. 【详解】由题意知，的周期，得．故选A． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题． 5. 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的斜率的取值范围是 A. [] B. C. [ D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由已知得,圆心为,半径为,根据题意知,只有圆心到直线的距离时圆上至少有三个不同点到直线的距离为,即,所以有 ①, 当时有,此时圆心到直线的距离为,不成立; 当时有,此时圆心到直线的距离为,不成立; 当时,直线,则，将①式同时除以得， 即，解得. 综上. 考点：直线与圆的位置关系的判断.关于直线斜率的讨论. 6. 用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 12种 D. 60种 【答案】A 【解析】 【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算. 【详解】如下表 顶点 V A B C D 种数 4 3 2 C与A同色1 2 C与A不同色1 1 总计 故选：A． 7. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进而可得结果. 【详解】 延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点， 直线与平面不存在公共点， 所以平面, 由中位线定理可得, 在平面内， 在平面外， 所以平面, 因为与在平面内相交， 所以平面平面, 所以在上时，直线与平面不存在公共点， 因为与垂直，所以与重合时最小， 此时，三角形的面积最小， 最小值为，故选C. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 8. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 椭圆的短轴长为 C. 的最小值为 D. 过点的圆的切线斜率为 【答案】D 【解析】 【分析】对，由椭圆的长轴长与圆的直径长相等，可得，再由椭圆定义及的最小值，结合点到圆上点距离的最值，可得；对B，根据关系及短轴长定义可得；对C，由三角形性质及点到圆上点距离的最值可判断；对D，由直线与圆相切可求. 【详解】对于A，因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，所以，所以，解得或5，因为，所以，即椭圆的焦距为，故A错误； 对于B，由，得椭圆的短轴长为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，若过点的直线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为4，不符合题意；设过点的切线方程为，即，则，解得，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为最大限度地吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，构成样本，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用比例分配的分层随机抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中抽取的调查结果，构成样本，分析后绘制成的统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 样本的样本量为 B. 样本中三居室住户共抽取了户 C. 根据样本可估计样本中对四居室满意的住户有户 D. 样本中对三居室满意的有户 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，由样本中户型结构为四居室的户数及所占比例求，再根据抽样比求样本的样本量，判断A，对于B，先求样本中户型结构为三居室的市民所占比例，再求样本中户型结构为三居室的市民的户数，并结合抽样比求结论，判断B，对于C，结合条形图估计样本中四居室市民对户型结构满意的比例，再结合样本中四居室市民的户数求结论，判断C，对于D，根据样本中户型结构为三居室的市民的户数及对户型结构满意的比例求结论，判断D. 【详解】对于A，因为调查的名市民中居住的户型结构为四居室的市民共户，所占比例为， 所以，得（户）， 又样本是从样本中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取所得，且抽样比为， 所以样本的样本量为（户），故A正确； 对于B，样本中户型结构为四居室的市民所占比例为，户型结构为二居室市民所占比例为， 所以样本中户型结构为三居室的市民所占比例为， 所以样本中户型结构为三居室市民有（户）， 所以样本中三居室住户共抽取了（户），故B错误； 对于C，样本中户型结构为四居室的市民的满意度为， 所以可估计样本中户型结构为四居室的市民对户型结构满意的比例为， 所以样本中户型结构为四居室的市民对户型结构满意的住户大约有（户），故C错误； 对于D，样本中户型结构为三居室住户有户， 所以对三居室满意的住户有（户），故D正确. 故选：AD. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可. 【详解】对A，因为在中， 所以 ，解得， 所以根据正弦定理知，故A正确； 对B，易知角C为最大角，则， ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则， 所以，即， 又，所以，所以 ，故C正确； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确； 故选：ACD. 11. 函数有两个零点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将问题转化为与有两个交点，数形结合即可判断A选项，又，结合图象可知，利用极值点偏移构造新函数，结合，即可判断D选项；利用，结合即可判断B选项；由，结合的取值范围，即可判断C选项. 【详解】对于A，因为函数有两个零点， 所以有两个根，即有两个根， 即与的图象有两个交点，设，所以， 当时，解得，所以函数在单调递增； 当时，解得，所以函数在单调递减， 所以，当时，，当时，， 函数的图象如图所示， 结合图象可得当时，与的图象有两个交点， 即函数有两个零点，故A正确； 对于D，又，结合图象可知， 因为，要证明， 即证明，整理得， 令，即证明， 即证明， 设，所以恒成立， 所以在（0,1）单调递增，所以， 即，故D正确； 对于C，， 又，，则，即，故C不正确； 对于B，因为，，可得， 可得，故B正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系可得，所以，再利用两角和的正切公式将的值代入即可求解. 【详解】由，， 所以，所以， . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式，需熟记公式，属于基础题. 13. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案. 【详解】是等差数列，且， 设等差数列的公差 根据等差数列通项公式： 可得 即： 整理可得： 解得： 根据等差数列前项和公式： 可得： . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 14. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出． 【详解】，所以， , 所以, 则． 由于 ． 故答案为：1；． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）． （Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； （Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 【答案】（I）；（II）. 【解析】 【详解】试题分析：（I）由函数的图象过原点可求得，由在原点处的切线斜率为可得进而可求得；（II）由曲线存在两条垂直于轴的切线得有两个不同的根，即，可解得的取值范围. 试题解析：． （Ⅰ）由题意得，解得． （Ⅱ）∵曲线存在两条垂直于轴的切线， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴即 ∴ ∴a的取值范围是 考点：导数的几何意义. 16. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． （1）求角C； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换，结合正余弦定理边角互化，即可逐一求解， （2）根据正弦定理可得，进而根据三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 若选①：， 则， ∴ ∴ ∵，， ∴，∵，∴. 若选②：， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴． 若选③：， 则， 由正弦定理得， ∴∴， ∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由正弦定理得， 故， 则， ， 由于，，， ∴. 17. 已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若，求l的方程； （2）若，求． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线方程为：，， 由抛物线焦半径公式可知： 联立得： 则 ，解得： 直线的方程为：，即： （2）设，则可设直线方程为： 联立得： 则 ， ， 则 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 18. 在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明：连接OB， 因为为等腰直角三角形，，， 所以， 因为O为AC边的中点， 所以， 在等边三角形中，， 因为O为AC边的中点， 所以，则， 又， 所以，即， 因为，平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明； （2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点， 所以， 由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 由，得，令，得， 易知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为θ， 则， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 方法二： 作，垂足为M，作，垂足为N，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为，所以， 所以，， 在中，，， 所以， 所以， 所以，即二面角的余弦值为． 19. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元. （1）①写出的分布列； ②证明：； （2）某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由. 【答案】（1）① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②， 记， ， 作差可得，， 则，即证. （2）应该投资，理由： 由（1）可知，则试验成本的期望小于，又获利大于成本的期望，则应该投资. 【解析】 【分析】（1）由题意，，，列出分布列即可； 列出，乘公比错位相减法求和，分析可证明； （2）由（1），分析即得解 【小问1详解】 ①由题意， 故 分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，其中，．若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 若，是函数()两个相邻的极值点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的斜率的取值范围是 A. [] B. C. [ D. 6. 用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ） A. 72种 B. 36种 C. 12种 D. 60种 7. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为 A. B. 1 C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，点在圆上，且圆上的所有点均在椭圆外，若的最小值为，且椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 椭圆的短轴长为 C. 的最小值为 D. 过点的圆的切线斜率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为最大限度地吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，构成样本，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用比例分配的分层随机抽样的方法从所有调查的市民的满意度问卷中抽取的调查结果，构成样本，分析后绘制成的统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 样本的样本量为 B. 样本中三居室住户共抽取了户 C. 根据样本可估计样本中对四居室满意的住户有户 D. 样本中对三居室满意的有户 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为 11. 函数有两个零点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则______. 13. 记为等差数列的前n项和．若，则__________． 14. 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数f （x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a，b∈R）． （Ⅰ）若函数f （x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； （Ⅱ）若曲线y＝f （x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 16. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． （1）求角C； （2）若，求的取值范围． 17. 已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若，求l的方程； （2）若，求． 18. 在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得． （1）证明：平面． （2）求二面角的余弦值． 19. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元. （1）①写出的分布列； ②证明：； （2）某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利元，则该公司如何决策投资，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $