精品解析：上海市上海外国语大学附属外国语学校2024-2025学年下学期八年级数学5月考卷试卷

2024学年第二学期初二年级数学过程性评价2试卷 时间：90分钟 满分：100分 （本次考试不得使用计算器，请将正确答案填写在答题纸上，写在试卷上无效） 一、选择（每题3分，共12分） 1. 下列命题中正确的有（ ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列命题正确的是（）． A. 任何事件发生的概率为1 B. 随机事件发生的概率可以是任意实数 C. 可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D. 不可能事件在一次实验中也可能发生 3. 梯形中，，那么下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空（每空2分，共44分） 5. 顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是________ 6. 梯形的两条对角线互相垂直，且长度分别为，则此梯形中位线长______． 7. 某商品平均台里约有台不合格，则买到合格产品是___________事件，该事件___________发生． 8. 平行四边形一个内角平分线将对边分成3和5两个部分，则该平行四边形的周长是 ____． 9. 比较大小：___________ 10. 两个不共线的向量、满足___________时，可平分和的夹角． 11. 正方形面积为16，正方形内一点P到的距离与到点A、B的距离都是d，则___________ 12. 已知一次函数的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B,梯形AOBC的边AC=5，且OA//BC,则点C的坐标为_____. 13. 中，为中点，E为边上一点且，则___________． 14. 布袋中装有3个红球，5个白球，它们除了颜色外其它都相同．如果从袋中同时摸出两个球，那么所摸出的两球恰好都是白球的概率是___________． 15. 已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，高为，则其面积为______． 16. 梯形中，，对角线是中位线，，且，则对角线___________． 17. 如图梯形的周长为，，分别是的外角平分线，于点，于点，则线段长为______ 18. 正方形，对角线交于点，平分，与交于E，与交于P，若，则___________． 19. 等边中，，若，则___________． 20. 如图，四边形，是中点，是中点，直线直线，若，，，，则用、表示___________且___________． 21. 无论k为任何实数，二次函数的图像必过定点___________． 22. 抛物线的顶点坐标是___________，在的范围内，随着的增大而___________． 23. 四边形均为正方形，若，则长为___________． 三、证明题 24. （本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 25. （要求该题不得使用全等）已知为上的中线，求证： 四、解答题 26. 小明发现路边一游戏摊在掷正方体骰子，规则是出现点获元，掷一次付元，小明记录如下： 游客 投掷次数 中奖次数 试通过运算揭示该游戏中骰子是否均匀？对游客来说是骗局吗？ 27. 已知二次函数的图像过三点，直线l解析式为， （1）求二次函数解析式 （2）求证：此抛物线与直线l无公共点 （3）若与l平行的某直线与抛物线只有一个交点P，求P点坐标 （4）若是直线l上的一个动点，求P、Q两点距离的最小值 28. 如图，在△ABC中，O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. （1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形且，求∠B的大小. 29. 如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 （1）求抛物线解析式； （2）求面积的最大值，并求出此时点坐标； （3）当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初二年级数学过程性评价2试卷 时间：90分钟 满分：100分 （本次考试不得使用计算器，请将正确答案填写在答题纸上，写在试卷上无效） 一、选择（每题3分，共12分） 1. 下列命题中正确的有（ ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】依次对每个命题，依据相关数学定义、性质判断正误，统计正确命题个数．本题主要考查二元二次方程的解、四边形面积与对角线的关系、必然事件与不可能事件的判定、二次函数的定义，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 2. 下列命题正确的是（）． A. 任何事件发生的概率为1 B. 随机事件发生的概率可以是任意实数 C. 可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D. 不可能事件在一次实验中也可能发生 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件、不可能事件的定义和概率的性质判断各选项即可． 【详解】A中，只有必然事件概率才是1，错误； B中，随机事件的概率p取值范围为：0＜p＜1，错误； C中，可能性很小的事件，是有可能发生的，正确； D中，不可能事件一定不发生，错误 故选：C 【点睛】本题考查事件的可能性，注意，任何事件的概率P一定在0至1之间． 3. 梯形中，，那么下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是向量的线性运算，熟记运算法则，等腰梯形性质，是解本题的关键． 根据等腰梯形对角线长度相等，平面向量的定义与运算法则，结合向量模长的定义，即可判断各选项． 【详解】∵梯形中，且， ∴该梯形为等腰梯形． A：． 向量相等需方向与大小均相同． 虽然，但与方向不同（如从A指向B，从C指向D）． 故A错误． B：． ∵等腰梯形的对角线， ∴． 故B正确． C：． ∵的终点是以，为边的平行四边形对角线终点， 而的终点为D， ∴两者不相等． 故C错误． D：． ∵，， ∴与方向相反． 故D错误． 故选：B． 4. 面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的面积公式可得，从而得到（，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，且， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 二、填空（每空2分，共44分） 5. 顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是________ 【答案】菱形 【解析】 【分析】本题考查等腰梯形的性质，菱形的判定方法，以及三角形中位线的性质．连接、，可证为的中位线，为的中位线，根据中位线定理可证，，同理可证，，根据等腰梯形的性质可知，故可证四边形为菱形． 【详解】解：连接、， 、分别为、的中点 为的中位线， ，， 同理可证，， ，，四边形为平行四边形， 同理可证， 根据等腰梯形的性质可知， ， 为菱形． 故顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 6. 梯形的两条对角线互相垂直，且长度分别为，则此梯形中位线长______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了梯形的中位线，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形，，，，，过点作交延长线于点，可得四边形是平行四边形，，即得，，，利用勾股定理得，进而得到，最后根据梯形的中位线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，梯形，，，，，过点作交延长线于点， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴此梯形中位线长为， 故答案为：． 7. 某商品平均台里约有台不合格，则买到合格产品是___________事件，该事件___________发生． 【答案】 ①. 随机 ②. 有可能（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，解题的关键是掌握：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；一定会发生的事件，称为必然事件；不可能发生的事件，称为不可能事件．据此解答即可． 【详解】解：某商品平均台里约有台不合格，则买到合格产品是随机事件，该事件有可能发生． 故答案为：①随机；②有可能（答案不唯一）． 8. 平行四边形一个内角平分线将对边分成3和5两个部分，则该平行四边形的周长是 ____． 【答案】22或26 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义得，然后求出，根据等角对等边的性质可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：如图所示： ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ①时，， ，， ∴平行四边形的周长； ②时，， ，， ∴平行四边形的周长， ∴综上所述，平行四边形的周长为或， 故答案为：22或26． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的对边平行的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 9. 比较大小：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量，三角形法则，分两种情况：、不同向；、同向分别说明即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：当、不同向时，， 当、共线且同向时，， ∴． 故答案为：． 10. 两个不共线的向量、满足___________时，可平分和的夹角． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面向量，利用菱形的对角线平分一组对角解决问题即可．解题的关键是掌握菱形的性质，三角形法则． 【详解】解：∵菱形的对角线平分一组对角， ∴当时，可平分和的夹角． 故答案为：． 11. 正方形面积为16，正方形内一点P到的距离与到点A、B的距离都是d，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理、正方形的性质等知识，根据正方形的性质求出正方形的边长，在中，根据勾股定理构建关于d的方程求解即可． 【详解】解∶如图所示， ∵正方形面积为16， ∴正方形的边长为4，， ∵点P到的距离与到点A、B的距离都是d， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 故答案为∶． 12. 已知一次函数的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B,梯形AOBC的边AC=5，且OA//BC,则点C的坐标为_____. 【答案】(5,4)或(11,4)； 【解析】 【分析】根据梯形的对边平行，画出图形，结合勾股定理求解. 【详解】如图， ∵一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A. B， ∴A(8,0),B(0,4). 在梯形AOBC中，OA=8，OB=4， 当BC∥OA时,设点C(x,4). ∵AC=5， ∴(x−8) +(4−0)=5， ∴x=5,x=11， 这时点C的坐标为(5,4)或(11,4)， ∴点C的坐标为(5,4)或(11,4)； 故答案为(5,4)或(11,4)； 【点睛】此题考查梯形，一次函数中的直线位置关系，解题关键在于画出图形. 13. 中，为中点，E为边上一点且，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】过B作交于F，作的平分线交于G，交于H，过B作交于M，根据平行线的性质，三角形的外角的性质可得出，结合已知可求出，根据证明，得出，，根据证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，则可求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶如图，过B作交于F，作的平分线交于G，交于H，过B作交于M， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶6． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 14. 布袋中装有3个红球，5个白球，它们除了颜色外其它都相同．如果从袋中同时摸出两个球，那么所摸出的两球恰好都是白球的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设红球为A，白球为B， 列表如下： A A A B B B B B A A A B B B B B ∴共有56种可能结果，其中所摸出的两球恰好都是白球的结果有20种， ∴所摸出的两球恰好都是白球的概率为． 故答案为：． 15. 已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，高为，则其面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形性质的综合运用，作垂直于，交的延长线于点，故，从而得到为等腰直角三角形，根据三线合一性质可求得的长，即上底与下底的和，根据梯形的面积公式即可得到其面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作垂直于，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵四边形的等腰梯形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 梯形面积为：， 故答案为：． 16. 梯形中，，对角线是中位线，，且，则对角线___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了梯形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作交于E，证明四边形是平行四边形，得出，根据梯形的中位线定理得出，进而求出，根据含角的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶如图，过D作交于E， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵是梯形中位线，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图梯形的周长为，，分别是的外角平分线，于点，于点，则线段长为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，梯形中位线的性质，延长交于点，延长交于点，可证，得到，，同理可得，，即可由得到，进而由梯形中位线的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵平分 ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理可得，，， ∵梯形的周长为， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴是梯形的中位线， ∴， 故答案为：． 18. 正方形，对角线交于点，平分，与交于E，与交于P，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作，交的延长线于点H，结合正方形的性质，证明四边形是矩形，再证明，得出，因为平分，所以，因为，得，，运用三角形内角和得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，过点C作，交的延长线于点H，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， 故答案为：． 19. 等边中，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，等边三角形的性质，勾股定理等知识， 延长至点D，使，证明，求出，再利用三角形法则求解即可． 【详解】解∶延长至点D，使， ， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶ ． 20. 如图，四边形，是中点，是中点，直线直线，若，，，，则用、表示___________且___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，过点作的平行线交的延长线于点，连接，利用全等三角形的性质证明，再利用三角形中位线定理求解． 【详解】解：连接，过点作的平行线交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是中点，即， ∴是的中位线， ∴，， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查平面向量，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21. 无论k为任何实数，二次函数的图像必过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数恒过定点的应用问题，是基础题．把函数化为，令k的系数等于0，即可求得对应x、y的值． 【详解】解：二次函数解析式可化为， 令，则， ∴， ∴无论k为任何实数，二次函数的图像必过定点， 故答案为：． 22. 抛物线的顶点坐标是___________，在的范围内，随着的增大而___________． 【答案】 ①. ②. 减小 【解析】 【分析】本题考查将抛物线解析式化为顶点式，抛物线的图像与性质，解题的关键是掌握抛物线的图像与性质：顶点坐标为，对称轴为：，最值为；当时，图像开口向上，，随着的增大而减小，，随着的增大而增大；当时，图象开口向下，，随着的增大而增大，，随着的增大而减小．据此解答即可． 【详解】解：∵，二次项系数， ∴抛物线的图像开口向上，对称轴为， ∴抛物线的顶点坐标是，在的范围内，随着的增大而减小． 故答案为：；减小． 23. 四边形均为正方形，若，则长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接对角线和，与分别是四边形 和的角平分线，可得，再证，则，即可求出结果. 【详解】解：如图，连接对角线和， ∵四边形 和都是正方形， ∴与分别是四边形 和的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即： 解得： 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确画出辅助线，耐心推理是解题的关键． 三、证明题 24. （本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【答案】 证明：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的辅助线问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、中位线的性质是解题的关键．连接，并延长交于点G，易证得，即可求得，继而可得是的中位线，则可推知结论． 【详解】略 25. （要求该题不得使用全等）已知为上的中线，求证： 【答案】 证明：∵为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线，向量的运算，利用中线的性质得出，根据平面向量的运算法则，将用与表示，最后根据向量加法即可得证． 【详解】略 四、解答题 26. 小明发现路边一游戏摊在掷正方体骰子，规则是出现点获元，掷一次付元，小明记录如下： 游客 投掷次数 中奖次数 试通过运算揭示该游戏中骰子是否均匀？对游客来说是骗局吗？ 【答案】摆摊人所用的骰子质量分布不均匀，对游客来说是骗局． 【解析】 【分析】本题考查了通过概率反映出游戏的公平性，先根据正方体骰子的特点计算出出现的概率，再与小明实际记录的中奖次数相比较即可得出结论，解题的关键是理解概率所求情况数与总情况数之比大量实验得到的频率接近于概率． 【详解】解：对于一个普通的正方体骰子，点出现的概率应为， 由小明记录的抛掷次数为次，中奖的次数应为次左右， 而实际中奖次数只有次， ∴摆摊人所用的骰子质量分布不均匀，对游客来说是骗局． 27. 已知二次函数的图像过三点，直线l解析式为， （1）求二次函数解析式 （2）求证：此抛物线与直线l无公共点 （3）若与l平行的某直线与抛物线只有一个交点P，求P点坐标 （4）若是直线l上的一个动点，求P、Q两点距离的最小值 【答案】（1） （2） 证明：联立方程组， 整理得， ∴， ∴该方程无实数根， ∴方程组无解， ∴此抛物线与直线l无公共点； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）把抛物线解析式和直线l解析式联立方程组，整理得出，然后判断即可； （3）设该直线解析式为，联立方程组，整理得，结合已知可得出，求出m的值，然后求出方程组的解即可； （4）设直线l与x、y轴交于点A、B，求出A、B的坐标．则可求出，，，根据勾股定理求出，根据垂线段最短得当时，最小，此时，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设该直线解析式为， 联立方程组， 整理得， ∵与l平行的某直线与抛物线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得， 当时，， ∴点P的坐标为． 【小问4详解】 解：设直线l与x、y轴交于点A、B， 当时，，解得；当时，， ∴，， 又， ∴，，， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． 28. 如图，在△ABC中，O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. （1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形且，求∠B的大小. 【答案】 （1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC， ∴OE=OC，OC=OF， ∴OE=OF． （2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 证明：∵AO=CO，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECA+∠ACF=∠BCD， ∴∠ECF=90°， ∴四边形AECF是矩形． （3）60° 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF； （2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形； （3）当四边形AECF是正方形时，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，则AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=AE，根据，可得：tanB=，故∠B=60°． 解：（1）略 （2）略 （3）当四边形AECF是正方形时，AO⊥EF，AC=AE， ∵BC∥EF， ∴AC⊥BC. ∵， ∴BC= AE， ∴tanB=， ∴∠B=60°． 点睛：本题主要考查了等边三角形的判定，矩形的判定定理，正方形的性质定理，锐角三角函数的定义，角平分线和平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和正方形的性质． 29. 如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 （1）求抛物线解析式； （2）求面积的最大值，并求出此时点坐标； （3）当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）面积有最大值为，此时点； （3）或或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，解一元二次方程，二次函数的最值，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）由得或，故点的坐标分别为，，设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式，即可求解； （）过点作轴的平行线交于点，面积，然后通过二次函数的性质即可求解； （）分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由得，， ∴点的坐标分别为，， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， ∵点的坐标分别为，， ∴将点的坐标代入一次函数表达式得， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴点， 同理可得：直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ∴面积= ， ∵， ∴当时，面积有最大值为，， 此时点； 【小问3详解】 解：由（）得，直线的表达式为，点，直线的表达式为， ∵为等腰三角形， ∴或或， 设， （）当时，， 解得，（舍去）， ∴； 当时，点在线段的中垂线上， ∴； 当时，由， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $