10.1.2立方根（6大考点题型）讲义 2025－2026学年华东师大版数学八年级上册

（华东师大2024版） 八年级上册数学《第10章 数的开方》 10.1.2立方根 一、立方根、开立方的定义 ★1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ★2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ★3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 二、立方根的性质 ★1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ★2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ★3、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 考点1、立方根的概念 【解题思路】一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 例1．（2024春•城厢区校级期中）下列说法错误的是（　　） A．（﹣3）2的平方根是±3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 变式1．（2024春•合肥期末）下列说法错误的是（　　） A．3的平方根是 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1 变式2．（2024秋•尧都区期中）下列判断：①49的平方根是7；②只有正数才有平方根；③的算术平方根是；④0.64的立方根是0.4．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（）3； （4）． 考点2、立方根的性质 【解题思路】正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 例2．（2024•新乐市一模）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 变式1．（2024春•阳信县月考）的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 变式2．填空： （1）64的立方根是 　 　 ； （2）的立方根是 ； （3）26的立方根是 　 　； 变式3．（2024秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求1的值． 考点3、开立方的运算 【解题思路】（1）开立方时，被开方数可以是正数、负数或零； （2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的立方根. 例3．（2023秋•上城区期末）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2024春•和平区期末）下列式子正确的是（　　） A． B．7 C．±5 D．3 变式2．（2024春•望奎县期末）如果，那么a，b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝±b C．a＝﹣b D．无法确定 变式3．（2024春•东莞市期中）化简． （1）　 ，　 　，　 　，　 　． （2）　 　，　 ．　 ，　 　． （3）根据以上信息，观察a，b所在位置，完成化简． 考点4、利用立方根解方程 【解题思路】先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值. 例例4．（2024春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24． 变式1．（2024春•城厢区校级期中）解方程： （1）（x﹣2）2﹣16＝0； （2）（x+1）3＝﹣1． 变式2．（2024春•禹城市校级月考）求下列式子中x的值． （1）2（x﹣1）2＝128； （2）27（x+1）3+8＝0． 变式3．（2024春•谷城县期中）求下列方程中x的值： （1）3（x﹣2）2﹣27＝0； （2）2（x+1）3+54＝0． 考点5、平方根与立方根的综合 【解题思路】先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根. 例5．（2024春•惠东县期中）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，则x+y的值为（　　） A．﹣6 B．﹣6或﹣10 C．﹣2或﹣6 D．2或﹣2 变式1．（2024春•崇明区期中）已知16的平方根是a，，那么a+b＝　 　． 变式2．（2024春•平坝区月考）已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，且3b﹣1的立方根是﹣4．求的值． 变式3．（2024秋•昌平区期中）已知3a+1的平方根是±4，2a+b﹣5的算术平方根是3． （1）求a，b的值； （2）求5b+a+2的立方根． 考点6、立方根的实际应用 【解题思路】给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值. 例6．（2024春•高密市月考）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 变式1．（2024春•兴宁区期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 变式2．（2024秋•西安月考）将一个体积为135cm3的正方体木块锯成5块同样大小的正方体小木块，求正方体小木块的棱长． 变式3．（2024春•路北区期末）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64cm3． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 1．（2024春•渝中区期末）化简的结果是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 2．（2024春•汉川市期中）若（2x﹣1）3＝﹣8，则x的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•新罗区校级月考）下列说法，其中正确的是（　　） A． B．3的平方根是 C．﹣8的立方根为﹣2 D． 4．（2024春•临高县期末）若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 5．（2024春•滨海新区期末）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±6 B． C．3是9的算术平方根 D．1 6．（2024春•息县期末）下列算式中错误的是（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 8．（2024春•长寿区校级期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（　　） A．2 B． C．±2 D． 9．（2024春•普陀区期末）方程3x3＝81的根是 　 ． 10．（2024春•开州区期中）已知0.6993，1.507，则　 　． 11．（2024秋•南岗区校级期中）若x，y，则x与y的关系是 　 　． 12．（2024秋•峄城区校级月考）若（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为 　 　． 13．（2023秋•和平区校级月考）解方程： （1）（x﹣1）2﹣1＝15； （2）． 14．（2024春•青秀区校级月考）解方程． （1）2（x﹣1）2＝8； （2）（y+1）3+27＝0． 15．（2024秋•瑞昌市期中）已知1+2a的一个平方根是﹣3，b﹣12的立方根是﹣2，求a+b的平方根． 16．（2024秋•拱墅区校级期末）已知x﹣6和3x+14是a的两个不同的平方根，2y﹣6是a的立方根． （1）求x，y，a的值． （2）求﹣7﹣4y的立方根． 17．（2024春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 18．（2024秋•邯郸期末）已知：x的两个平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求a+b﹣1的立方根． 19．（2024春•西城区校级期中）已知，且与互为相反数， （1）求y﹣x的平方根； （2）若3z+2y的算术平方根为A，5x﹣y的立方根为B，求A+B． 20．（2024秋•沐川县期末）已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4． （1）求a和b的值； （2）求2a﹣b2+17的立方根． （华东师大2024版） 八年级上册数学《第10章 数的开方》 10.1.2立方根 一、立方根、开立方的定义 ★1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. ★2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数. ★3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算. ◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根的运算，即一种开方运算. 二、立方根的性质 ★1、立方根的性质： 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个. ★2、立方根的两个重要性质： ①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即，利用它可以把一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数. ②. ★3、平方根与立方根的区别和联系： 内 容 平方根 立方根 区 别 性 质 正数 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 0 负数 没有平方根 一个，为负数 表示方法 被开方数的范围 非负数 可以为任何数 联 系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 0 的方根 0 的立方根和平方根都是0 考点1、立方根的概念 【解题思路】一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根. 例1．（2024春•城厢区校级期中）下列说法错误的是（　　） A．（﹣3）2的平方根是±3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【分析】根据平方根、立方根以及算术平方根的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、（﹣3）2的平方根是±3，说法正确，不符合题意； B、，说法正确，不符合题意； C、4的算术平方根是2，说法正确，不符合题意； D、9的立方根是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平方根、立方根以及算术平方根，解题的关键是理解平方根，算术平方根，立方根的意义． 变式1．（2024春•合肥期末）下列说法错误的是（　　） A．3的平方根是 B．﹣1的立方根是﹣1 C．0.1是0.01的一个平方根 D．算术平方根是本身的数只有0和1 【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可． 【解答】解：A、3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意； B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意； C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意； D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义． 变式2．（2024秋•尧都区期中）下列判断：①49的平方根是7；②只有正数才有平方根；③的算术平方根是；④0.64的立方根是0.4．其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐个判断即可． 【解答】解：∵49的平方根是±7，故①错误； ∵正数和0都有平方根，故②错误； ∵的算术平方根是，故③正确； ∵0.064的立方根是0.4，故④错误； ∴正确的个数是1个， 故选：A． 【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，主要考查学生对平方根，立方根，算术平方根的理解能力和辨析能力，难度不是很大，但是比较容易出错． 变式3．求下列各式的值： （1）； （2）； （3）（）3； （4）． 【分析】根据立方根的定义计算． 【解答】解：（1）原式＝3； （2）原式＝0.2； （3）原式＝﹣9； （4）原式． 【点评】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 考点2、立方根的性质 【解题思路】正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 例2．（2024•新乐市一模）﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 【分析】根据立方根的定义进行解答． 【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了立方根，解决本题的关键是数积立方根的定义． 变式1．（2024春•阳信县月考）的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2 【分析】根据立方根的定义即可求出答案． 【解答】解：原式＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2 故选：D． 【点评】本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型． 变式2．填空： （1）64的立方根是 　 　 ； （2）的立方根是 ； （3）26的立方根是 　 　； 【分析】（1）利用43＝64得到64的立方根； （2）利用（）3得到的立方根； （3）利用（22）3＝26得到26的立方根； 【解答】解：（1）64的立方根是4； （2）的立方根是； （3）26的立方根是4； 故答案为：（1）4；（2）；（3）4； 【点评】本题考查了立方根：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 变式3．（2024秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若与互为相反数，求1的值． 【分析】（1）根据题意可以列出一个例子来说明结论是否成立； （2）根据结论成立可以得到1﹣4x+2x+3＝0，可以求得x的值，从而可以求得所求式子的值． 【解答】解：（1）举例不唯一． 因为2+（﹣2）＝0，而且23＝8，（﹣2）3＝﹣8，有8+（﹣8）＝0，所以结论成立． 所以“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的． （2）由（1）验证的结果知，1﹣4x+2x+3＝0，所以x＝2，所以11＝1． 【点评】本题考查实数的运算、立方根，解答本题的关键是明确题意，利用相反数和立方根的知识解答． 考点3、开立方的运算 【解题思路】（1）开立方时，被开方数可以是正数、负数或零； （2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的立方根. 例3．（2023秋•上城区期末）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根、平方根和立方根的定义分别判断即可． 【解答】解：A、5，故A不符合题意； B、5，故B符合题意； C、±±5，故C不符合题意； D、5，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，准确熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题的关键． 变式1．（2024春•和平区期末）下列式子正确的是（　　） A． B．7 C．±5 D．3 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义和性质回答即可． 【解答】解：A、，故A正确； B、±±7，故B错误； C、5，故C错误； D、3，故D错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． 变式2．（2024春•望奎县期末）如果，那么a，b的关系是（　　） A．a＝b B．a＝±b C．a＝﹣b D．无法确定 【分析】由立方根的性质，可知时，a＝﹣b． 【解答】解：∵， ∴a＝﹣b， 故选：C． 【点评】本题考查立方根；熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 变式3．（2024春•东莞市期中）化简． （1）　 ，　 　，　 　，　 　． （2）　 　，　 ．　 ，　 　． （3）根据以上信息，观察a，b所在位置，完成化简． 【分析】（1）根据算术平方根的计算方法可以解答本题； （2）根据立方根的计算方法可以解答本题； （3）根据数轴可以判断a、b的大小与正负，从而可以化简题目中的式子． 【解答】解：（1）2，2，0，|a|， 故答案为：2、2、0、|a|； （2）3，3.0，a， 故答案为：3、﹣3、0、a； （3）由图可得， a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴ ＝b+b﹣a﹣（a﹣b） ＝b+b﹣a﹣a+b ＝3b﹣2a． 【点评】本题考查立方根、算术平方根、绝对值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 考点4、利用立方根解方程 【解题思路】先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值. 例4．（2024春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24． 【分析】先整理成x3＝a的形式，再直接开立方解方程即可． 【解答】解：3（x﹣1）3＝24， （x﹣1）3＝8， x﹣1＝2， x＝3． 【点评】此题主要考查了利用立方根的性质解方程．要灵活运用使计算简便． 变式1．（2024春•城厢区校级期中）解方程： （1）（x﹣2）2﹣16＝0； （2）（x+1）3＝﹣1． 【分析】（1）直接用开平方法求解即可； （2）开立方后可得一个一元一次方程，求解即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣16＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝±4， 解得：x1＝6，x2＝﹣2． （2）（x+1）3＝﹣1， ∴x+1＝﹣1， ∴x＝﹣2． 【点评】本题考查了解方程，平方根和立方根的应用，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题的关键． 变式2．（2024春•禹城市校级月考）求下列式子中x的值． （1）2（x﹣1）2＝128； （2）27（x+1）3+8＝0． 【分析】（1）先把方程两边同时除以2，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）先把方程两边同时减去8，再同时除以27，然后根据求立方根的方法解方程即可． 【解答】解：（1）∵2（x﹣1）2＝128， ∴（x﹣1）2＝64， ∴x﹣1＝±8， ∴x＝9或x＝﹣7； （2）∵27（x+1）3+8＝0， ∴27（x+1）3＝﹣8， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了根据求平方根和求立方根的方法解方程，正确记忆相关知识点是解题关键． 变式3．（2024春•谷城县期中）求下列方程中x的值： （1）3（x﹣2）2﹣27＝0； （2）2（x+1）3+54＝0． 【分析】（1）将该方程整理后运用平方根知识进行求解； （2）将该方程整理后运用立方根知识进行求解、计算． 【解答】解：（1）移项，得3（x﹣2）2＝27， 系数化为1，得（x﹣2）2＝9， 开平方，得x﹣2＝±3， 解得x＝5或x＝﹣1； （2）移项，得2（x+1）3＝﹣54， 系数化为1，得（x+1）3＝﹣27， 开平方，得x+1＝﹣3， 解得x＝﹣4． 【点评】此题考查了运用平方根和立方根知识解方程的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行计算． 考点5、平方根与立方根的综合 【解题思路】先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字母组成的新数的立方根或平方根. 例5．（2024春•惠东县期中）4的平方根是x，﹣64的立方根是y，则x+y的值为（　　） A．﹣6 B．﹣6或﹣10 C．﹣2或﹣6 D．2或﹣2 【分析】根据平方根和立方根的定义分别求出x、y的值，再代入求出即可． 【解答】解：∵（±2）2＝4， ∴4的平方根是±2， 即x＝±2， ∵﹣64的立方根是y， ∴y＝﹣4， 当x＝2时，x+y＝2+（﹣4）＝﹣2， 当x＝﹣2时，x+y＝﹣2+（﹣4）＝﹣6． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根和立方根，解题的关键能够根据平方根和立方根的定义是求出xy的值． 变式1．（2024春•崇明区期中）已知16的平方根是a，，那么a+b＝　 　． 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，由此即可计算． 【解答】解：∵16的平方根是a， ∴a＝±4， ∵3， ∴b＝﹣27， 当a＝4，b＝﹣27时， a+b ＝4﹣27 ＝﹣23； 当a＝﹣4，b＝﹣27时， a+b ＝﹣4﹣27 ＝﹣31． 故答案为：﹣23或﹣31． 【点评】本题考查平方根，立方根，关键是掌握平方根，立方根的定义． 变式2．（2024春•平坝区月考）已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，且3b﹣1的立方根是﹣4．求的值． 【分析】先根据平方根的定义求出a，立方根定义求出b，再代入计算即可． 【解答】解：∵某个正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15， ∴a+3+2a﹣15＝0， 解得：a＝4， ∵3b﹣1的立方根是﹣4， ∴3b﹣1＝（﹣4）3， 解得：b＝﹣21， ∴． 【点评】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答本题的关键． 变式3．（2024秋•昌平区期中）已知3a+1的平方根是±4，2a+b﹣5的算术平方根是3． （1）求a，b的值； （2）求5b+a+2的立方根． 【分析】（1）根据平方根、算术平方根的定义得出3a+1＝16，2a+b﹣5＝9，进而求出a、b的值； （2）求出5b+a+2的值，再根据立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵3a+1的平方根是±4，2a+b﹣5的算术平方根是3， ∴3a+1＝16，2a+b﹣5＝9， 解得a＝5，b＝4， 答：a＝5，b＝4； （2）当a＝5，b＝4时，5b+a+2＝27， ∴5b+a+2的立方根为3． 【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 考点6、立方根的实际应用 【解题思路】给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值. 例6．（2024春•高密市月考）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵面积等于边长的平方， ∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根． 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 变式1．（2024春•兴宁区期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【分析】先求出每个小正方体的体积，然后根据立方根的定义即可求出每个小正方体的棱长． 【解答】解：根据题意得每个小正方体的体积为27÷27＝1， ∴每个小正方体的棱长为， 故选：A． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 变式2．（2024秋•西安月考）将一个体积为135cm3的正方体木块锯成5块同样大小的正方体小木块，求正方体小木块的棱长． 【分析】一个正方体木块的体积是135cm3，现将它锯成5块同样大小的正方体小木块，求正方体小木块的棱长． 【解答】解：设小正方体的棱长为xcm， 根据题意得，5x3＝135， x3＝27， x＝3． 答：正方体小木块的棱长为3cm． 【点评】本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 变式3．（2024春•路北区期末）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64cm3． （1）求出这个魔方的棱长． （2）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． 【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长； （2）根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长． 【解答】解：（1）（cm）． （2）∵魔方的棱长为4cm， ∴小立方体的棱长为2cm， ∴阴影部分面积为：2×2×4＝8（cm2）， 边长为：（cm）． 【点评】本题考查的是立方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 1．（2024春•渝中区期末）化简的结果是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D． 【分析】根据立方根的定义直接求解即可． 【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查立方根，关键是立方根定义的熟练掌握． 2．（2024春•汉川市期中）若（2x﹣1）3＝﹣8，则x的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【解答】解：∵（2x﹣1）3＝﹣8， ∴2x﹣1＝﹣2， 解得x， 故选：A． 【点评】本题考查了立方根，利用立方根的定义解方程是解题的关键． 3．（2024春•新罗区校级月考）下列说法，其中正确的是（　　） A． B．3的平方根是 C．﹣8的立方根为﹣2 D． 【分析】根据求一个数的平方根和立方根的运算计算分析即可得出答案． 【解答】解：A、，不符合题意； B、3的平方根是 ，不符合题意； C、﹣8的立方根为﹣2，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查求一个数的平方根和立方根的运算，熟练掌握这些知识是解题的关键． 4．（2024春•临高县期末）若a2＝16，2，则a+b＝（　　） A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12 【分析】先依据平方根和立方根的性质求得a、b的值，然后代入计算即可． 【解答】解：∵a2＝16，2， ∴a＝±4，b＝﹣8． ∴当a＝4，b＝﹣8时，a+b＝﹣4； 当a＝﹣4，b＝﹣8时，a+b＝﹣12． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的性质是解题的关键． 5．（2024春•滨海新区期末）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±6 B． C．3是9的算术平方根 D．1 【分析】根据立方跟、平方根、算术平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：A、的平方根是，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、3是9的算术平方根，故该项正确，符合题意； D、1，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查立方跟、平方根、算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 6．（2024春•息县期末）下列算式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平方根和立方根的定义求出每个式子的值，再判断即可． 【解答】解：A、0.8，故本选项错误； B、±±1.4，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了对平方根和立方根的应用，主要考查学生的计算能力． 7．（2024秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】利用立方根定义求出棱长即可． 【解答】解：根据题意知，每个小正方体木块的棱长为2（cm）， 故选：A． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键． 8．（2024春•长寿区校级期中）有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是（　　） A．2 B． C．±2 D． 【分析】依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【解答】解：∵64的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为，是无理数， 则输出， ∴y的值是． 故选：B． 【点评】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换． 9．（2024春•普陀区期末）方程3x3＝81的根是 　 ． 【分析】运用立方根知识进行求解． 【解答】解：两边都除以3，得x3＝27， 开立方，得x＝3， 故答案为：x＝3． 【点评】此题考查了运用立方根进行有关方程求解的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 10．（2024春•开州区期中）已知0.6993，1.507，则　 　． 【分析】根据当被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，立方根的小数点就向左（或向右）移动一位得出即可． 【解答】解：∵0.6993， ∴0.06993， 故答案为：0.06993． 【点评】本题考查了立方根的定义和符号移动规律，能熟记立方根的符号移动规律的内容是解此题的关键． 11．（2024秋•南岗区校级期中）若x，y，则x与y的关系是 　 　． 【分析】根据立方根的性质即可求解． 【解答】解：x ＝10， ∴y， ∴x＝10y， 故答案为：x＝10y． 【点评】本题主要考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键． 12．（2024秋•峄城区校级月考）若（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为 　 　． 【分析】根据算术平方根、偶次幂的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵（b﹣5）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣5＝0， 即a＝3，b＝5， ∴a+b＝3+5＝8， ∴a+b的立方根为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查非负数的性质以及立方根，理解算术平方根、偶次幂的非负性以及立方根的定义是正确解答的前提． 13．（2023秋•和平区校级月考）解方程： （1）（x﹣1）2﹣1＝15； （2）． 【分析】（1）根据等式的性质得出（x﹣1）2＝16，再由平方根的定义可得答案； （2）根据等式的性质得出（x+3）3＝27，再由立方根的定义可得答案． 【解答】解：（1）移项得，（x﹣1）2＝15+1， 合并同类项得，（x﹣1）2＝16， 由平方根的定义得，x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4， 解得x＝5或x＝﹣3， 所以原方程的解为x＝5或x＝﹣3； （2）移项得，（x+3）3＝9， 两边都乘以3得，（x+3）3＝27， 由立方根的定义得，x+3＝3， 解得x＝0， 所以原方程的解为x＝0． 【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 14．（2024春•青秀区校级月考）解方程． （1）2（x﹣1）2＝8； （2）（y+1）3+27＝0． 【分析】（1）两边直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先移项，再开立方即可得到方程的解． 【解答】解：（1）2（x﹣1）2＝8， （x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2． 解得：x1＝3，x2＝﹣1； （2）（y+1）3+27＝0， （y+1）3＝﹣27， y+1＝﹣3， 解得：y＝﹣4． 【点评】此题主要考查了运用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根、立方根性质是关键． 15．（2024秋•瑞昌市期中）已知1+2a的一个平方根是﹣3，b﹣12的立方根是﹣2，求a+b的平方根． 【分析】根据平方根立方根的定义解决问题． 【解答】解：由题意，得1+2a＝9，b﹣12＝﹣8， 解得a＝4，b＝4． ∴a+b＝8． ∴a+b的平方根为． ∴， ∴a+b的平方根为． 【点评】本题考查立方根，平方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 16．（2024秋•拱墅区校级期末）已知x﹣6和3x+14是a的两个不同的平方根，2y﹣6是a的立方根． （1）求x，y，a的值． （2）求﹣7﹣4y的立方根． 【分析】（1）根据平方根的定义求出x的值，进而可得出a、y的值； （2）先求出﹣7﹣4y的值，再由立方根的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵x﹣6和3x+14是a的两个不同的平方根， ∴x﹣6+3x+14＝0， 解得x＝﹣2； ∴x﹣6＝﹣2﹣6＝﹣8， ∴a＝（﹣8）2＝64； ∵2y﹣6是a的立方根， ∴2y﹣64， ∴y＝5； （2）由（1）知，y＝5， ∴﹣7﹣4y＝﹣7﹣4×5＝﹣27， ∴﹣7﹣4y的立方根是3． 【点评】本题考查的是立方根和平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键． 17．（2024春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长． 【分析】根据题意列出方程，然后根据立方根的性质进行求解． 【解答】解：设第二个纸盒的棱长为acm， ∵已知第一个正方体纸盒的棱长为3cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大189cm3， ∴a3﹣33＝189， ∴a3＝189+27＝216， a3＝216＝63 ∴a＝6cm． 【点评】此题考查立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a要注意平方根的定义：某个自乘结果等于的实数，其中属于非负实数的平方根称算术平方根．一个正数两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根． 18．（2024秋•邯郸期末）已知：x的两个平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求a+b﹣1的立方根． 【分析】（1）根据平方根与算术平方根的定义即可求得a，b的值； （2）将a，b的值代入a+b﹣1中计算后利用立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：（1）解：∵x的平方根是a+3与2a﹣15，且2b﹣1的算术平方根是3， ∴a+3+2a﹣15＝0，2b﹣1＝9， 解得：a＝4，b＝5； （2）∵a＝4，b＝5， ∴a+b﹣1＝4+5﹣1＝8， ∴a+b﹣1的立方根是2． 【点评】本题考查平方根，算术平方根及立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键． 19．（2024春•西城区校级期中）已知，且与互为相反数， （1）求y﹣x的平方根； （2）若3z+2y的算术平方根为A，5x﹣y的立方根为B，求A+B． 【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y值，再求y﹣x的平方根即可； （2）根据互为相反数的性质求出z值，再根据平方根立方根性质求出A、B，最后代入计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴x＝﹣5，y＝2， ∴y﹣x＝2﹣（﹣5）＝7， ∴y﹣x的平方根为±． （2）∵与互为相反数， ∴1﹣2z+3z﹣5＝0，解得z＝4， ∴3z+2y＝3×4+2×2＝16， ∴3z+2y的算术平方根为A＝4， ∵5x﹣y＝5×（﹣5）﹣2＝﹣27， ∴5x﹣y的立方根为B＝﹣3， ∴A+B＝4+（﹣3）＝1． 【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是关键． 20．（2024秋•沐川县期末）已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4． （1）求a和b的值； （2）求2a﹣b2+17的立方根． 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2x﹣2+6﹣3x＝0，求出x的值，即可求出a的值，再根据a﹣4b的算术平方根是4求出b的值即可； （2）把a、b的值代入2a﹣b2+17中，求出其立方根即可． 【解答】解：（1）由题意得，2x﹣2+6﹣3x＝0， 解得x＝4， ∴2x﹣2＝6， ∴a＝62＝36， ∵a﹣4b的算术平方根是4， ∴a﹣4b＝16， ∴b＝5； （2）∵2a﹣b2+17＝2×36﹣52+17＝64， 而64的立方根是4， ∴2a﹣b2+17的立方根为4． 【点评】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，熟知这几个定义是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$