1.4 用一元二次方程解决问题 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

1.4 用一元二次方程解决问题 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.某班班主任为在开学季让学生带着新的梦想、新的希望开启新的学期，组织学生互送贺卡一张互相鼓励，若全班共送出贺卡张，设该班有人，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 2.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为，根据“两天不练丢一半”，可列方程(    ) A. B. C. D. 3.某商品原价为元，连续两次涨价后为元，设平均每次涨价的百分率为，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 4.某品牌服装春节后经过二次打折活动清库存，每件售价由元降为元已知两次降价的百分率都为，那么满足的方程是(    ) A. B. C. D. 5.用米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为平方米．若设它的一条边长为米，则根据意可列出关于的方程为(    ) A. B. C. D. 6.为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙墙足够长，另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门如图设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是   ． A. B. C. D. 7.如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设道路的宽为，根据题意，所列方程正确的是  (    ) A. B. C. D. 8.如图，某小区规划在一个长为，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草若要使草坪部分的总面积为，设小路的宽为则可列方程(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的元降至元，那么平均每次降价的百分率是，则可以列方程          ． 10.绘画兴趣小组的每名同学将自己水墨画作品向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件．若设全组有名同学，则根据题意列出方程为          ． 11.某商店月份的利润是元，要使月份的利润达到元，平均每月利润增长的百分率为          ． 12.从“若前方无路，我便踏出一条路”的呐喊到“扭转乾坤”的豪情，哪吒用热血点燃银幕，用倔强征服世界哪吒之魔童闹海动画电影杀入全球影史票房榜前名，月日票房为亿元，月日票房突破到亿元再次刷新中国影史记录设平均每天票房的增长率为，则可列方程为______． 13.在一幅长，宽的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程为______． 14.田亩比类乘除捷法是我国南宋数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔各几何”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多________步． 15.某校月份每天需要两名志愿者参与校园卫生巡查，八班学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有种组队可能如果设八班参加的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：______． 16.如图，某小区要在长为、宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽度为           三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 若一人患上流感，经过两轮传染后，共有人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少人，问第四轮传染后共有多少人患流感？ 18.本小题分 某商场以元个的价格购进个保温杯．经市场调研，保温杯定价为元个时可全部售完，定价每提高元，销售量将减少个．未卖完的保温杯可以直接退还厂家．要使商场利润达到元，保温杯的定价应为多少元？ 19.本小题分 某公司前年的盈利为万元，去年和今年的盈利连续两年保持相同的增长率已知今年平均盈利比去年多万元，求该公司去年盈利的增长率． 20.本小题分 参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 21.本小题分 某网店销售台灯，成本为每盏元，销售大数据分析表明：当每盏台灯的售价为元时，平均每周售出盏，当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏． 若每盏台灯的售价为元，则每周可售出______盏台灯． 为迎接“双十一”，该网店决定降价促销当每盏台灯的售价定为多少元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元？ 22.本小题分 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材 其农户承包了一块长方形果园，图是果园的平面图，其中米，米准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过米，且不小于米． 素材 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调元，每月可多销售平方米草莓，果园每月的承包费为万元． 问题解决 任务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． 请直接写出纵向道路宽度的取值范围． 若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务 解决果园种植的预期利润问题． 总利润销售利润承包费 若农户预期一个月的总利润为万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：设该班有人，则每人需送出张， 依题意得：， 故选：． 设该班有人，则每人需送出张，根据全班共送出贺卡张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ， 故选： 3.【答案】  【解析】解：设平均每次涨价的百分率为， 第一次涨价后的价格为， 连续两次涨价后售价在第一次涨价后的价格的基础上提高，为， 则列出的方程是． 故选：． 可先表示出第一次涨价后的价格，那么第一次涨价后的价格涨价的百分率，把相应数值代入即可求解． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】解：由题意得： 满足的方程为． 故选：． 若两次降价的百分率均是，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格元，由此等量关系列出方程即可． 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．正确理解降低率，每一次的降低率都是就上一年的基础而言． 5.【答案】  【解析】本题考查了列方程以及矩形的面积，由周长表示出矩形的另外一条边长是解决本题的关键． 设矩形的一条边长为米，根据周长为米可得另一条边长为米，再利用面积公式建立方程即可． 【详解】解：矩形周长为米，则长与宽之和为米， 设一条边长为米，则另一条边长为米， 矩形的面积为平方米，根据题意得方程：． 故选：． 6.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 7.【答案】  【解析】利用平移，可得如下图形： 根据题意可列方程为故选A． 8.【答案】  【解析】解：设小路的宽为． 那么草坪的总长度和总宽度应该为，， 根据题意即可得出方程为：， 故选：． 如果设小路的宽度为那么草坪的总长度和总宽度应该为，，那么根据题意即可得出方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据经过两次降价后，每盒的价格由原来的元降至元，平均每次降价的百分率是，进行列式，即可作答． 【详解】解：一种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的元降至元，那么平均每次降价的百分率是， 故答案为： 10.【答案】  【解析】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．先求每名同学赠的作品，再求名同学赠的作品，根据总作品件列方程即可． 【详解】解：设全组共有名同学，则每名同学所赠的作品为：件， 则， 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：设平均每月增长的百分率是， 由题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：平均每月增长的百分率应该是． 故答案是：． 设平均每月增长的百分率是，那么月份的利润是元，月份的利润是元，而此时利润是元，进而可列出方程求解． 本题主要考查了一元二次方程的应用：平均增长率问题，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量平均增长率增长后的量． 12.【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故答案为：． 利用月日的票房金额月日的票房金额平均每天票房的增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：设金色纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和， 根据题意可得出方程为：， ． 如果设金色纸边的宽为，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程． 一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题． 14.【答案】  【解析】解：设长为步，宽为步， ， 解得，，舍去， 当时，， 长比宽多：步， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 化为一般形式为：， 故答案为：． 每名同学可以和名同学组队，共有种组合，据此求解即可． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解每名同学可以和名同学组队，共有种组合，难度不大． 16.【答案】  【解析】设小路的宽度为根据题意，得，解得，不合题意，舍去小路的宽度为． 17.【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了人，依题意有 ， 故， 或， ，不合题意，舍去， 人． 答：第四轮传染后共有人患流感．  【解析】设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有人被传染上流感，可求出，再根据所求数据及以后每轮传染少人，进而表示出经过四轮传染后患上流感的人数． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解． 18.【答案】解：设保温杯的定价应为元，根据题意得：， 整理得：，解得：． 答：保温杯的定价应为元．  【解析】设保温杯的定价应为元，根据总利润单个利润销售数量，结合商场总利润达到元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 19.【答案】．  【解析】解：设该公司去年盈利的增长率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：该公司去年盈利的增长率为． 设该公司去年盈利的增长率为，根据今年的盈利比去年多万元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】家．  【解析】解：设共有家公司参加此次商品交易会， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：共有家公司参加此次商品交易会． 设共有家公司参加此次商品交易会，利用签订合同的总份数参加此次商品交易会的公司数参加此次商品交易会的公司数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.【答案】；   当每盏台灯的售价定为元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元．  【解析】盏， 故答案为：； 设每盏台灯的售价为元， ， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：当每盏台灯的售价定为元时，销售该种台灯每周的利润恰好为元． 根据当每盏台灯的售价每下降元时，每周多售出盏，可求出结论； 设每盏台灯的售价为元，则每盏台灯的利润为元，每周的销售量为盏，根据总利润每盏台灯的利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 22.【答案】解：根据题意得：， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， ， 路面设置的宽度符合要求； 设每平方米草莓平均利润下调元， ， 整理得：． 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元．  【解析】根据“道路宽度不超过米，且不小于米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； 由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照中的取值范围，即可得出结论； 设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第6页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$