精品解析：2025年河北省沧州市盐山县千童中学中考模拟预测数学试题

2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷 一、单选题 1. 已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 2. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了无理数的大小，估算出的值是解题的关键．先估算出的值，再估算出的值在1和2之间，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 3. 2025年时政热点：全国铁路预计投产新线米，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：． 故选：B 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、单项式除以单项式、同底数幂的乘法，根据合并同类项法则；幂的乘方：底数不变，指数相乘；单项式除以单项式法则；同底数幂相乘：底数不变，指数相加；逐项计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项原计算错误，不符合题意； B、，故此选项原计算错误，不符合题意； C、，故此选项原计算正确，符合题意； D、，故此选项原计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. “二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 6. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 7. 如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：在和中，，， 、当添加条件，得到，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意； 、当添加条件，对应相等的条件为，能证得与全等，该选项符合题意； 故选：． 8. 一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解；如图所示，设交于H， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图（1），中，，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图像，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，，则，利用勾股定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，，， 则， 由，可得是直角三角形， 由勾股定理可得 ， 即， 解得，即， 所以， 所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点函数的图像以及勾股定理等知识，解决本题的关键是读懂函数图像，获得所需信息． 10. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由甲作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 由乙作图可知：分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 综上所述：甲乙两人方法都可以． 11. 如图1，是的半径，点是的中点，点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点，运动停止，设运动过程中的长为，的长为，图2是随变化的关系图象，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧长公式应用、直角三角形性质及勾股定理 ，解题关键是利用图象信息确定半径，通过弧长公式求圆心角，借助直角三角形性质求线段长，进而用勾股定理得出最大值． 先由图象中与重合时的长度及是中点确定圆半径；再根据弧长公式求出时对应的圆心角；接着构造直角三角形，利用其性质求出相关线段长；最后用勾股定理算出最大值即的值． 【详解】解：结合题图可知，当点与点重合时，的长 ，由图象知此时， ∵点是的中点， ∴，即圆的半径， 当的长时，设， 将，代入可得： 解得：，即此时， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∵， ，则， 在中，根据勾股定理， 已知，，则， 由图象可知的最大值为， ∴， 故选：C． 12. 如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，确定当时，线段取最小值，根据等边三角形的性质可得和，过点作于点，交于点，根据勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一求出的长度，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ∴当时，线段取最小值， 过点作于点，交于点， ， ∴， 由勾股定理得， 根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且， ， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，线段的最值问题，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． 二、填空题 13. 某市试点区域的垃圾收集情况如图所示，每月可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，估计全市每月收集的垃圾总量为______吨． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，根据扇形统计图列出算式，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， （吨）， 故答案为：． 14. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 15. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，根据抛物线a和线段b有两个交点，可确定m的取值范围，再分别把和代入抛物线解析式，可得到，然后根据m为整数，可得m的值为2或3或4，即可求解．熟练掌握二次函数与一次函数图象相交题型的解法，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：联立，得： ， ∵抛物线a和线段b有两个交点， ∴， 解得：． 当时，． 将代入抛物线解析式得：， ． 同理，当时，， ∴． ∵m为整数， ∴m的值为2或3或4． 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求； 当时，抛物线与线段的交点不是整点，不符合要求； 当时，抛物线与线段的交点坐标为，，符合要求． ∴m的值为2或4． 故答案为：2或4 16. 在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于H，G两点，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质以及解直角三角形分别求出，，，再结合勾股定理得，因为折叠，得，，，，运用勾股定理得出，，，，再证明，运用两个相似三角形的高的比等于相似比列式化简，即可作答． 【详解】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵ ∴， ∴在中，，即， ∴， ∵，的延长线，的延长线， ∴， ∵， ∴在中，，， 即，， ∴，， 在中，， ∴， ∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点， ∴，，，， ∴， 即， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的性质，勾股定理，难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题 17. 已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． （1）小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④ 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； （2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值． 【答案】（1） 证明：由①②，得④， 由，得， ∴ ∴， 又∵， ∴． （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，分式的四则运算，正确理解题意是解题的关键． （1）由，得，进而推出，再根据题意即可证明结论； （2）先证明，再由得到，解方程求出a的值，进而求出c的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 18. 一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． （1）已知是半和数，若，，求c的值； （2）嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 【答案】（1） （2） 同意． 设是一个“半和数”，则． ∴． ∵，整数，∴为整数． ∴任意一个“半和数”都能被整除． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，提取公因式法分解因式，解题的关键是理解定义，并列出代数式． （1）先根据定义得出，再将，代入求出的值； （2）先根据定义得出，再将用式子表示出来，将代入后证明结论成立． 【小问1详解】 解：∵是“半和数”，∴．∵，，∴．∴； 【小问2详解】 略 19. 2025年3月国家卫健委提出“体重管理3年行动计划”，旨在普及健康生活．目前，国际多采用体质指数（以下简称），其计算公式为：（单位：）（其中：偏瘦：；正常：；超重：；肥胖：）．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取男女生各10人，并对所调查的数据进行整理、描述和分析，下面是部分信息． 信息一：10名男生的身高，体重及统计表 身高（m） 1.57 1.66 1.69 1.73 1.73 1.75 1.78 1.83 1.88 1.67 体重（） 45 49 60 60 65 75 64 72.5 106 52.5 18.3 17.8 21.0 20.0 21.7 24.5 20.2 21.6 30.0 18.8 信息二：10名女生的身高（单位：m）如下： 1.59；1.62；1.64；1.64；1.64；1.66；1.67；1.68；1.70；1.73． 信息三：10名女生的条形图 （1）男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； （2）设样本中男生和女生身高的方差为和，则______（填“>”，“=”或“<”）； （3）若该校九年级有学生200人，估计该校九年级学生中超重及肥胖的人数． 【答案】（1）， （2）> （3）约30人 【解析】 【分析】（1）10名男生的体重按从小到大排列居中的两个数的平均数即为中位数，10名女生的身高数据中出现次数最多的数即为众数； （2）先求出10名男生的身高的平均数和10名女生的身高的平均数，再求出10名男生的身高的方差和10名女生的身高的方差，比较即得； （3）找出男女生超重与肥胖的总人数，200乘男女生超重与肥胖的总比率，即得． 【小问1详解】 解：∵10名男生的体重（单位：）按从小到大排列为： 45，49，52.5，60，60，64，65，72.5，75，106， ∴中位数为：（）． ∵10名女生的身高（单位：m）如下： 1.59；1.62；1.64；1.64；1.64；1.66；1.67；1.68；1.70；1.73． ∴众数为：． 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ； ， ． ． 故答案为：>； 【小问3详解】 解：男生超重：的1人；肥胖：的1人． 女生超重：的1人；肥胖：的0人． ∴（人）． 答：该校九年级学生中超重及肥胖的约30人． 【点睛】本题考查了某校九年级学生体检统计．熟练掌握统计表和条形统计图的关键信息，中位数，众数，平均数，方差，样本估计总体，是求解的关键． 20. 2025年是“健康体重管理年”，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械．如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点B，C，G在同一直线上，，，． （1）当在初始位置时，求点D到的距离； （2）当双腿伸直后，点E，D分别从初始位置运动到点，，假设，，C三点共线，求此时点E上升的竖直高度． （结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键． （1）过点D作于点H，根据题意可得，然后根据锐角三角函数解答即可； （2）过点E作于N，过点作于点M，根据锐角三角函数可得长，从而得到长，再根据题意可得，即可求解． 【小问1详解】 解：过点D作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D到的距离约为； 【小问2详解】 解：过点E作于N，过点作于点M， ∵，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ， ∴点E上升的竖直高度约为． 21. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋，经问询每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元，学校决定购买40副围棋和副中国象棋．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． （1）分别求出按照方案一、二购买的总费用关于的函数关系式； （2）若雷莹选择方案二购买更合算，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立关系式是解题的关键． （1）根据商场优惠活动方案分别列出、关于x的函数解析式即可； （2）根据列不等式即可求解． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解：∵选择方案二购买更合算， ∴， ∴， 解得， ∴当时，该校选择方案二更划算． 22. 如图，为的直径，弦，连接 ，，E为上一点，，连接，并延长交于点M，连接，在的延长线上取一点N，使，连接． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线； （3）连接，交于点F，若，看一看，想一想，证一证：以下与线段，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1）4 （2） 证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线． （3） 解：正确．理由如下： 连接， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，从而可得结论； （2）由等腰三角形的性质与圆周角定理证明，，结合，可得，从而可得结论； （3）连接，证明，可得，可得，，证明，可得，结合，，，从而可得结论． 【小问1详解】 解：∵，为⊙O的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，相似三角形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物交于点N，点M是新抛物上对称轴左侧的一个动点，点K在的对称轴上，连接，当且时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得到，将代入抛物线解析式计算即可； （2）先求出，，直线的解析式为，过点P作x轴平行线，交延长线于点G，证明，推出，即，设，则点纵坐标为，求出，利用二次函数的性质求出；将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接，易证四边形是平行四边形，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求解即可； （3）分点M在点上方和下方，利用相似三角形和等腰三角形的性质分类讨论即可． 【小问1详解】 解：根据题意：，则， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，则， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，则， 令，解得：或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点P作x轴平行线，交延长线于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设， 则点纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为，即有最大值， 此时，，即； 将点P向右平移1个单位到点Q，作点Q关于x轴的对称点，连接， 则，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长； ∵， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：根据题意， 令，解得：或， 根据题意：， ∴， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 过点M作于点H，过点作轴平行线交抛物线对称轴于点T，过点作轴平行线，交于点，过点作轴平行线交于点L，则，，， 当点M在点上方时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，点横坐标为， 设，，则， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 则， ∴； 当点M在点下方时， 同上得，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 则， ∴； 综上，所有符合条件的点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及求抛物线解析式，二次函数的平移，平行四边形的判定与性质，两点间距离公式，相似三角形的判定与性质及解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是：构造三角形相似． 24. 如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接． （1）与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值； （4）若，当点M为中点时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） 证明：如图，过点作与的延长线交于点， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，证明，得出，，令交于，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）过点作与的延长线交于点，则，由正方形的性质可得，，证明，得出，，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解； （3）过点作交于，由题意可得为等腰直角三角形，则，由等腰直角三角形的性质可得，结合题意得出，从而可得，，最后再由勾股定理计算即可得解； （4）由等腰直角三角形的性质可得，分两种情况：当时，连接、，作交于，作交于，作交于；当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于；分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 令交于， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作交于， 由题意可得：为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故； 【小问4详解】 解：由题意可得：为等腰直角三角形， 当时，， ∴， 如图，当时，连接、，作交于，作交于，作交于， 由（1）可得：， ∵点M为中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； 如图，当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定由性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷 一、单选题 1. 已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 2. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 3. 2025年时政热点：全国铁路预计投产新线米，将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. “二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图（1），中，，，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动到点．图（2）是点运动时，的面积随时间变化的图像，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 11. 如图1，是的半径，点是的中点，点在上从点开始沿逆时针方向运动一周回到点，运动停止，设运动过程中的长为，的长为，图2是随变化的关系图象，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 12. 如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 某市试点区域的垃圾收集情况如图所示，每月可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，估计全市每月收集的垃圾总量为______吨． 14. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 15. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为______． 16. 在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于H，G两点，若，，则的值为______． 三、解答题 17. 已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． （1）小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④ 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； （2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值． 18. 一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如，因为，所以是半和数． （1）已知是半和数，若，，求c的值； （2）嘉嘉认为任意一个半和数都能被整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由． 19. 2025年3月国家卫健委提出“体重管理3年行动计划”，旨在普及健康生活．目前，国际多采用体质指数（以下简称），其计算公式为：（单位：）（其中：偏瘦：；正常：；超重：；肥胖：）．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取男女生各10人，并对所调查的数据进行整理、描述和分析，下面是部分信息． 信息一：10名男生的身高，体重及统计表 身高（m） 1.57 1.66 1.69 1.73 1.73 1.75 1.78 1.83 1.88 1.67 体重（） 45 49 60 60 65 75 64 72.5 106 52.5 18.3 17.8 21.0 20.0 21.7 24.5 20.2 21.6 30.0 18.8 信息二：10名女生的身高（单位：m）如下： 1.59；1.62；1.64；1.64；1.64；1.66；1.67；1.68；1.70；1.73． 信息三：10名女生的条形图 （1）男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； （2）设样本中男生和女生身高的方差为和，则______（填“>”，“=”或“<”）； （3）若该校九年级有学生200人，估计该校九年级学生中超重及肥胖的人数． 20. 2025年是“健康体重管理年”，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械．如图（1）所示的健身器械为倒蹬机，使用方法为上身不动，腿部向前发力，双腿伸直之后再慢慢收回．图（2）为其抽象示意图，已知在初始位置，，点B，C，G在同一直线上，，，． （1）当在初始位置时，求点D到的距离； （2）当双腿伸直后，点E，D分别从初始位置运动到点，，假设，，C三点共线，求此时点E上升的竖直高度． （结果精确到，参考数据：，，，，，） 21. 围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史．中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋，经问询每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元，学校决定购买40副围棋和副中国象棋．在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下： 方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． （1）分别求出按照方案一、二购买的总费用关于的函数关系式； （2）若雷莹选择方案二购买更合算，求的取值范围． 22. 如图，为的直径，弦，连接 ，，E为上一点，，连接，并延长交于点M，连接，在的延长线上取一点N，使，连接． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线； （3）连接，交于点F，若，看一看，想一想，证一证：以下与线段，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，B两点（A在B的左侧），抛物线的对称轴是直线，连接． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交于点D，点E，F为x轴上的两个动点，点E在F的左侧，且，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，将该抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得，新抛物交于点N，点M是新抛物上对称轴左侧的一个动点，点K在的对称轴上，连接，当且时，请写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解其中一个点M坐标的过程． 24. 如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接． （1）与的数量关系是______，位置关系是______； （2）如图2，当时，求证：； （3）如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值； （4）若，当点M为中点时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $