精品解析：福建省漳州市芗城区漳州立人学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

漳州立人学校2024—2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 一、选择题（每小题4分，共10小题，40分） 1. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形是轴对称图形 C. 全等三角形的对应角相等 D. 全等三角形的对应边相等 2. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（ ） A. B. C. 4. 如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A B. C. D. 5. 为了丰富学生课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 6. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，中，，是高，，，则值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共6题，24分） 11. 用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设___________． 12. 不等式的解集是________． 13. 若是关于的一元一次不等式，则______． 14. 如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 16. 如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为____________________． 三、解答题（共86分） 17. 解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 18. 如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证： （1）． （2）． 19. 阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 20. 如图，中，，是的垂直平分线，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 21. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 22. 某商场计划一次性购进A，B两种商品共120件，每件商品的销售利润分别为A种商品100元，B种商品150元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的2倍，设购进A种商品x件，这120件商品的销售总利润为y元． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，直线与x轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1）求的值； （2）求直线的表达式； （3）根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 24. 如图1，在中，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线运动．设点P的运动时间为t秒． （1）_________；当点P在上时，_________（用含t的代数式表示）； （2）如图2，若点P在的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值． 25. 已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当时， ①如图2．连接，当，求的长； ②若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漳州立人学校2024—2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 一、选择题（每小题4分，共10小题，40分） 1. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 等边三角形是轴对称图形 C. 全等三角形的对应角相等 D. 全等三角形的对应边相等 【答案】D 【解析】 【分析】先写出命题的逆命题，然后进行判断即可； 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角，此逆命题为假命题； B、等边三角形是轴对称图形的逆命题为轴对称图形为等边三角形，此逆命题为假命题； C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，此逆命题为假命题； D、全等三角形的对应边相等的逆命题为对应边相等的三角形全等，此逆命题为真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查逆命题的真假．根据命题正确的写出逆命题是解题的关键． 2. 下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 3. 如图，数轴上表示的解集是下列哪个不等式的解集（ ） A. B. C. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，先解不等式，再根据解集的情况可得答案． 【详解】解：∵，的解集中不含等于号，故A，C不符合题意， ∵， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴，故D符合题意； 故选D 4. 如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的判定，根据“”的判定方法，结合题干条件判断，即可解题． 【详解】解： ，，， 要根据“”证明， 需添加条件为斜边相等，即， 故选：A． 5. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 6. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当角为底角时，顶角为； ②角为等腰三角形的顶角； 因此这个等腰三角形的顶角为或． 故选：C． 7. 如图，中，，是高，，，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据含角的直角三角形的三边特征，即可解答． 【详解】解：∵中，是高， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 8. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，解不等式，由不等式可得，进而由不等式的解集可得，，即得到一次函数的图象经过一、二、四象限，据此即可求解，由不等式的解集确定出的符号是解题的关键． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：． 9. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意表示出打折后售价以及结合利润与进价之间的关系得出不等式即可． 【详解】解：∵商品标价为500元，打x折销售， ∴商品售价为元， ∵利润率不低于， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确的不等关系是解题关键． 10. 如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共6题，24分） 11. 用反证法证明某一命题的结论“”时，应假设___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，得出a>b的反面是即可． 【详解】解：反证法证明“a > b”时，应先假设． 故答案为： ． 【点睛】本题考查反证法，解此题的关键是掌握反证法的一般思路及解题步骤． 12. 不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式．移项后合并同类项得出，据此求解即可． 【详解】解：， 移项合并得：， 化系数为1得：， 故答案为：． 13. 若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 14. 如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线），也考查了线段垂直平分线的性质，先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∴，即直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， ∴解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 16. 如图，已知中，，，，点、分别在线段、上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，线段的长为____________________． 【答案】4或 【解析】 【分析】由为直角三角形，分两种情况进行讨论：①；②．分别依据含角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到的长． 【详解】解：分两种情况： 如图，当时，是直角三角形， 在中，，，， ，， 由折叠可得，， ， ， ， ， 如图，当时，是直角三角形， 由题可得，，， ，， ，， 设，则，， 又， ， 解得：， ，， 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题（共86分） 17. 解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项等过程求解不等式，在数轴上表示解集即可，正确求出不等式的解集是解题关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 将解集表示在数轴上．如图所示： 18. 如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证： （1）． （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【小问1详解】 证明：， ，即， 又， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ． 19. 阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知条件，仿照题意的解法，利用不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1）． 20. 如图，中，，是的垂直平分线，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质． （1）根据直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，进而求出，再根据角的和差求解即可； （2）根据角平分线的判定定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40° 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB ∴DB＝DA ∴∠DAB＝∠B＝30° ∵∠C＝40° ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110° ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80° ∵AE平分∠DAC ∴∠DAE∠DAC＝40°． 【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法． 22. 某商场计划一次性购进A，B两种商品共120件，每件商品的销售利润分别为A种商品100元，B种商品150元．其中B种商品的进货量不超过A种商品的2倍，设购进A种商品x件，这120件商品的销售总利润为y元． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）该商场购进A种，B种商品各多少件，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商场购进A种商品40件、B种商品80件，才能使销售总利润最大，最大利润为16000元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出对应的函数关系式，再根据B种商品的进货量不超过A种商品的2倍，列出不等式求出对应的x的取值范围即可； （2）根据函数解析式得到y随x的增大而减小，利用一次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵B种商品的进货量不超过A种商品的2倍， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴y随x增大而减小， 又∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 答：该商场购进A种商品40件、B种商品80件，才能使销售总利润最大，最大利润为16000元． 23. 如图，直线与x轴交于点，且经过点，直线与交于点． （1）求的值； （2）求直线的表达式； （3）根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）把点的坐标代入直线的解析式求出的值； （）根据点坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答； （）观察图象，可直接写出解集； 本题考查了直线与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，利用一次函数图象解不等式，熟练掌握并灵活运用知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：把坐标代入，得， 解得：； 【小问2详解】 解：把，的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问3详解】 解：观察图象，可知解集是． 24. 如图1，在中，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线运动．设点P的运动时间为t秒． （1）_________；当点P在上时，_________（用含t的代数式表示）； （2）如图2，若点P在的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 分析】（1）利用勾股定理求出，利用，求出； （2）过点作，交于点，利用勾股定理列式求解即可； （3）分，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线运动， ∴当点P在上时，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：点作，交于点，则：， ∵点P在的角平分线上，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，，即：， 解得：； 【小问3详解】 解：点运动的总时间为：秒， 当是等腰三角形时： ①当，点在上时：如图， 此时：，解得：； 当，点在上时：如图，过点作，交于点， 则：， ∵，即：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图： 由①可知：， ∴， 在中，，即：， 解得：； ③当时，如图： 此时：，解得； 综上：当是等腰三角形时，的值为：或或或． 【点睛】本题考查三角形上的动点问题．熟练掌握勾股定理，以及等腰三角形的定义是解题的关键．注意，分类讨论． 25. 已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当时， ①如图2．连接，当，求的长； ②若，直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$