精品解析：河北省高碑店市第一中学贯通实验班2024-2025学年九年级下学期3月考数学试题

25级贯通实验班数学阶段性测试 一、单选题 1. 如果与互为相反数，那么代数式的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 3. 当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ） A. -1 B. 2 C. 0或2 D. -1或2 4. 把多项式分解得（ ） A. B. C. D. 5. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次不等式的解集为R，则必有（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ） A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2 10. 方程解的个数（ ） A. B. C. D. 11. “不等式在上恒成立”的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 12. 如图，平面直角坐标系中，点M是直线与x轴之间的一个动点， 且点M是抛物线的顶点，则方程的解的个数是（ ） A. 0或2 B. 0或 1 C. 1或2 D. 0，1或2 13. 已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 14. 若存在实数时，使成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15. 抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 16. 已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为________． 17. 已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式解集为________． 18. 若关于x的一元二次方程的一根，另一根，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是___________________． 19. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是________． 20. 已知对一切恒成立，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 21. 法国数学家弗朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题． （1）关于x的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数m的值； （2）关于x的方程有两个实数根为，若，求实数k的值． 22. 二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10． （1）求函数的解析式； （2）设，当时，求函数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25级贯通实验班数学阶段性测试 一、单选题 1. 如果与互为相反数，那么代数式的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查已知字母的值求代数式的值，绝对值的非负性及偶次方的非负性， 根据绝对值的非负性及偶次方的非负性得到，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 2. 将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题的关键是：直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式． 【详解】解：将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位， 平移后的抛物线的解析式为：，即． 故选：B． 3. 当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最小值为1，则a的值为（ ） A. -1 B. 2 C. 0或2 D. -1或2 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 详解：当y=1时，有x2-2x+1=1， 解得：x1=0，x2=2． ∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1， ∴a=2或a+1=0， ∴a=2或a=-1， 故选D． 点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键． 4. 把多项式分解得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题涉及因式分解的概念，因式分解是把一个多项式在一个范围内化为几个整式的积的形式．对于本题，先提取公因式，再利用立方差公式进行分解． 【详解】解： 提取公因式，得 即 分解因式，得 故选：D． 5. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-1，然后比较三个点离直线x=-1的远近得到，，的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1， ∵，，， ∴点C离直线x=-1最远，点A离直线x=-1最近， 抛物线开口向下， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 6. 一元二次不等式的解集为R，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用函数角度求解一元二次不等式的解集问题，根据一元二次不等式解集为全体实数的条件，可转化为抛物线开口向下且与x轴无交点． 【详解】解：对于不等式的解集为R，抛物线必须开口向下（即），且与x轴无交点（即判别式）． 此时抛物线始终位于x轴下方，所有实数x均满足不等式． 选项B满足且， 故选：B． 7. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过换元法，将含有绝对值的不等式转化为关于新变量的一元二次不等式进行求解，再将新变量还原为原变量，从而得出原不等式的解集． 【详解】解：令，， ∴原不等式转化为， ∴因式分解，得， ∴与异号 ∵恒成立， ∴只能是且， 又∵，恒成立， ∴由可得， 综合，得到， ∵， ∴， 根据绝对值的性质，当时，． 故选：A． 8. 若，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解不等式组，不等式的性质，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键． 首先由得到，然后由得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴． 故选：D． 9. 方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ） A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题． 【详解】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2， ∴m+6=m2， 解得m=3或m=-2， ∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0 解得m=6或m=-2 ∴m=-2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=． 10. 方程解的个数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题涉及绝对值方程的求解，需要根据绝对值的性质，分情况讨论去掉绝对值符号，将方程转化为一元二次方程来求解，然后判断根的个数． 【详解】解：①当时， 此时，原方程可化为， ∵，，， ∴由求根公式， 解得：或， ∵， ∴； ②当时， 此时，原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 综上，方程有两个根和． 故选：B． 11. “不等式在上恒成立”的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，涉及到分类讨论思想和一元二次方程判别式的应用．当时，当时，两种情况进行讨论，即可解答． 【详解】解：①当时，原不等式变为，即， ∴不能在上恒成立，不合题意， ∴； ②当时，不等式是一元二次不等式， 对于一元二次函数， 当时，函数图象开口向上，要使恒成立，即函数图象在轴上方， ∴需要满足判别式， 由不等式，得，，， ∴， 即， 解得：， 当时，二次项系数，二次函数的图象开口向下，必然存在实数使得不满足不等式，在上恒成立． 综上可得：． 故选：A． 12. 如图，平面直角坐标系中，点M是直线与x轴之间的一个动点， 且点M是抛物线的顶点，则方程的解的个数是（ ） A. 0或2 B. 0或 1 C. 1或2 D. 0，1或2 【答案】D 【解析】 【分析】分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数． 【详解】解：点M的纵坐标小于1，方程的解是2个不相等的实数根； 点M的纵坐标等于1，方程的解是2个相等的实数根； 点M的纵坐标大于1，方程的解的个数是0． 故方程的解的个数是0，1或2． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用． 13. 已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可以将关于的方程的解为看作是二次函数与轴交点的横坐标，而与轴交点坐标可以通过二次函数的关系式求得，即可以求出与，当函数值时，就是抛物线位于轴上方的部分所对应的的取值范围，再根据，做出判断． 【详解】解：关于的一元二次方程的解为，可以看作二次函数与轴交点的横坐标， ∵二次函数与轴交点坐标为，如图： 当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或； 又∵ ∴； ∴， 故选A． 【点睛】考核知识点：二次函数和一元二次方程.数形结合分析问题是关键. 14. 若存在实数时，使成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．通过将不等式恒成立问题转化为求函数在给定区间上的最值问题，进而求解参数的取值范围；关键通过二次函数的对称轴公式，以及根据二次项系数的正负判断函数图象的开口方向和单调性． 【详解】解：∵存在实数时，使成立 ∴移项，得， 即：要大于函数，，在上的最大值， ∵，，， ∴对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值，在对称轴右侧函数单调递增， ∴当时，函数取得最大值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最大值， ∴的取值范围是． ∴当时，函数取得最小值， 将代入函数可得： ， ∵，在上的最小值， ∴的取值范围是， 综上，若存在实数时，使成立，则的取值范围为． 故选：B． 15. 抛物线的对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点，再由的范围确定的取值范围即可求解； 【详解】∵的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的有交点， ∵方程在的范围内有实数根， 当时，， 当时，， 函数在时有最小值2， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题，借助数形结合解题是关键． 二、填空题 16. 已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，关于直线的对称点为， ∵， ∴， 故答案为：． 17. 已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了求不等式的解集，一元二次方程根与系数的关系，由题意得到是方程的两个实数根，解得，代入中得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴是方程的两个实数根， ∴， 解得：， ∴可化为， ∴， 解得：或， ∴关于x的不等式解集为或， 故答案为：或． 18. 若关于x的一元二次方程的一根，另一根，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与轴的交点之间的关系是解答此题的关键． 先根据关于的一元二次方程的一根，另一根求出的取值范围，再得出抛物线顶点的纵坐标表达式，把的取值代入即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一根，另一根， 令 则， 即， 解得，． ∵抛物线的顶点纵坐标为， 当时，； 当a时，， ∵， ∴顶点到x轴距离的最小值是． 故答案为：． 19. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次不等式的关系．先将变形为，再分三种情况利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， ∴当时，恒成立， 当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方， ∴二次函数的图象关于对称， ∵， ∴二次函数的图象开口向上，且时，有最大值， ∴，解得：， ∴； 当时，即对应的二次函数在范围内其图象在轴下方， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴，解得：， ∴； 当时，恒成立； 综上，k的取值范围是． 故答案为：． 20. 已知对一切恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查绝对值的几何意义： 表示数轴上两点间的距离，利用数形结合的思想是解题的关键．根据绝对值的几何意义， 表示数轴上两点间的距离，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 则表示点x到 ，两点间距离的和， ∴当x在和之间时距离和最小， 最小值为 ， ∴， 故答案为：． 三、解答题 21. 法国数学家弗朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题． （1）关于x的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数m的值； （2）关于x的方程有两个实数根为，若，求实数k的值． 【答案】（1）方程的另一实数根为1，实数m的值为2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）设关于x的方程的另一个实数根为n，由根与系数的关系得到，据此可得答案； （2）由根与系数的关系可得，进而求出，再求出，解方程求出k的值，再根据判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：设关于x的方程的另一个实数根为n， ∵关于x的方程的两个实数根为2和n， ∴， ∴， ∴方程的另一实数根为1，实数m的值为2； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程有两个实数根为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵关于x的方程有两个实数根为， ∴， ∴， ∴． 22. 二次函数，其两实数根分别为0，4，且当时，最大值为10． （1）求函数的解析式； （2）设，当时，求函数的最小值． 【答案】（1）或 （2）函数的最小值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，利用分类讨论的方法解答是解答本题的关键． （1）由题意可得且，求出，再分两种情况，结合当时，最大值为10，即可求解； （2）首先将抛物线转化成顶点式，然后得到对称轴为直线，分，即，即，三种情况利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得 二次函数图象过点， ∴且， ∴，且二次函数图象关于直线对称， ∴二次函数， ∵当时，最大值为10， 当时，二次函数图象开口向上， 又∵， ∴当时，有最大值，则，解得，符合题意； ∴函数的解析式为； 当时，二次函数图象开口向下， ∴当时，有最大值，则，解得，符合题意； ∴函数的解析式为； 综上，函数的解析式为或； 【小问2详解】 解：由（1）知时，函数的解析式为， ∵， ∴二次函数图象开口向上，关于直线对称， 当时，当时，y随x的增大而增大， 则时，取最小值，最小值为； 当即时，当时，y随x的增大而增小， 则时，有最小值，最小值为； 当即时， 则时，有最小值，最小值为； 综上，函数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $