湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考一数学试题

长郡中学2026届高三月考试卷（一） 数学 得分」 本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.(★)已知集合A={x3≤x≤7}，B={x2<x≤10，则A∩B= 钟 A(2,7] B.(2,10] 啷 C.[3,7] D.[3,10) 数长 2.()已知1为虚数单位，设复数x=十2，则= A.0 B安 C,1 D.2 3.(女)已知单位向量a,b,c,满足a十b=c,则向量a和b的夹角为 # A等 B登 c晋 D.晋 4(伙在平面直角坐标系0中，曲线C,以+义=1的周长为 A12 B.14 C,16 D.20 5.()B知正数y清足异+号-=1，则十y的最小M值是 A.17 B.16 C.15 D.14 6.过点(0，一3)与圆士十y一4x=0相切的两条直线的夹角为a,则 tan a= A号 B号 c号 数学试题（长那版） 第1页（供8或 7,已知函数y=sinx与y=inux(u>0)的图象在[0,2x]上恰有5个公 共点，且其中一个公共点的坐标为(x,0),则u= A分 B.2 c号 D.3 8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)是f()的导函数， f(x)十f(z)户2e,若[f(x)一e]≤x在R上恒成立，则实数k的取 值范围是 (-0,-] B[-,o C.(-∞，-1] D.[-1,0) 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目妻求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分，) 9.(★)在兰项式（日-3x） 的展开式中，只有第5项的二项式系数最 大，则 An=10 B.展开式中没有常数项 C.展开式所有二项式系数和为1024 D.展开式所有项的系数和为256 10.如图，AC为圆维S0的底面圆O的直径，点B 是圆O上异于A,C的动点，母线SC=2√反，圆 锥S0的侧面积为42π，则下列结论正确的是 A.SO=2 B三棱锥S-ABC的体积最大值为号 C,若点B为弧AC的中点，则二面角S-BC-O的平面角大小为45° D.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE十CE的最小值为 2W3+1) 数学试题（长郡版）第2页（共8页） 11.杞△ABC的内角A,B;C的对边分别为a,b,,外接圆半径为R;面积 为S,若sin2A+sin2B+sin2C=2,S=4;则 A,R=4 B.abc=32 C当A=时，C有唯一值 D.当A=B时，C有且仅有2个值 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知等差数列(a,}的前n项和为Sn,若a1=29,且So=S0,则Sn的最 大值为 13.()已知双曲线2-芹=1(6>0)的左右焦点为五，，以0为顶 点，F2为焦点作抛物线交双曲线于P,且∠PFF2=45°，则H= 14.将3个小球随机放人4个盒子，记小球最多的盒子里小球数目为X,则 E(X)=一 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 波算步骤) 15.(13分)为了普及安全教育，某学校随机抽取明生、女生各100名学生 进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有85%的 同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 了解安全知识的程度 性别 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 数学试题（长郡版）第3页（共8页） (1)求入，4， (2)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否推断该校男生和女生了 解安全知识的程度与性别有关？ n(ad-bc)2 附t=a+b(c+a(a+c)b叶a万' 0.050 0.010 0.005 五 3.841 6.635 7.879 数学试题（长那版）第4页共8页) 16.(★)(15分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形， BR=DE,BF∥DE,M是AE的中点， (1)求证：EC∥平面BDM (2)若DE⊥平面ABCD,AB=4,BM⊥CF,点P为线段CE上一点，且 C中-C克，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 17.(★(15分)已知函数f(z)=a2-lnx-1,g(z)=xe-a(a∈R). (1)求g(x)在x=0处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)证明：f(x)十g(x)≥x 1817分已知椭圆E后+芳-1(a>b>0)的离心率为2，点(1，受)在椭 圆E上 (1)求椭圆E的标准方程： (2)若椭圆E的切线分别交直线x=一2，口=2于点S,T,椭圆E的左、 右焦点分别为F1,F2, (1)证明：S,T,F,F2四点共圆； (1)者(1)冲圆的半径<后，求部的取值范国。 数学试题（长那版）第7页（共8页） 19.(17分)已知{an}是m(m>4)项正整数数列，令T气n412a2“计 na(k=1,2,…,m),其中n∈{-1,1.若对任意的(r.},T,Tz,… Tm中均无相同的项，则称数列{a)为“和差单值”数列. (1)判断8,4,2,1,2,4,8是否为“和差单值”数列. (2)已知{a}:2,2为，…，2必，其中k,k2,…,km为两两不同的正整数， _问：{金是否为“和差单值”数列？请说明理由. (3)证明：若{a.}的最大值不超过”2，则(2产定不是“和差单值” 数列。 长郡中学2026届高三月考试卷（一） 数学参考答案 题号 12 5 6 8 9 10 11 答案 C C A D B B A BD ABD BCD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1.C2.C3.A4.D5.A6.B 7.B【解析】由题意知y=sinr(w>0)经过点(r,0), 因此w=kx,k∈N”,得w=k,k∈N”, 即w只能为整数，排除选项A,C 当w=2时，作出y=sinr与y=sin2x在[0,2x]上的图象： y=sin 2x y=sin 由图象可得：y=sinx与y=sin2.x的图象在[0,2x]上有5个公共点，满足题意： 当u=3时，作出y=sinx与y=sin3.x在[0,2π]上的图象： 由困象可得：y=sinx与y=sin3x的图象在[0,2π]上有7个公共点，不满足题意. 8.A【解析】因为(x)为偶函数，则(x)=f(一x)①， 对两边求导得，（x)=一f(一x)②， 在f(x)+∫(x)=2e③中，用-x代替r件f(-r)+f(-x)=2e④， 由①②④可得，f八x)-(x)=2e'⑤， 联立③⑤得，f(x)=e十c', 则k[f(x)-e门≤r化简为k≤xe, 令g(x)=xe,则g'(t)=(x+1)c, 由g(x)>0得x>1:由g'(x)<0得x<-1, 则g(x)在（一o∞，一1）上单调递减，在（一1，十∞）上单调递增， 则gx)的最小值为（一1）=-君故长-日 则实数的取值范四是(-0，-] 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.） 9.BD 10.ABD【解析】A选项，图锥SO的俐面积为4V2m,即π·C·SC=4v2π， 又S0=2,故0-是-2. 由句股定理得SO=√SC-区=√8-4=2，A正确： B选项，因为AC为直径，所以AB⊥BC,且AC=2OC=4, 由勾股定理得AB+BC=AC=16, 数学参考答案（长郡板）一1 V,r=号5am·S0-号×含AB·BC·2-号AB·BC<AB+BC)-号 当且仅当AB=BC=2V2时，等号成立， 所以三枚维S-ABC的体积最大值为号，B正确： C选项，取BC的中点D,连接OD,SD, 点O为AC的中点.所以OD∥AB: 又AB⊥BC,所以OD⊥BC, 因为SB=SC,由三裁合一将SD⊥BC, 所以∠SDO即为二面角S-BC-O的平面角， 共中AB=B=22,故0D=AB=E. 又S0=2,所以an∠SD0-=8-厄，故∠SD0≠45，C储误： D述项，若AB=BC,则△ABC为等腰直角三角形，且AB=BC=2反， 又SA=SB=2V2,所以△SAB为等边三角形， 将△SAB与△ABC沿着AB折叠到阿一平面内，如图所示， 连接SC,交AB于点E,此时SE十CE最小，最小值为|SC, 过点S作SP⊥BC,交CB的延长钱于点P, 则∠SBP-305P-sB=E,BP-停sB=5, 所以CP=2√24√6，由与极定理得 SC=√SPPC光√2斗(2W2+VT=V16+83=√(23+2)了=2W3+1),D正痛. 1l.BCD【解析】sin2A+sin2B+sin2C=sin2A+sin2B-in(2A+2B) =sin 2A+sin 2B-sin 2Acos 2B-sin 2Bcos 2A =sin 2A(1-cos 2B)++sin 2B(1-cos 2A) =2sin 2Asin'B++2sin 2Bsin'A =4sin Acos Asin'B++4sin Bcos Bsin'A =4sin Asin B(sin Bcos A+cos Bsin A) =4sin Asin Bsin C =2, inAin Bin C=立 bin C-RsinARinBin C-2R in Asin Bsin C=R4. R=2,故选项A错误： 数学参考答聚（长廊版）一2