3.1.1椭圆的标准方程(1)学案-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

3.1.1椭圆的标准方程(1) 学习目标 1、理解椭圆的定义及椭圆的标准方程； 2、掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程； 3、理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题。 任务一 问题情境 情境：用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆． 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考： 问题1用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？ 问题2 圆是动点到定点的距离等于定长的点的轨迹，椭圆也可以看成满足某种条件的点的轨迹，那么椭圆上的点满足什么条件呢？或者说满足什么条件的动点的轨迹是椭圆？ 任务二 探究1 在画板上取两个定点，把一条长度为定值且大于的细绳固定在两点，用笔尖将细绳拉紧，并使笔尖在画板上移动一周，画出的图形是一个椭圆. 问题3 笔尖在移动过程中，笔尖到两定点的距离之和有变化吗？ 任务三 知识梳理 1、 椭圆的定义 平面内到两个 F1，F2 的距离之 等于常数(大于 )的动点的轨迹叫作椭圆。 其中两个定点F1，F2叫作是椭圆的 ，两个定点叫作椭圆的 ， 焦距的一半，叫作 。 数学表达式：设平面内的动点为P，到到两个定点F1，F2 的距离之和等于常 数2a，焦距|F1F2|为2c，则有 问题4 在椭圆的定义中，如果这个常数小于或等于 ，动点P的轨迹又如何呢？ 2、关于平面内动点到两个定点的距离之和等于常数的结论 (其中|P F1|＋|P F2|为定长) (1)当动点P到两个定点F1，F2 的距离|P F1|，|P F2|满足|P F1|＋|P F2|＞|F1F2| 时，动点P 的轨迹是以F1，F2 为焦点的 ； (2)当动点P到两个定点F1，F2 的距离|P F1|，|P F2|满足|P F1|＋|P F2|＝|F1F2| 时，动点P 的轨迹是一条以F1，F2为端点的 ； (3)当动点P到两个定点F1，F2 的距离|P F1|，|P F2|满足|P F1|＋|P F2|＜|F1F2| 时，动点P 的轨迹 。 任务四 探究2 设椭圆的两个焦点分别为，它们之间的距离为，椭圆上任意一点到的距离之和为 问题5 类比圆的方程，怎样建立椭圆的方程呢？ 问题6 类比直线方程与圆的方程，椭圆标准方程有什么特点？ 任务五 数学运用 例1、 下列方程哪些表示椭圆？如果表示椭圆，指出焦点的位置？ (1) (2) (3) (4) 问题7 如何根据椭圆标准方程判断焦点的位置？ 例2、已知椭圆的方程为，则a＝__ __，b＝_ __ ，c＝___ _ ， 焦点坐标为___ ____，焦距为_______，若CD为过左焦点F1的弦，则 △ F2CD的周长为_______ 任务六 课堂检测 1、平面内到两个定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和等于10的动点的轨迹为 . 2、平面内到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离之和等于2的动点的轨迹为 . 3、在△ABC中，已知BC＝6，周长为16，试探究点A的轨迹是 . 4、已知椭圆的方程为，则a＝____，b＝____ ，c＝____ ，焦点坐标为_______，焦距为_______，若曲线上一点P到其中一个焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离为_______ ，则△F1PF2的周长为______ 5、方程为表示的曲线为_______ ，其化简 后的方程为________ ____ 6、已知椭圆的焦距为2，则m＝______ 学科网（北京）股份有限公司 $$