精品解析：北京市第五十七中学2024—2025学年下学期3月阶段性练习九年级数学试题

57中九年级阶段性练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可． 【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是 故选：B． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解．则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解得到，即可得到． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程无实数根，反之亦然．熟知一元二次方程根的判别式的符号与根的关系是解题关键． 3. 实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法法则的应用，利用数轴判断数的大小是解题关键． 根据有理数加法法则判断出为负数，且绝对值大于，即可判断答案． 【详解】解：，且， ，且， ∴b的值可以是，D选项同符合题意，A、B、C不符合题意， 故选：D． 4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义及性质求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为3条即正三角形的三条高所在的直线． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义及性质．掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】列表得： ∵共有种等可能的结果，两个骰子向上一面的点数相同的有种情况， ∴两个骰子向上一面的点数相同的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 6. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，再根据分式的乘法以及分式的性质化简，最后将式子的值代入即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 7. 如图，，切于A，B两点．连接，连接交于点C，若，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质可得，证明得到，然后利用等腰三角形的三线合一证得，，从而利用勾股定理可求得，再根据相似三角形的判定与性质证明求解即可． 【详解】解：∵，切于A，B两点， ∴， ∵，， ∴， ∴，又， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴即， 解得：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键． 8. 小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 页数 15 20 15 10 20 40 30 若小明按照计划从星期开始连续阅读，10天后剩下的页数为，则与的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别代入，求得10天后的剩余页数，对比函数图象即可求解． 【详解】解：一周的阅读量为：页， 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 当时，则阅读了（页） 则剩余的页数，表现在图象上的规律为先升后降，然后再降后升， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，理解题意是解题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16题，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件求出的取值范围即可． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 10. 分解因式：_______. 【答案】． 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可 【详解】解：， 故答案为：． 11. 如图，正方形，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2．则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 则，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 12. 在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据随的增大而增大，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上．，， ∴随的增大而增大，则函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示： 种子数量 10 50 150 300 500 800 发芽数量 9 41 133 261 431 689 发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861 据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）． 【答案】三至五个月 【解析】 【分析】根据频率估计概率，结合题意即可求解．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格可知，某批咖啡树种子的发芽情况接近 ∵咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%； ∴这批咖啡树种子的保存时间是三至五个月 故答案为：三至五个月． 【点睛】本题考查了频率估计概率，理解题意是解题的关键． 14. 如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，先根据求出，再根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 15. 如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，又， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴标签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行． ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤． ③每个班级每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 运回书籍 擦书架 查损坏 贴标签 所需时间/分 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要________分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要________分钟． 【答案】 ①. 26 ②. 43 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意找出最优方案是解题的关键．根据题意列出算式，求出甲小组单独完成1个班级的整理任务，需要的时间即可；按照题目要求让甲完成4个班级运回书籍的工作，同时乙、丙完成另外三项工作，最后1个班级的另外三项工作由甲、乙、丙同时完成，计算出时间即可． 【详解】解：甲小组单独完成1个班级的整理任务，需要的时间为： （分钟）， 合作完成4个班级的任务，最优策略是采用流水线作业；甲小组完成全部4个班级的运回书籍任务耗时  分钟；当甲完成第4个班级的运回书籍任务时，三个小组可同时对该班级进行后续三项工作（擦书架、查损坏、贴标签），耗时取决于最长的一项，即7分钟；故最少需要  分钟， 即甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要43分钟， 故答案为：26；43． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂是解题的关键． 18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤求解不等式，再将不等式的解集在数轴上表示出来即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得，即， 不等式的解集在数轴上表示如下： 19. 下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法．请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明． 已知：如图，直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在直线l上取两点A，B，连接； ②分别以点P，点B为圆心，的长为半径画弧，两弧在l上方交于点Q； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． 证明：连接． ________，________， 四边形是平行四边形 （________）（填推理的依据） （________） （填推理的依据） 【答案】 如图所示，即为所求； ；；两种对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行四边形的性质与判定，先根据题意作图，再证明四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】略 20. 为防治污染，保护和改善生态环境，某汽车厂生产新型汽车，汽车尾气排放量要求如下：A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过．已知该型号汽车的A类比B两类物质排放量多．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合要求，并说明理由． 【答案】 不符合，理由如下： 设该型号汽车技术改进前的类物质排放量为，则该型号汽车的类物质排放量为， ∵经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为． ∴， 解得： ∴， 这次技术改进后该汽车的A类物质排放量不符合“标准”． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设该型号汽车技术改进前的类物质排放量为，则该型号汽车的类物质排放量为，列方程求解即可． 【详解】略 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别列方程即可求出k和b的值； （2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：由（1）一次函数的解析式为， 当时，， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． 22. 已知：如图，在四边形中，，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵AC⊥BD，AC⊥AE， ∴AE∥BD， 又AB∥DC， ∴四边形ABDE是平行四边形． （2）6 【解析】 【分析】（1）先证明AE∥BD，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE的长，再利用勾股定理求出AE的长即可求得BD的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD=AE，∠E=∠ABD， ∵， ∴，则CE=10， 在Rt△EAC中，， ∴BD=6． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 23. 青少年的健康素质是全民族健康素质的基础． 某校为了解学生寒假参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． a．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下： b．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长： 7，8，8，11，9，7，6，8 c．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7．1 7 6，10 八年级 7 m n 九年级 p 8 8 根据所给信息，回答下列问题： （1）表中m的值是___________，n的值是___________，p的值是___________； （2）设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系___________（用“<”连接）； （3）估计全校九年级所有学生中，共有___________名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时． 【答案】（1），9，8 （2） （3）40 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可； （2）根据各数据的波动大小即可解答； （3）先求得全校九年级的学生总人数，再利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解：八年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据为：4，5，5，6，6，7，9，9，9，10； ∴中位数，众数， 九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数， 故答案为：，9，8； 【小问2详解】 解：七年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动最大， 九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的数据波动最小， ∴； 【小问3详解】 解：全校九年级的学生总人数为（人）， （人）， 答：估计全校九年级所有学生中，共有40名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时． 故答案为：40． 【点睛】本题考查拆统计图，统计图表的综合，考查了平均数、中位数及众数，方差，样本估计总体等知识，读懂图表是解题的关键． 24. 如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长． 【答案】（1） 证明：∵AB=AM， ∴∠ABM=∠AMB=∠EMC， ∵点E为弧CF的中点， ∴∠EBC=∠ECM， ∵BC为直径， ∴∠BEC=90°， ∴∠EMC+∠ECM=90°， ∴∠ABM+∠ECM=90°， ∴∠ABM+∠EBC=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AB是⊙O的切线； （2）12 【解析】 【分析】（1）根据AB=AM，可得∠ABM=∠AMB=∠EMC，再由同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠EBC=∠ECM，然后由BC为直径，可得∠EMC+∠ECM=90°，从而得到∠ABM+∠EBC=90°，即可求证； （2）根据tan∠ACB＝，可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x，再由△CEM∽△BEC，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 可设AB=5x，则BC=12x，AM=5x， ∴AC=13x， ∴CM=AC-AM=8x， ∵∠EBC=∠ECM，∠BEC=∠CEM=90°， ∴△CEM∽△BEC， ∴， ∵BM＝10． ∴， ∴，， ∴， ∴EC=12． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 25. 数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为，底面半径为，高为，则 ，① ，② 由①式得，代入②式得 ．③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是________． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积________．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为，容器底面半径约为________（精确到0.1）． 【答案】（1） （2） 函数的图象如图所示： （3）①大；②2.5或5.4 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件和实际意义，即可得到自变量x的取值范围； （2）根据描出的点，画出该函数的图象即可； （3）①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，S值的大小； ②根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：由可知，S是x的函数， 自变量x的取值范围是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①由（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，S随x的增大而增大，当时，S随x的增大而减小， 时，，时，， 半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积大， 故答案为：大； ②根据函数图象可知，当时，或， 故答案为：2.5或5.4． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上． （1）当，时，比较m与n的大小，并说明理由； （2）若对于，都有，求b的取值范围． 【答案】（1） 解：，理由如下： 当，时，抛物线解析式为，点，， 将，代入抛物线解析式得， ，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征． （1）由题意可知，抛物线解析式，将，代入，即可求出m和n得值，再比较即可； （2）由函数解析式可得其对称轴为直线，且开口向上，从而得出对称轴右侧，y随x的增大而增大，根据对于，都有，得出，当时，，即，从而可求出，对于，都有，可得出，两边平方并整理求出，最后取其公共解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 该函数解析式为， 其图象开口向上，对称轴为直线， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ，， 点B在点A左侧， 对于，都有， ， 当时，，即， ， 对于，都有， ， 两边平方得，， 整理得，， ， 综上可知：． 27. 如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证： （2）若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） 解：，理由如下： 如图，连接并延长，交于点，连接， ∵， ∴， ，，， ， ，， 由（1）可知：，， ∴， ，，， ， ，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴是的中位线， ， 即：． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据旋转的性质、角的和差关系可得，利用可证得，于是可得，据此即可得出结论； （2）连接并延长，交于点，连接，利用可证得，于是可得，，由（1）可知，，于是可得，利用可证得 ，于是可得，，再结合平行线的性质及等角对等边可得，从而得出，进而可证得是的中位线，于是得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并正确做出辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”． （1）已知点． ①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______； ②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长； （2）已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，；②． （2） 【解析】 【分析】（1）①已知线段长，求出的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出，，，再看与是否相等即可作出判断； ②由，的坐标求出，再求出到的距离，进而求出； （2）首先确定线段与长度间的关系，线段长度越长，线段长度越长；然后举例线段，确定线段最大值和最小值取值情况；改变线段的位置，确定线段最大值和最小值的变换情况；当线段是水平线段时，取最大值；当线段是竖直线段时，取最小值，由此可解决问题． 【小问1详解】 解：先探究长度确定时，的长度，如图， ，是的切线，切点分别为，， 由切线长定理，得，，， ， ，即， ， ①，， ， ， ， ， ， 弦的“关联点”是，， 故答案为：和； ②． 理由：由，， 可知， ， ； 【小问2详解】 解：． 理由如下：，， ， ， 越大，越大；越小，越小； 以线段为例，如图： 当最大时，， 当最小时，， 改变线段的位置到，如图： 当由变为， ， ， 当由变为， ， ， ，， ， 当为水平线段时，如图： ，， ， ， ， 改变线段的位置到，如图： 过点作于点， 当由变为， ， ， 当由变为时， ， ， ，， ， 当为竖直线段时，如图： ，或， ， ， ， 综上，． 【点睛】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线长定理，相似三角形，勾股定理，准确理解“关联点”，能灵活运用线段与的等量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 57中九年级阶段性练习 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数解．则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 4. 如图，由正六边形和正三角形组成的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么代数式的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 如图，，切于A，B两点．连接，连接交于点C，若，，则的长为（ ） A. B. C. 8 D. 10 8. 小明近期计划阅读一本总页数不低于300页的名著，他制定的阅读计划如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 页数 15 20 15 10 20 40 30 若小明按照计划从星期开始连续阅读，10天后剩下的页数为，则与的图象可能为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（共16题，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 10. 分解因式：_______. 11. 如图，正方形，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2．则正方形的边长为______． 12. 在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值________． 13. 咖啡树种子的发芽能力会随着保存时间的增长而减弱．咖啡树种子保存到三个月时，发芽率约为95%；从三个月到五个月，发芽率会逐渐降到75%；从五个月到九个月，发芽率会逐渐降到25%．农科院记录了某批咖啡树种子的发芽情况，结果如下表所示： 种子数量 10 50 150 300 500 800 发芽数量 9 41 133 261 431 689 发芽率 0.9 0.82 0.887 0.87 0.862 0.861 据此推测，下面三个时间段中，这批咖啡树种子的保存时间是________（填“三个月内”“三至五个月”或“五至九个月”）． 14. 如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为________． 15. 如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则______． 16. 初三年级收到一批书籍放在图书馆，现需要把这批书籍整理到各班班级书架上，需要进行以下四个步骤：运回书籍、擦书架、查损坏、贴标签，志愿者分为甲、乙、丙三个小组完成任务，任务要求如下： ①运回书籍只能由甲小组完成，运回书籍完成后，才能进行其他三个步骤，这三个步骤可由任意小组完成并可同时进行． ②一个步骤只能由一个小组完成，此步骤完成后该小组才能进行其他步骤． ③每个班级每个步骤所需时间如下表所示： 步骤 运回书籍 擦书架 查损坏 贴标签 所需时间/分 9 7 6 4 在不考虑其他因素的前提下，若由甲小组单独完成1个班级的整理任务，则需要________分钟；若由甲、乙、丙合作完成4个班级的整理任务，则最少需要________分钟． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 下面是过直线外一点，作已知直线的平行线的两种方法．请选择一种作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成证明． 已知：如图，直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①在直线l上取两点A，B，连接； ②分别以点P，点B为圆心，的长为半径画弧，两弧在l上方交于点Q； ③作直线． 所以直线就是所求作的直线． 证明：连接． ________，________， 四边形是平行四边形 （________）（填推理的依据） （________） （填推理的依据） 20. 为防治污染，保护和改善生态环境，某汽车厂生产新型汽车，汽车尾气排放量要求如下：A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过．已知该型号汽车的A类比B两类物质排放量多．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合要求，并说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到，且经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 已知：如图，在四边形中，，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 23. 青少年的健康素质是全民族健康素质的基础． 某校为了解学生寒假参加体育锻炼的情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． a．七、八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下： b．九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长： 7，8，8，11，9，7，6，8 c．七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7．1 7 6，10 八年级 7 m n 九年级 p 8 8 根据所给信息，回答下列问题： （1）表中m的值是___________，n的值是___________，p的值是___________； （2）设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是，，，直接写出，，之间的大小关系___________（用“<”连接）； （3）估计全校九年级所有学生中，共有___________名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时． 24. 如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长． 25. 数学学习小组的同学共同探究体积为圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为，底面半径为，高为，则 ，① ，② 由①式得，代入②式得 ．③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是________． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为的圆柱形容器比半径为的圆柱形容器表面积________．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为，容器底面半径约为________（精确到0.1）． 26. 在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上． （1）当，时，比较m与n的大小，并说明理由； （2）若对于，都有，求b的取值范围． 27. 如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点． （1）求证： （2）若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”． （1）已知点． ①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______； ②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长； （2）已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $