精品解析：陕西省宝鸡市第一中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第三次学情调研测试（卷） 七年级数学 （时间120分钟 试题分值120分） 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 未来将是一个可以预见的时代，以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线被直线所截，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　）     A. 三角形的稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 5. 已知、、是的三边长，则( ) A. B. C. D. 6. 一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（ ） A. 面朝上的点数是2 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数小于2 D. 面朝上的点数大于2 7. 如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 9. 用科学记数法表示为______． 10. 已知，，则的值为________ 11. 若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为 _____ ． 12. 如图，在中，是的角平分线，，则点到的距离为_________． 13. 如图，在中，，，，是边上的中线，、分别是、上的动点，连接，，则的最小值是______． 三、解答题（共13小题，满分81分） 14. 计算: （1）； （2） 15. 简便计算： （1）； （2）． 16. 如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． （1）市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） （2）在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 17. 先化简，再求值： ，其中，． 18. 如图，直线相交于点O，过点O作，射线平分，． 求： （1）的度数； （2）的度数． 19. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 20. 一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共24个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍． （1）求摸出1个球是蓝色球的概率； （2）再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为 21. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 已知点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 23. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果请化简） （2）若a，b使代数式的值与x的取值无关，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 24. 如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 25. 已知，是一条角平分线． （1）【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点A作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（ ） ∴________， 又∵， ∴． （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角的平分线，与的延长线交于点．求证：． 26. 综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A. B. C. D. （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第三次学情调研测试（卷） 七年级数学 （时间120分钟 试题分值120分） 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 未来将是一个可以预见的时代，以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键． 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合．‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式，同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方，单项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项正确； D、，故D选项错误；   故选：C ． 3. 如图，直线被直线所截，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先证明，进而得到，邻补角求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 4. 如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（　　）     A. 三角形的稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，直线的性质，线段的性质，垂线段最短，关键是掌握三角形的稳定性． 由三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性， 故选：A． 5. 已知、、是的三边长，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、是的三边的长， ，，， 原式． 故选：A． 6. 一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（ ） A. 面朝上的点数是2 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数小于2 D. 面朝上的点数大于2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率大小，涉及简单概率公式，根据选项，逐项得到相应事件的概率，比较大小即可得到答案，熟练掌握事件概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：A、面朝上的点数是2的概率是； B、面朝上的点数是偶数的数有2、4、6，从而得到概率是； C、面朝上的点数小于2的数有1，从而得到其概率是； D、面朝上的点数大于2的数有3、4、5、6，从而得到概率是； ， 四个选项中可能性最大的是D， 故选：D． 7. 如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键． 根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得． 【详解】解：∵点是的中点， 的面积为， ∴， ∵点是的中点， ∴，同理可得， 同理可得，． 故选B． 8. 如图，在中，，角平分线与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据可对①进行判断；根据“”证明，可对②③④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形的角平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴，，故③④正确，符合题意； ∵点G不一定是的中点， ∴不能得出， ∴不能得出，故②错误，不合题意； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，邻补角的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 9. 用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法表示为：． 故答案为：． 10. 已知，，则的值为________ 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式， 先将原始整理为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 故答案为：16． 11. 若一个等腰三角形有一个内角为，则它的底角为 _____ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．分是等腰三角形的底角或顶角两种情况，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：①是等腰三角形的底角； ②当是等腰三角形的顶角时， 它的底角的度数为：，符合要求； 故答案为：或． 12. 如图，在中，是的角平分线，，则点到的距离为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】作于H，根据，求出，再由角平分线的性质即可解答． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴点D到的距离为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相是解题的关键． 13. 如图，在中，，，，是边上的中线，、分别是、上的动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间，线段最短等知识，将最小值转化为的长是解题的关键．连接，，由等腰三角形的性质可知：是的垂直平分线，得，则，即当点、、三点共线时，最小值为的长，利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：连接，， ，是中线， ，，， 是的垂直平分线， ， ，即当点、、三点共线时，最小值为的长， 时，最短， ， 最小值为：， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，满分81分） 14. 计算: （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，零次幂，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂相除，再合并同类项，即可作答． （2）先化简零次幂，负整数指数幂，乘方，再运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，有理数的乘方运算，熟练掌握相关知识是解决此题的关键． （1）将变为，再利用完全平方公式计算即可； （2）先变形为，然后利用平方差公式简算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 16. 如图，两条公路与相交于点，在的内部有两个小区与，现要在的内部修建一个市场，使市场到两条公路的距离相等，且到两个小区的距离相等． （1）市场应修建在什么位置？（请用文字加以说明） （2）在图中标出点的位置（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并写出结论）． 【答案】（1）的角平分线和线段的垂直平分线的交点处 （2） 点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了作图的应用与设计作图，正确掌握角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键，直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法即可得出答案． 【小问1详解】 解：点应修建在的角平分线和线段的垂直平分线的交点处； 【小问2详解】 略 17. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及完全平方公式、平方差公式和合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是关键； 先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，然后代值计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 18. 如图，直线相交于点O，过点O作，射线平分，． 求： （1）的度数； （2）的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查几何中角度的计算，有关角平分线的计算，垂线的定义，掌握其概念是解决此题关键． （1）根据角平分的定义和对顶角相等可得答案； （2）根据垂直的定义得，然后由角的和差关系可得答案． 【小问1详解】 解：∵射线平分，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 19. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）∵an=2，am+2n=12， ∴am+2n=am×（an）2=4am=12， 解得：am=3； （2）由（1）得： a2m-3n=（am）2÷（an）3 =32÷23 = 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键． 20. 一个不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共24个，它们除颜色外其他均相同，其中红色球有6个、黄色球的数量是蓝色球数量的2倍． （1）求摸出1个球是蓝色球的概率； （2）再往箱子中放入多少个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为 【答案】（1） （2）再往箱子里放入12个蓝色球，可以使摸出的1个蓝色球的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查概率的公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． （1）首先求得蓝色球的个数，然后利用概率公式求解即可； （2）设再往箱子里放入个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为，根据题意得，求得值即可． 【小问1详解】 解：蓝色球有（个， 所以（摸出一个球是蓝色球）； 【小问2详解】 解：设再往箱子里放入个蓝色球，可以使摸出1个蓝色球的概率为， 则 ， 解得，． 答：再往箱子里放入12个蓝色球，可以使摸出的1个蓝色球的概率为． 21. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据对顶角相等和已知条件可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质和已知条件可证明，则，再由平行线的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 已知点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ，即， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，平行线性质等．根据题意得，再利用平行线性质得，继而证明即可得到本题答案． 【详解】略 23. 如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． （1）求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果请化简） （2）若a，b使代数式的值与x的取值无关，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】（1）平方米 （2）4050元 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价数量总价进行计算即可． 【小问1详解】 解： 平方米； 【小问2详解】 解： ∵代数式的值与x的取值无关 ∴，， ∴ 元． 24. 如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即：， 长为． 25. 已知，是一条角平分线． （1）【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下： 过点作于点，于点，过点A作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴________．（ ） ∴________， 又∵， ∴． （2）【类比探究】如图2所示，若是的外角的平分线，与的延长线交于点．求证：． 【答案】（1），角平分线的性质， （2） 证明：如图2， 过点D作，交的延长线于点E，，交的延长线于点F， ∵是的外角平分线， ∴是的角平分线， ∴， ∴， 过点A作于点G， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质定理，三角形的面积公式： （1）先判断出，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2） 过点D作，交的延长线于点E，，交的延长线于点F，过点A作于点G；由角平分线的性质得，再利用三角形的面积公式即可得出结论；． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A. B. C. D. （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $