暑期综合提升测试01【范围：第四章 图形的相似 】-2025-2026学年北师大版九年级数学上册暑假提升试题

2025-2026学年北师大版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第四章 图形的相似综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或，那么线段c是线段a和b的比例中项”进行解答即可得． 本题主要考查比例中项的定义，熟练掌握比例中项的定义解题的关键． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（本题3分）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据合比性质求解即可． 本题主要考查了比例的基本性质和合比性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时除以， 得， ∴． 故选：B． 3．（本题3分）如图，在中，点，分别在，边上，且．若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题． 根据题意可以得到，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：，，， ，， ， ，故A说法正确，不符合题意； ， ∵， ∴， ∴，故B说法正确，不符合题意； ∵ ∴， 故C说法正确，不符合题意； ∵ ∴， 故D说法错误，符合题意； 故选：D． 4．（本题3分）如图，已知线段，，，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据点A、点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵将线段缩小后得到线段，点A的坐标为，点的坐标为， ∴线段与线段的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点的对应点的坐标为， 故选：A． 5．（本题3分）如图，在中，，，点为上一点，连接，沿折叠，点恰好落在点处，交于点，当时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质及三角形外角的性质得，，根据平行线的性质得，推出，继而得到，，证明得，代入数据即可得出结论． 【详解】解：∵沿折叠，点恰好落在点处，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 即的长为． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠的性质、相似三角形的判定和性质． 6．（本题3分）在的网格中，点A、B在格点处，线段与竖格线交于点C，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，根据“相似三角形对应边成比例”即可得解． 本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ， 又， ． ∴． 故选：B． 7．（本题3分）如图，在矩形内放置5个大小相同的正方形，且四个点分别在矩形的四条边上．要求的值，只要知道下面哪条线段的长？（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 如图：作于点M，则四边形、四边形都是矩形，所以，可证明，则，所以，则，所以只要知道线段的长，即可求出的值． 【详解】解：如图：作于点M，则，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， 设每个正方形的边长都是m，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要求的值，只要知道线段的长即可． 故选：A． 8．（本题3分）如图，在中，，F为上一点，M为线段上一点，作，交于点H，若，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设，则，延长交于点D，利用三角形相似的判定和性质解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 设，则， 如图，延长交于点D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（本题3分）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，即可得出，求出，进而可得出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D 10．（本题3分）如图，在平行四边形中，，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交边于点P，则的长度为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，根据角平分线的定义得到，根据平行四边形的性质得到，进而可得，即得是等边三角形，故，再证明，得到，根据即可求出答案． 【详解】解：由作图可知，平分， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的定义等知识． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，利用平行线证，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题3分）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．本题不妨令，根据黄金分割的定义先计算出，再计算出，然后利用进行计算． 【详解】解：如图， 是线段的两个黄金分割点，设， 根据题意得， 则， 所以． 故答案为：． 13．（本题3分）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，由条件可以得出 设，就有，设 ，根据相似三角形的性质就可以表示出，再根据，就可以求出与的数量关系，从而求出结论，解答时运用相似三角形的性质建立方程求解是关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠可知：与关于对称， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】作于点M，根据角平分线的性质得到，进而得到，根据等角对等边得到，证明，得到，证明，得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，作于点M， 由题意得，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴ ， ， ，， ∴ ，即， ， ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15．（本题3分）如图，已知，和相交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，利用相似三角形的性质可，再证明可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在中，点E，F分别在边，上，，，，的面积为12，则的面积是 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，的面积为12， ∴， ∴． 故答案为：75 17．（本题3分）如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上，则旗杆的高度为 ． 【答案】13.5 【分析】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得，从而得出的长即可． 【详解】解：过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， 经检验，是上述分式方程的解， ∴， 答：旗杆的高为． 18．（本题3分）如图，平行四边形中，E是上的一点，且，对角线，交于点O，交于F，交于G，如果平行四边形的面积为30，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，过A作于M，求出，证明，可得，同理证明，可得，然后进一步计算即可． 【详解】解：过A作于M，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，   ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 20．（本题9分）如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定； （1）根据正方形的性质可得，即可得出，进而证明； （2）设正方形的边长为，根据题意证明四边形是矩形，得出，则，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1），理由如下， ∵四边形是正方形 ∴，即 ∴； （2）设正方形的边长为， ∵是的高， ∴， ∵， ∴，即是的高 ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，则， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴正方形的边长为． 21．（本题9分）如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 （1）由与垂直，、为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2），理由为：由（1）中相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到，得比例，等量代换即可得证； 【详解】（1）证明∶、是的高， ， ，， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 22．（本题9分）如图，在中，E是的延长线上一点，与交于点F，． (1)求证：； (2)若的面积为2，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)16 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． （1）利用平行四边形的性质，得出关于三角形的两个内角相等即可； （2）根据平行四边形的性质得出，，根据求出相似比，根据相似求出面积，最后利用图形面积的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴, ∴四边形的面积为． 23．（本题9分）如图，在中，对角线，相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，菱形的性质和判定，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用等腰三角形性质得到，进而证明四边形为菱形，推出，再结合同角的余角相等，即可证明； （2）利用菱形的性质得到，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 即，解得， ． 24．（本题10分）已知：，，点是线段上任意一点（不含端点），点在射线上，且，连接，过点作交于点，连接． (1)如图1，①若，求的度数； ②试判断的度数是否变化？请说明理由；若不变，请求出它的度数； (2)若，当时，求的长度； (3)如图2，当时，求证：． 【答案】(1)①；②不变，，理由见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，中位线的性质与判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是作辅助线； （1）①根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理求得，在中，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而求得的度数； ②设，同①的方法，即可求解； （2）延长交于点，证明得出，进而可得是的中位线，根据中位线的性质，即可求解； （3）过点作于点交于点，根据三线合一可得，结合已知得出，进而证明是的中点，根据等腰直角三角形的性质可得，得出，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：①，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 的度数是；     ②的度数不变化，；理由如下： ，， ， ∴， ∴， 设， ， ， ， ， 的度数是； （2）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， （3）如图，过点作于点交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中点， 由（1）可得， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 25．（本题12分）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，． ①求证：； ②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据题意证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，设，则，勾股定理求出，进而得到，，然后代入求解即可； （3）①证明出，得到，然后结合，得到，进而求解即可； ②如图，连接，证明出B，E，F，在一条直线上，过P作于H，证明出，得到，，求出，，证明出，得到，代数求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，， ， ∴，即， 解得． ， ， ， ； （2）解：． 理由：四边形是平行四边形，， ，， ， ， 设，则． ， ． ， ， ， ， ． ， ， ； （3）①证明：四边形是平行四边形， ，， ， ∴， ， ， ， ； ②解：如图，连接， 由折叠得， ∵于点E， ∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H． 由折叠得，， 四边形是平行四边形， ， ， ． ，， ，， ， ． ，， ， ，即， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第2页，共29页 第1页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版九年级数学上册暑假单元专题提升测试 第四章 图形的相似综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，在中，点，分别在，边上，且．若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，已知线段，，，以原点为位似中心，将线段缩小后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，，点为上一点，连接，沿折叠，点恰好落在点处，交于点，当时，的长为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）在的网格中，点A、B在格点处，线段与竖格线交于点C，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在矩形内放置5个大小相同的正方形，且四个点分别在矩形的四条边上．要求的值，只要知道下面哪条线段的长？（    ）    A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在中，，F为上一点，M为线段上一点，作，交于点H，若，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 9．（本题3分）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 10．（本题3分）如图，在平行四边形中，，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点O，交边于点P，则的长度为（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，那么 ． 12．（本题3分）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为 ． 13．（本题3分）如图，将等边三角形纸片折叠，使点A落在边上的D处，为折痕，若，则 ． 14．（本题3分）如图，在中，，，，于点D，平分交于点F，交于点E，则线段的长为 ． 15．（本题3分）如图，已知，和相交于点，，则 ． 16．（本题3分）如图，在中，点E，F分别在边，上，，，，的面积为12，则的面积是 ． 17．（本题3分）如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆CD的水平距离，人的眼睛E、标杆顶点C和旗杆顶点A在同一直线上，则旗杆的高度为 ． 18．（本题3分）如图，平行四边形中，E是上的一点，且，对角线，交于点O，交于F，交于G，如果平行四边形的面积为30，那么的面积为 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 20．（本题9分）如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形． (1)与相似吗？为什么？ (2)求正方形的边长． 21．（本题9分）如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 22．（本题9分）如图，在中，E是的延长线上一点，与交于点F，． (1)求证：； (2)若的面积为2，求四边形的面积． 23．（本题9分）如图，在中，对角线，相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（本题10分）已知：，，点是线段上任意一点（不含端点），点在射线上，且，连接，过点作交于点，连接． (1)如图1，①若，求的度数； ②试判断的度数是否变化？请说明理由；若不变，请求出它的度数； (2)若，当时，求的长度； (3)如图2，当时，求证：． 25．（本题12分）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，． ①求证：； ②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 第8页，共8页 第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$