第二章《一元二次方程》单元检测2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章《一元二次方程》—2025-2026学年北师大版数学九年级上册单元 培优检测 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（　　） A． B． C． D． 2．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．设是一元二次方程的两根，则（　　） A．2 B． C． D．10 4．关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（　　） A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1 6．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　）． A． B． C． D． 7．某公司今年月的营业额为万元，按计划第四季度的总营业额要达到万元，求该公司，两个月营业额的月平均增长率．设该公司，两个月营业额的月平均增长率为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知m、n、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程 ﹣6x+k+2=0的两个根，则k的值等于(　　) A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6 9．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（　　） A． B． C．或1 D．或4 10．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1.小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若，是一元二次方程的两个根，则　 　． 12．已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 　 　． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　． 14．对于实数a，b，定义运算“ ”， 例如 ，因为 ，所以 .若 是一元二次方程 的两个根，则 　 　. 15．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=　 　 ． 16．在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，若假设参加聚会小朋友的人数为x人，则根据题意可列方程为　 　. 三、解答题（共7题，共72分） 17． 解下列方程： （1）用配方法解一元二次方程：； （2）用因式分解法解方程； （3）用公式法解方程； （4）用合适的方法解方程． 18．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值． 19．已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长． 20．2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件． （1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率； （2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进 价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？ 21．已知关于x的一元二次方程 . （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 ， ，且 ，求m的值. 22．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 23． 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值． 解：． 因为不论取何值，总是非负数，即． 所以． 所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：　 　　 　． （2）将变形为的形式，并求出的最小值． （3）如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为；如图所示的第二个长方形边长分别是、，面积为试比较与的大小，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】 12．【答案】1 13．【答案】 14．【答案】0 15．【答案】﹣2　 16．【答案】x（x-1）=110 17．【答案】（1）解：， ， ，即， ， ，； （2）解：， ， 则， 或， 解得，； （3）解：，，， ， 则， ，； （4）解：， ， ，，， ， 则， 即，． 18．【答案】（1）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 19．【答案】（1）证明：∵， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当时，，方程为， 解得：， 此时三边长为，周长为； 当或时，把代入方程得：， 解得：，此时方程为：， 解得：， 此时三边长为不能组成三角形， 综上所述，的周长为 20．【答案】（1）解：设月平均增长率为x，根据题意，得，解得，（舍去）．所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％； （2）解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得，解得，．因为要使销售量尽可能大，所以．所以每件商品的售价应该定为110元． 21．【答案】（1）证明：∵ ，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：∵ ，方程的两实根为 ， ，且 ，∴ ， ，∴ ，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2 22．【答案】（1）解：过点P作 于E， 设x秒后，点P和点Q的距离是 ． ， ∴ ， ； ∴经过 或 ，P、Q两点之间的距离是 ； （2）解：连接 ．设经过 后△PBQ的面积为 ． ①当 时， ， ∴ ，即 ， 解得 ； ②当 时， ， 则 ， 解得 （舍去）； ③ 时， ， 则 ， 解得 （舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒， 的面积为 ． 23．【答案】（1）； （2）解：， 的最小值为； （3）解：， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$