暑期综合提升测试01【范围：第五章 二元一次方程组】-2025-2026学年八年级数学上册暑假提升试题（北师大版2024）

2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（北师大版2024） 第五章 二元一次方程组综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列4组数值中，是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程的一个解是，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．1 3．（本题3分）已知是方程组的解，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 4．（本题3分）萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 6．（本题3分）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．（本题3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于 的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 9．（本题3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒x瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形（空白部分），则图中阴影部分的面积为（   ） A．60 B．55 C．58 D．62 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知二元一次方程组 ，则的值为 ． 12．（本题3分）若，则在第 象限． 13．（本题3分）已知，则 ． 14．（本题3分）已知是方程的一个解，那么a的值是 ． 15．（本题3分）已知方程组的解是，则的解是 ． 16．（本题3分）某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 17．（本题3分）已知关于的方程组和有相同的解，那么 ． 18．（本题3分）若是关于x， y的二元一次方程，则 ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程组： (1) (2) 20．（本题9分）4月30日，我校举行了“我把世界读给你听——易书雅集”活动，某同学同时购进A，B两类图书，已知购进2本A类图书和3本B类图书共需35元；购进3本A类图书和4本B类图书共需50元． (1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)如果该同学计划购买5个文创产品和若干书签（大于5件）送给班上同学，甲商店推出优惠方式如下：购买一件文创产品送一个书签，超出部分均按原价售卖；乙商店推出优惠方式如下：文创产品与书签均打九折出售，已知文创产品售价为10元/件，书签的售价为2元/个，如果你是这位同学，你会去哪家商店采购，并说明理由． 21．（本题9分）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 22．（本题9分）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 23．（本题9分）国产芯片经过多年的发展，已经逐渐走出了一条属于自己的道路：近年来；国产芯片制造商已经推出了7纳米和5纳米的芯片，可以说，在制程技术的发展上；中国芯片制造商已经取得了非常显著的进展．现有甲、乙两个工厂同时加工一批芯片，两厂每天加工的速度保持不变，合作一段时间后，乙厂因设备维修停工，甲厂单独完成了剩下的任务．甲、乙两厂加工芯片的总数量与甲厂加工时间的关系如图所示． (1)甲工厂比乙工厂多加工了________天； (2)求乙工厂停工后y与x之间的函数关系式； (3)第5天完成任务之后，通过计算说明甲、乙两个工厂哪个加工的芯片多． 24．（本题10分）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形． (1)图2中间阴影小正方形的边长为_____； (2)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为_____； (3)求每个小长方形的面积． 25．（本题12分）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)为第二象限内的直线上一点，且，求点的坐标． 第6页，共7页 第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上册暑假单元专题提升测试（北师大版2024） 第五章 二元一次方程组综合提升测试 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列4组数值中，是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，把各选项的数值分别代入方程验证即可． 【详解】解：A、把代入方程，左边右边， ∴是二元一次方程的解； B、把代入方程，左边右边， ∴不是二元一次方程的解； C、把代入方程，左边右边， ∴不是二元一次方程的解； D、把代入方程，左边右边， ∴不是二元一次方程的解． 故选：A． 2．已知方程的一个解是，则m的值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题主要考查了解二元一次方程的解．直接把代入可得答案． 【详解】解：方程的一个解是， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（本题3分）已知是方程组的解，则的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解，解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组的解的概念，先得到二元一次方程组，再利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：是方程组的解， ， 解得， ， 故选：B． 4．（本题3分）萌萌用8个相同的小长方形拼成图1那样的大长方形，小红用它们七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每个小长方形的长为，宽为，根据拼图，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ， 则每个小长方形的面积为． 故选：D． 5．（本题3分）已知关于x，y的方程组和有相同的解，那么值是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和有相同的解， ∴， 两式相加，得 解得 把代入，得 解得 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得 整理得 得 解得 把代入得 解得 ∴． 故选：D． 6．（本题3分）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的整体代入求法，掌握求法是解题的关键． 将①②，整体代入求解即可． 【详解】解： ， ①②得：， ∴， ， ， 解得：． 故选：A． 7．（本题3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，列出方程组即可． 【详解】解：设有客房x间，客人y人，由题意，得：； 故选D． 8．（本题3分）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于 的二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系．观察图象得：一次函数 和 的图象交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ， ∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即， 故答案为：C． 9．（本题3分）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒x瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组，解本题的关键是审题列出方程，设醇酒有瓶，薄酒有瓶；根据醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，建立二元一次方程组即可． 【详解】解：设有醇酒瓶，薄酒瓶， 根据题意得：， 故选：A． 10．（本题3分）如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形（空白部分），则图中阴影部分的面积为（   ） A．60 B．55 C．58 D．62 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）已知二元一次方程组 ，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法，根据方程组的特点，两式相加得出，进而得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解： 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（本题3分）若，则在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性，判断点所在的象限，二元一次方程组的求解，根据非负性列出二元一次方程组求出x，y的值，再判断点所在的象限即可． 【详解】解：，且， ，， ， 解得：，， 则在第二象限， 故答案为：二． 13．（本题3分）已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，代数式求值，解答此题的关键是注意观察方程组的两个方程和所求的代数式之间的关系． 首先把方程组中的两个方程的左右两边分别相加，可得；然后整体代入计算即可． 【详解】解：， 由得， ∴ 故答案为：． 14．（本题3分）已知是方程的一个解，那么a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次方程．将代入方程，化为a的一元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得． 故答案为：4． 15．（本题3分）已知方程组的解是，则的解是 ． 【答案】 【分析】本题考査了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 16．（本题3分）某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元． 【答案】32 【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可． 【详解】解：设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得：， ∴； ∴购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需32元； 故答案为：32． 17．（本题3分）已知关于的方程组和有相同的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法．根据方程组和有相同的解，得出方程组的解即为它们的相同解，然后解方程组即可求得，，再分别代入和得：，解关于a、b的方程，求出a、b的值，代入得出答案即可． 【详解】解：由题意得：， 得：③， 得：， 把代入②得：， 方程组的解为：； 把分别代入和得：， 得：， 得：， 把代入得：， ． 故答案为：． 18．（本题3分）若是关于x， y的二元一次方程，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的定义求出参数的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：由二元一次方程的定义得， ，且，； ∴，， ∴， 故答案为：0． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）解方程组： (1) (2) 【答案】(1)． (2)． 【分析】此题考查解二元一次方程组，正确掌握解法是解题的关键： （1）利用加减法求方程组的解； （2）利用加减法求方程组的解． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 得， ∴方程组的解为； （2）解：， 化简得：， 得：， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为． 20．（本题9分）4月30日，我校举行了“我把世界读给你听——易书雅集”活动，某同学同时购进A，B两类图书，已知购进2本A类图书和3本B类图书共需35元；购进3本A类图书和4本B类图书共需50元． (1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？ (2)如果该同学计划购买5个文创产品和若干书签（大于5件）送给班上同学，甲商店推出优惠方式如下：购买一件文创产品送一个书签，超出部分均按原价售卖；乙商店推出优惠方式如下：文创产品与书签均打九折出售，已知文创产品售价为10元/件，书签的售价为2元/个，如果你是这位同学，你会去哪家商店采购，并说明理由． 【答案】(1)A类图书每本的进价是10元，B类图书每本的进价是5元 (2)当购买书签25个时，去甲、乙两商店采购费用相同；当购买书签超过25个时，去乙商店采购；当购买书签少于25个时，去甲商店采购 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及方案选择，掌握二元一次方程组的解法以及分类讨论思想是解本题的关键． （1）设A类图书每本的进价是元，B类图书每本的进价是元，根据已知条件列出二元一次方程组，求解方程组得到两类图书的进价； （2）设购买书签a个，分别表示出在甲、乙两商店的费用，然后分情况讨论，比较两商店费用大小，从而确定采购商店． 【详解】（1）解：设A类图书每本的进价是元，B类图书每本的进价是元， 根据题意，得， 得：， 将代入得：， 故方程组的解为， 答：A类图书每本的进价是10元，B类图书每本的进价是5元． （2）解：设购买书签a个， 则， ， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 答：当购买书签25个时，去甲、乙两商店采购费用相同；当购买书签超过25个时，去乙商店采购；当购买书签少于25个时，去甲商店采购． 21．（本题9分）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】1 【分析】此题考查同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． 因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．最后求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， ∴． 22．（本题9分）在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题． 【类比观察】（1）求下列方程组的解 方程组的解为：________； 方程组的解为：________； 【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________； 【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1）；；（2）相同；相同；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法． （1）用加减消元法求出方程组的解即可； （2）根据方程组的解得出规律即可； （3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； ， 得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同； （3）∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足：， 解得：； 23．（本题9分）国产芯片经过多年的发展，已经逐渐走出了一条属于自己的道路：近年来；国产芯片制造商已经推出了7纳米和5纳米的芯片，可以说，在制程技术的发展上；中国芯片制造商已经取得了非常显著的进展．现有甲、乙两个工厂同时加工一批芯片，两厂每天加工的速度保持不变，合作一段时间后，乙厂因设备维修停工，甲厂单独完成了剩下的任务．甲、乙两厂加工芯片的总数量与甲厂加工时间的关系如图所示． (1)甲工厂比乙工厂多加工了________天； (2)求乙工厂停工后y与x之间的函数关系式； (3)第5天完成任务之后，通过计算说明甲、乙两个工厂哪个加工的芯片多． 【答案】(1)2 (2) (3)甲工厂加工的芯片多 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由图象直接可得答案； （2）用待定系数法可得答案； （3）分别求出两个工厂生产的芯片数量，即可得到答案． 【详解】（1）∵（天）， ∴甲比乙多加工了2天； 故答案为：2； （2）设， 把，代入得：， 解得， ∴乙停工后y与x的函数关系式为； （3）甲每天加工（万片），合作每天加工（万片）， 乙每天加工（万片）， 甲一共加工芯片（万片），乙一共加工芯片（万片）， 甲生产的芯片多． 24．（本题10分）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形． (1)图2中间阴影小正方形的边长为_____； (2)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为_____； (3)求每个小长方形的面积． 【答案】(1)3 (2)，； (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合平方根的定义求解即可； （2）根据设每个小长方形的长为，宽为，根据长方形对边相等列二元一次方程组求解即可． （3）求出、，即可得出每个小长方形的面积. 【详解】（1）解：设阴影小正方形的边长为，依题意得： ，解得：，（负值不合题意已经舍去） （2）设每个小长方形的长为，宽为， 则由图1可列二元一次方程为， 由图2可列二元一次方程为. （3）设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形面积为． 25．（本题12分）如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由； (3)为第二象限内的直线上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）由待定系数法直接求解即可得到答案； （2）先求出两条直线的交点，设，由，数形结合，代值求解即可得到答案； （3）过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点，由全等三角形判定得到，求出、，由待定系数法确定函数表达式，联立求解即可得到答案． 【详解】（1）解：直线经过点，， 把点，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：存在， 联立，解得， ∴， 设， ∵直线与轴交于点， ∴当时，，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或； （3）解：过点作交于点，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点，如图所示： ，， ， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设直线， 将、代入可得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、一次函数与三角形面积问题、一次函数图象与性质、绝对值方程、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、求直线交点坐标等问题，熟记一次函数图象与性质、待定系数法求函数表达式、一次函数与几何综合问题的解法是解决问题的关键． 第16页，共18页 第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$