精品解析：广西河池市东兰县国清中学2024～2025学年八年级下学期第二次月考数学试题

2025年春季学期学业水平质量阶段监测（三） 八年级数学（RJ） （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，学生务必将姓名、学校、准考证号填写在答题卡上． 2．学生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 2、3、4 C. 5、12、14 D. 、2、 3. 当时，的函数值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为（ ） A. 3时 B. 6时 C. 9时 D. 12时 5. 半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（ ） A. 常量是2；变量是C，π，r B. 常量是2π；变量是C，r C. 常量是2π；变量是r D. 常量是2；变量是C，r 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（ ） A. B. 6 C. 36 D. 64 8. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分 10. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 11. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 12. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长都为2．若正方形A1B1C1O绕点O转动，则两个正方形重叠部分的面积为（　　） A. 16 B. 4 C. 1 D. 2 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4题，每小题3分，共12分．） 13. 函数中，自变量的取值范围是______． 14. 河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系： 行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 … 则该汽车每行驶100千米的耗油量为 _____升． 15. 如图，在中，点是的中点，连接，，则的度数为______ 16. 已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．以为边在第一象限内作三角形，且，，作的中垂线交直线于点，交轴于点G．设上有一点，且点与点位于直线的同侧，使得，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）； （2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形 20. 在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一直线上），并修建一条路，测得，，． （1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． （2）求新路比原来的路少多少米？ 21. 李华对“水沸腾时温度变化情况”进行实验探究，实验装置如图①所示． 【观察测量】当水温达到时开始计时，并每隔记录一次温度，下面是水沸腾过程中的温度变化情况： 时间 0 1 2 3 4 … 温度 86 88 90 92 94 … 【探究发现】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示时间，纵轴表示温度，请描出以表格中数据为坐标的点并连线； （2）通过实验分析，温度y与时间x之间是否满足一次函数关系，若满足，求出函数解析式； 【解决问题】 （3）当温度达到时水会沸腾，请通过计算估计从计时开始多久后水沸腾． 22. 剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 23. 综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． 【拓展应用】 （3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究： 如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期学业水平质量阶段监测（三） 八年级数学（RJ） （时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，学生务必将姓名、学校、准考证号填写在答题卡上． 2．学生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可. 【详解】A. =3，故不是最简二次根式； B. =，故不是最简二次根式； C. ，是最简二次根式； D. =，故不是最简二次根式； 故选C. 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式. 2. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 2、3、4 C. 5、12、14 D. 、2、 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形．”是解题的关键． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 3. 当时，的函数值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】解：当时，的函数值为， 故选：B． 4. 如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为（ ） A. 3时 B. 6时 C. 9时 D. 12时 【答案】C 【解析】 【分析】分析图象的变化趋势和位置的高低，即可求出答案． 【详解】解：∵ 观察小颖0到12时的心跳速度变化图，可知大约在9时图象的位置最高， ∴在0到12时内心跳速度最快的时刻约为9时， 故选：C 【点睛】此题考查了函数图象，由纵坐标看出心跳速度，横坐标看出时间是解题的关键． 5. 半径为r的圆的周长公式为，则常量和变量分别是（ ） A. 常量是2；变量是C，π，r B. 常量是2π；变量是C，r C. 常量是2π；变量是r D. 常量是2；变量是C，r 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，理解常量，变量的定义是解题的关键． 根据变量和常量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量． 在圆的周长公式中，周长随半径的变化而变化，而和是固定值． 【详解】解：圆的周长公式为，其中表示周长，表示半径． 当半径变化时，周长也随之变化，因此和是变量． 公式中的和是固定不变的常数，属于常量． 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题的关键．利用二次根式的加、减、乘、除运算法则逐一对选项进行判断即可． 【详解】解：A中，和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，故不符合题意； B中，，故选项错误，故不符合题意； C中，，故选项错误，故不符合题意； D中，，故选项正确，故符合题意； 故选：D． 7. 1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图片中间是三个正方形顶点相连构成一个三角形．如图2，若中间的三角形为直角三角形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（ ） A. B. 6 C. 36 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．据勾股定理可得：，然后利用正方形的面积公式可得：以为边长的正方形面积以为边长的正方形面积以为边长的正方形的面积，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， ∴以为边长的正方形面积以为边长的正方形面积以为边长的正方形的面积， ∵, 正方形A的边长为, 故选：A． 8. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵由题意可知CF是∠BCD的平分线， ∴∠BCE=∠DCE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD， ∴∠DCE=∠E， ∴∠BCE=∠AEC， ∴BE=BC=3， ∵AB=2， ∴AE=BE-AB=1， 故选B． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 9. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 矩形的对角线相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、矩形的对角线相等，正确，是真命题，不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、特殊的平行四边形的判定及性质． 10. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 同理可证：， ，即， 平行四边形是矩形． 11. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数图像可得：当时，，即.故选D 考点：一次函数与不等式 12. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，且这两个正方形的边长都为2．若正方形A1B1C1O绕点O转动，则两个正方形重叠部分的面积为（　　） A. 16 B. 4 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】在正方形ABCD中，OA=OB，∠OAE=∠OBF=45°， ∵∠AOE+∠BOE=90°，∠BOF+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠BOF， 在△AOE与△BOF中， ， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， 则四边形OEBF的面积 =S△BOE+S△BOF= S△BOE +S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD==1. 故选C. 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共4题，每小题3分，共12分．） 13. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”，列不等式即可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数；④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 14. 河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关系： 行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 … 剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 … 则该汽车每行驶100千米的耗油量为 _____升． 【答案】10 【解析】 【分析】根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式即可． 【详解】解：根据表格中两个变量的变化关系可知， 行驶路程每增加50千米，剩余油量就减少5升， 所以行驶路程每增加100千米，剩余油量就减少10升， 故答案为：10． 【点睛】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答的前提． 15. 如图，在中，点是的中点，连接，，则的度数为______ 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查在直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意得到，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，点是的中点， ， ， ， 故答案为：． 16. 已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．以为边在第一象限内作三角形，且，，作的中垂线交直线于点，交轴于点G．设上有一点，且点与点位于直线的同侧，使得，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出、两点的坐标，根据是的中垂线，则点，当时，，即点，故可得出的长；设，求出的面积，由，得到，即可求解； 【详解】解：如图， 是的中垂线， 点， 当时，即， 设 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，涉及到三角形全等、中垂线的性质、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先根据二次根式的性质和二次根式乘法运算法则计算，再减法运算即可求解； （2）先计算绝对值、二次根式化简、乘方运算，再加减运算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化．，先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，四边形是平行四边形． （1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）； （2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图：设与交于点， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可； （2）设与交于点，证明，得到，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键． 20. 在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在同一直线上），并修建一条路，测得，，． （1）问是否为从村庄到河边最近的路？请通过计算加以说明． （2）求新路比原来的路少多少米？ 【答案】（1） 解：∵，，， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴是从村庄到河边最近的路； （2）新路比原来的路少245米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则．在中根据勾股定理求出的长即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则． ∵， ， ∴，即， 解得：． ， ， ， 即新路比原来的路少245米． 21. 李华对“水沸腾时温度变化情况”进行实验探究，实验装置如图①所示． 【观察测量】当水温达到时开始计时，并每隔记录一次温度，下面是水沸腾过程中的温度变化情况： 时间 0 1 2 3 4 … 温度 86 88 90 92 94 … 【探究发现】 （1）建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示时间，纵轴表示温度，请描出以表格中数据为坐标的点并连线； （2）通过实验分析，温度y与时间x之间是否满足一次函数关系，若满足，求出函数解析式； 【解决问题】 （3）当温度达到时水会沸腾，请通过计算估计从计时开始多久后水沸腾． 【答案】 （1）函数图象如图所示： （2）； （3）从计时开始7分钟后水开始沸腾 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的画法，解析式的确定，根据解析式求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据表格数据，描点、连线可得图象； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据（2）中函数的解析式，计算时的自变量的值即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）由图表可得，该函数是一次函数， 设函数表达式为， 把点，代入得， 解得 ∴y与x之间的函数表达式为； （3）解：令，则， 解得， ∴从计时开始7分钟后水开始沸腾． 22. 剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． （1）求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ （2）设购进甲种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，求与之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套．该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】（1）甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元 （2） （3）购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数图象性质是解题的关键． （1）设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元，根据购进3套甲种剪纸和2套乙种剪纸共需230元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元，列方程组，解方程组即可； （2）购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套，总费用y元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则，即，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设则甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种剪纸装饰套装单价为50元，乙种剪纸装饰套装单价为40元． 【小问2详解】 解：由题可知，购进甲种剪纸套，则购进乙种剪纸套， 根据题意，得， 即， ∴与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 ，即， ∵， ∴随的增大而增大， ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元， ∴，即， 解得， ∴， ∵为非负整数， ∴当时，取最大值，（元）， 此时套， 答：购进甲种剪纸40套，乙种剪纸20套时，所获利润最大，最大利润为800元． 23. 综合与实践活动课上，师生们以“利用正方形和矩形纸片折叠特殊角”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）小明利用正方形纸片进行折叠，过程如下： 步骤一如图1，对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；步骤二连接，．请判定的形状，并说明理由． 【迁移探究】 （2）小华利用矩形纸片进行折叠，过程如下：如图2，先类似小明的步骤一，得到折痕后把纸片展平；在上选一点P，沿折叠，使点B恰好落在折痕上的一点M处，连接．小华得出的结论是：．请你帮助小华说明理由． 【拓展应用】 （3）小敏受小华的启发，打算继续利用矩形纸片进行探究： 如图3，在矩形中，，．点P为上的一点（不与B点重合，可以与C点重合），将沿着折叠，点B的对应点为M落在矩形的内部，连接，当为等腰三角形时，求BP的长． 【答案】（1）等腰三角形； （2）证明：如图2，由折叠可知：，，， 中，取的中点，连接，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， 由折叠性质得， ． （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，是的垂直平分线，可得是等腰三角形； （2）由折叠得到：，，中，取的中点，连接，利用直角三角形斜边中线性质得到，进而证明为等边三角形得到，由折叠性质可证得结论； （3）由折叠的性质和勾股定理分类讨论，求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知，是的垂直平分线， ， 是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． （2）略 （3）如图①，若， 由折叠可知， ∵， ∴此种情况不存在； 如图②，若，则在的垂直平分线上， 过点作于点，的延长线交于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设的长为，则，， ∴在中，可有， 即， 解得， 即的长为； 如图③，若，过点作于点，的延长线交于点，则有， 由，得， 解得， ∴， 设的长为，在中，有， 即， 解得， 即的长为：． 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $