精品解析：广东省河源市龙川第一实验学校2024-2025学年下学期3月月考九年级数学试题

2024-2025年度龙川第一实验学校月练三 九年级数学 满分：120分 一．选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 记者查阅广东省统计局公布的数据显示2024年广东新出生人口113万人，比上一年增加了10万人，居全国第一．数据113万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点O在直线上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与交于A，B两点，若，则的大小为（　　） A B. C. D. 6. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 C. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃 D. 不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球是黄球 7. 如图，内接于，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A B. C. D. 9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 写出不等式一个整数解：_____． 12. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是______． 13. 若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为_____． 14. 已知为整式，若计算的结果为，则_____． 15. 如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 三．解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，P是外一点，与相切，切点为，画出另一条切线PB，切点为B，小云的画法是： ①连接，过点画出的垂线交于点； ②画出直线．直线即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接、， ，， 垂直平分，． _____， _____， ， 是的切线，为切点， ． ， ， 于点． 是的半径， 是的切线． 18. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 四．解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 ； （2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ （3）某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式； （2）求矩形实验田的面积的最大值和此时的值． 21. 如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 五．解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度龙川第一实验学校月练三 九年级数学 满分：120分 一．选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数加法运算，根据有理数的加法法则计算即可，掌握“异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值”是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．解题的关键是理解轴对称图形（沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合）和中心对称图形（绕某一点旋转后能与自身重合）的定义，并据此对图形进行判断． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对每个选项依次分析：判断图形是否沿某条直线折叠后两旁部分能重合（轴对称），以及是否绕某点旋转后能与自身重合（中心对称），选出同时满足两个条件的图形． 【详解】解：轴对称图形是指沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后，能与自身重合的图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是轴对称图形，绕任意点旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形． 选项仅是中心对称图形，不存在一条直线使图形沿其折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形． 选项沿某条直线折叠后两旁部分能完全重合，是轴对称图形；绕某点旋转后能与自身重合，是中心对称图形，符合条件． 故选：D． 3. 记者查阅广东省统计局公布的数据显示2024年广东新出生人口113万人，比上一年增加了10万人，居全国第一．数据113万用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．解题的关键是掌握科学记数法的定义：把一个大于的数表示成的形式（其中是正整数），以及正确确定a和n的值． 先将万转化为具体数字；根据科学记数法规则，确定a为（满足），再数出原数的整数位数，减去1得到，从而得出万用科学记数法的表示形式，再与选项对比即可． 【详解】解：万即． 科学记数法的表示形式为，其中为整数． 将用科学记数法表示时，，原数整数位数是7，所以， 即． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方及二次根式的性质，解题关键是熟练掌握相关运算法则．根据法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算正确，符合题意； D、，选项直接写成a，计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，，点O在直线上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与交于A，B两点，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，求出是解题关键．先求出，然后根据对顶角相等即可得出． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 C. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃 D. 不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球是黄球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识．解题的关键是从折线统计图中获取频率的稳定值，再结合各选项中事件的理论概率进行匹配，选出频率稳定值与理论概率最接近的选项． 观察折线统计图，可知随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在左右；分别计算各选项事件的理论概率，A选项概率为，B选项为，C选项为，D选项为，选出理论概率与频率稳定值最接近的选项． 【详解】解：由折线统计图可知，随着试验次数的增加，该结果出现的频率逐渐稳定在0.33左右． 选项A：在“石头、剪刀、布”游戏中，随机出“剪刀”的概率为，与频率稳定值接近． 选项B：掷正六面体骰子，向上点数是4的概率为，与频率稳定值差距较大． 选项C：随机抽一张扑克牌花色是红桃的概率为，与频率稳定值有差距． 选项D：随机摸出黄球的概率为，与频率稳定值差距较大． 故选：A． 7. 如图，内接于，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理及弧长公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数．连接，，根据圆周角定理求出圆心角，求出，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， ，， ， 劣弧的长为， 故选：A． 8. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数判断此函数图象所在的象限，再根据判断出，所在的象限即可得到答案． 【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限，而， ∴点在第三象限反比例函数的图象上， 在第一象限反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 9. 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 10. 如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 写出不等式的一个整数解：_____． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键． 按照移项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，由此即可得． 【详解】解：， 移项、合并同类项得：， 所以写出不等式的一个整数解为：2， 故答案为：2（答案不唯一）． 12. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是______． 【答案】158 【解析】 【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可． 【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158， ∴中位数是158， 故答案为：158． 13. 若关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程，理解方程的解满足方程是解答的关键．将代入方程中求得c值，再解方程即可求得方程的另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴， 解得， ∴方程为， 解得，， 则方程的另一个根为3， 故答案为：3． 14. 已知为整式，若计算的结果为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，故，从而．本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质． 详解】解：， ， ， ， ， ； 故答案为： 15. 如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 三．解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式、负整数指数幂、绝对值，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 17. 如图，P是外一点，与相切，切点为，画出的另一条切线PB，切点为B，小云的画法是： ①连接，过点画出的垂线交于点； ②画出直线．直线即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接、， ，， 垂直平分，． _____， _____， ， 是的切线，为切点， ． ， ， 于点． 是的半径， 是的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，切线的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据要求作出图形即可； （2）由题意可得垂直平分，从而可得，由等边对等角可得，，即可推出，再由切线的性质得出，即可得解． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 证明：连接、， ，， 垂直平分，． ， ， ， 是的切线，为切点， ． ， ， 于点． 是的半径， 是的切线． 18. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到）.参考数据：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点E作于，则，，由题意可得，，，， 解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点E作于，则，，由题意可得，，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴在，， ∴， ∴． 四．解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）： 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 ； （2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？ （3）某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）100，25 （2）150 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是： （1）用“体育类”人数除以所占百分比求出被调查人数，用总人数乘以“艺术类”所占百分比即可； （2）用1000乘以“阅读类”所占百分比即可； （3）画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：本次共调查学生人数为， 喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是， 故答案为：100，25； 【小问2详解】 解：， 答：大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动； 【小问3详解】 解：画树状图，如下 共有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4， ∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为． 20. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数解析式； （2）求矩形实验田的面积的最大值和此时的值． 【答案】（1）， （2）当时，有最大值 【解析】 【分析】（1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将与的函数配成顶点式，先求出的取值范围，求出的最大值． 本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵某校劳动实践基地用总长为的栅栏，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：m），面积为（单位：） ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 当时，有最大值． 21. 如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． （1）求证：； （2）设，垂足为M，若，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． 【小问2详解】 由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 五．解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为；； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值； 此时； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $