精品解析：福建省龙海第一中学2025-2026学年九年级下学期第二阶段测试数学试卷

2025-2026学年龙海一中九年级下学期第二阶段测试 数学试卷 试题满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出四个选项中，仅一项符合题目要求． 1. 下列数字中最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 数学的抽象美、对称美、简洁美不仅是神奇的大自然形态的展现，更是艺术美和数学公式的融合．它们揭示了世界的秩序与和谐，同时也激发了人们对数学和自然之美的无限遐想．下列神奇数学曲线的曼妙身姿中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若 在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 某组合体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从，0，1，2这四个数中任取两个不同的数，则这两个数之和为负数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在反比例函数 的图象上，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，其中 为直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与x轴交于 C，D两点，其中．若，则b的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解： _______． 12. 方程 的解为_______． 13. 如图，在中，，点D为边的中点，且，则____________度． 14. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 某烘焙社团招募新成员，测试项目包括配方掌握、实操烘焙、创意装饰，规定三项成绩依次按 的比例计入总成绩．某成员这三项的测试得分分别为 90分，92分，88分，则该成员的总成绩为________分． 16. 智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜发生形变，带动内部可变电阻R阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值．已知该可变电阻R（单位：欧）与手腕施加的压力F（单位：牛）之间的关系为一次函数，当牛时，欧；当牛时，欧．当可变电阻R为60欧时，对应手腕施加的压力F为______牛． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 如图，在中，点D是边上一点，连接 并延长至点C，连接．若求证：． 19. 先化简，再求值： 其中 20. 为培养学生的阅读习惯，某中学在学校开展了“品读中国古典名著，传承中华优秀传统文化”读书竞答活动．学校团委为了解此次活动效果，随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） 抽取学生成绩的扇形统计图 抽取学生成绩的频数分布直方图 （1）表中 ，并补全频数分布直方图； （2）抽取的这部分学生成绩的中位数位于 组； （3）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数； （4）该校有名学生参加此次活动，请估计参加此次活动的学生中成绩优秀（）的人数． 21. 如图，为等边三角形，点E在边上，连接，作于点D，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为点C，F，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）延长交于点G，求证：． 22. 如图，已知的半径为2，为 的直径，与 相切于点A． （1）请用尺规作图的方法，作的内接正方形；（要求：点A，B，C，D按顺时针方向在上，保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交射线于点 E，连接，交 于点 F，求 的面积． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点，． （1）求的值； （2）已知该二次函数的最小值为若为该二次函数图象上不同的两点，且，求证： 24. 问题背景 为响应国家“2030年前碳达峰，2060年前碳中和”的战略目标，某市积极推进交通领域绿色转型． 材料一 该市为鼓励市民购买新能源汽车，根据当月全市新能源汽车销量动态调整补贴金额．相关部门统计了以下数据，如下表所示： 新能源汽车销量x（单位：万辆） 0 1 每辆补贴金额w（单位：万元） 0.5 1.1 经分析，w与x之间近似满足二次函数关系． 材料二 某品牌新能源汽车售价为每辆15万元，若当月每辆补贴 w万元，则每位居民实际购车支出为 （15-w）万元，且该新能源汽车年均使用成本为0.3万元．经调研发现，同级别燃油车售价为每辆12万元，无补贴，年均使用成本为0.7万元． 材料三 经测算，每辆燃油车年均排放二氧化碳约2.7吨，而新能源汽车年均碳排放仅为0.9吨． 请阅读上述材料，完成以下任务． （1）请求出w与x的函数关系式． （2）若某市民将同级别燃油车更换为该品牌新能源汽车，从经济角度出发，当补贴金额w最高时，该市民至少需要使用新能源汽车多少年，才能使总成本（包括车的售价以及使用成本）不高于燃油车？ （3）到 2025年底，该市共有燃油车 60万辆，新能源汽车20万辆（不考虑车辆报废）．市政府希望到 2030年，全市交通领域的年碳排放总量比 2025年减少．假设未来 5年（从2026年到 2030年），每新增一辆新能源汽车就会替代一辆燃油车，不增加燃油车；同时，新能源汽车每月销量都相同，可以用这 5年总销量除以 60（即 5年共 60个月），得到每月销量．请你帮政府估算：在未来 5年中，总共需要支出多少万元的补贴金额？ 25. 如图，已知是的外接圆，为直径，，D，Q为上位于点A异侧的动点，且，连接，交于点H，连接，． （1）求证：； （2）求证：点O在的平分线上； （3）若，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年龙海一中九年级下学期第二阶段测试 数学试卷 试题满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出四个选项中，仅一项符合题目要求． 1. 下列数字中最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项的数，再根据实数大小比较法则判断最大数． 【详解】解：A、； B、； C、； D、∵，∴， 将四个数从小到大排列为： ． 2. 数学的抽象美、对称美、简洁美不仅是神奇的大自然形态的展现，更是艺术美和数学公式的融合．它们揭示了世界的秩序与和谐，同时也激发了人们对数学和自然之美的无限遐想．下列神奇数学曲线的曼妙身姿中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可； 【详解】解：是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形，也是中心对称图形； 是轴对称图形但不是中心对称图形． 3. 若 在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件, 根据被开方数大于0, 分母不等于0求解的范围, 再判断选项即可． 【详解】要使在实数范围内有意义，二次根式的被开方数须非负, 且分母不能为0， ， 解得：， 选项中只有满足． 4. 某组合体如图所示，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，俯视图为： 5. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：由 ，得； 在数轴上表示解集如图： 6. 从，0，1，2这四个数中任取两个不同的数，则这两个数之和为负数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从 这四个数中任取两个不同的数，共有如下种等可能的组合： ，其中两个数之和为负数的组合是 ，共种， ∴所求概率为. 7. 如图，一副三角尺按图中所示位置摆放，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角的余角相等可知，，再结合，即可求解出的度数． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得，． 8. 已知点都在反比例函数 的图象上，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标的范围比较纵坐标的大小. 【详解】解：∵ ， ∴； ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小； ∵ 点的横坐标， ∴ 点在第三象限，可得， ∵ 点、的横坐标，， ∴ 点、在第一象限，，， 又∵ ，根据第一象限内函数的增减性，可得； 综上，. 9. 如图，四边形内接于，其中 为直径．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，进行求解即可. 【详解】解：∵四边形内接于， 为直径， ∴ ， ∵， ∴， ∴ . 10. 已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线 与x轴交于 C，D两点，其中．若，则b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出两个抛物线与x轴的交点坐标，根据确定四个交点在x轴上的位置顺序，再根据列出关于的方程，解方程即可得到结果. 【详解】解：把代入得：， 解得， ， ∵， ∴ ； 把代入 得： ， 解得， ， ∵， ∴ ， ∴四个交点的横坐标从小到大依次为 ， 不妨设横坐标为，横坐标为，横坐标为，横坐标为； ∵x轴上两点距离为大横坐标减小横坐标， ∴ ， ； ∵， ∴ ，解得，符合， 故的值为. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解： _______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 12. 方程 的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程的解. 【详解】解：原方程整理为 方程两边同乘最简公分母 ，得： 去括号，得： 移项，合并同类项，得： 检验：当 时， 因此 是原分式方程的解. 13. 如图，在中，，点D为边的中点，且，则____________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵在中，，点D为边的中点， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键． 14. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交，于点E，F，，，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质证明，得到图中阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 15. 某烘焙社团招募新成员，测试项目包括配方掌握、实操烘焙、创意装饰，规定三项成绩依次按 的比例计入总成绩．某成员这三项的测试得分分别为 90分，92分，88分，则该成员的总成绩为________分． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，该成员的总成绩 （分）. 16. 智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜发生形变，带动内部可变电阻R阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值．已知该可变电阻R（单位：欧）与手腕施加的压力F（单位：牛）之间的关系为一次函数，当牛时，欧；当牛时，欧．当可变电阻R为60欧时，对应手腕施加的压力F为______牛． 【答案】90 【解析】 【分析】先根据与是一次函数关系设出函数解析式，利用已知的两组对应值，用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式，计算得到对应的值． 【详解】设与的一次函数解析式为 ． 将 和 分别代入解析式， 得： ， 解得：， 因此一次函数解析式为 ， 将代入解析式得 ， 移项得 ， 计算得 ， 解得． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 如图，在中，点D是边上一点，连接 并延长至点C，连接．若求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】通过证明即可求解． 【详解】证明：∵， ∴, 在和中， ∴ ∴． 19. 先化简，再求值： 其中 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： 原式 ； 将代入化简后的式子得： 原式. 20. 为培养学生的阅读习惯，某中学在学校开展了“品读中国古典名著，传承中华优秀传统文化”读书竞答活动．学校团委为了解此次活动效果，随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） 抽取学生成绩的扇形统计图 抽取学生成绩的频数分布直方图 （1）表中 ，并补全频数分布直方图； （2）抽取的这部分学生成绩的中位数位于 组； （3）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数； （4）该校有名学生参加此次活动，请估计参加此次活动的学生中成绩优秀（）的人数． 【答案】（1），频数分布直方图见详解 （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】（1）利用扇形统计图中组的频数与对应百分比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他组的频数，求出的值，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义，结合总人数确定中位数所在的位置，再根据各组频数累加判断中位数所在的组； （3）利用组的频数除以总人数，再乘以，求出组所对应的扇形圆心角的度数；（4）用该校总人数乘以样本中成绩优秀（）的人数所占的比例，估计出总体中成绩优秀的人数． 【小问1详解】 解：由表格和扇形统计图得，本次抽取学生的总人数为（人）， ， 频数分布直方图如图所示； 【小问2详解】 解：本次共抽取学生人，中位数应为第个学生和第个学生成绩的平均值， ，， 抽取的这部分学生成绩的中位数位于组； 【小问3详解】 解：组有名学生，， 组所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）， 参加此次活动的学生中成绩优秀（）的人数为人． 21. 如图，为等边三角形，点E在边上，连接，作于点D，将绕点A逆时针旋转得到，点B，D的对应点分别为点C，F，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）延长交于点G，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据等边三角形的性质得到，，然后由旋转得到，，推出，即可证明； （2）过点C作交的延长线于点H，证明，然后推出，证明，即可得到． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 由旋转得，， ∴ ∴ ∴为等边三角形； 【小问2详解】 解：如图，过点C作交的延长线于点H ∵ ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ 由旋转得，， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴． 22. 如图，已知的半径为2，为 的直径，与 相切于点A． （1）请用尺规作图的方法，作的内接正方形；（要求：点A，B，C，D按顺时针方向在上，保留作图痕迹，不写作法） （2）延长交射线于点 E，连接，交 于点 F，求 的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，分别交于点，过点作直线，交圆于，则四边形为正方形； （2）过点作，证明，根据相似三角形的性质可知的长度，进而根据即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得， 【小问2详解】 解：过点作， ∵是正方形， ∴，， ∵与 相切于点A， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ， 又， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点，． （1）求的值； （2）已知该二次函数的最小值为若为该二次函数图象上不同的两点，且，求证： 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，关于对称轴对称，得到，即可得到答案； （2）化简，求出，根据韦达定理得到，对左边式子进行化简即可证明结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ，关于对称轴对称， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 由于二次函数有最小值， ，且， 解得或（舍去）， ， 为该二次函数图象上不同的两点， 是方程的两个根， ， ， 且， ， 化简得原式， ， ∴ ． 24. 问题背景 为响应国家“2030年前碳达峰，2060年前碳中和”的战略目标，某市积极推进交通领域绿色转型． 材料一 该市为鼓励市民购买新能源汽车，根据当月全市新能源汽车销量动态调整补贴金额．相关部门统计了以下数据，如下表所示： 新能源汽车销量x（单位：万辆） 0 1 每辆补贴金额w（单位：万元） 0.5 1.1 经分析，w与x之间近似满足二次函数关系． 材料二 某品牌新能源汽车售价为每辆15万元，若当月每辆补贴 w万元，则每位居民实际购车支出为 （15-w）万元，且该新能源汽车年均使用成本为0.3万元．经调研发现，同级别燃油车售价为每辆12万元，无补贴，年均使用成本为0.7万元． 材料三 经测算，每辆燃油车年均排放二氧化碳约2.7吨，而新能源汽车年均碳排放仅为0.9吨． 请阅读上述材料，完成以下任务． （1）请求出w与x的函数关系式． （2）若某市民将同级别燃油车更换为该品牌新能源汽车，从经济角度出发，当补贴金额w最高时，该市民至少需要使用新能源汽车多少年，才能使总成本（包括车的售价以及使用成本）不高于燃油车？ （3）到 2025年底，该市共有燃油车 60万辆，新能源汽车20万辆（不考虑车辆报废）．市政府希望到 2030年，全市交通领域的年碳排放总量比 2025年减少．假设未来 5年（从2026年到 2030年），每新增一辆新能源汽车就会替代一辆燃油车，不增加燃油车；同时，新能源汽车每月销量都相同，可以用这 5年总销量除以 60（即 5年共 60个月），得到每月销量．请你帮政府估算：在未来 5年中，总共需要支出多少万元的补贴金额？ 【答案】（1） （2）至少需要使用5年 （3）总共需要支出 万元补贴 【解析】 【分析】（1）设与的函数关系式为，将代入，即可得到答案； （2）根据函数性质得到当时，取得最大值，最大值为，设该市民至少需要使用新能源汽车年，由题意得：，求出，取整数即可； （3）设未来 5年共新增新能源汽车万辆，根据题意得：，求出，求出每月销量万辆，（万元），即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将代入， 解得， 故与的函数关系式为 【小问2详解】 解：由（1）知， 当时，取得最大值，最大值为， 设该市民至少需要使用新能源汽车年， 由题意得：， 解得， 为整数， 至少需要使用5年； 【小问3详解】 解：年碳排放总量为：（万吨）， 年碳排放总量目标为 （万吨）， 设未来 5年共新增新能源汽车万辆， 根据题意得：， 解得， 未来 5年共新增新能源汽车万辆， 每月销量万辆， （万元）， 总补贴金额为 （万元）， 答：总共需要支出 万元补贴． 25. 如图，已知是的外接圆，为直径，，D，Q为上位于点A异侧的动点，且，连接，交于点H，连接，． （1）求证：； （2）求证：点O在的平分线上； （3）若，且，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3）的长为 【解析】 【分析】（1）先通过圆周角定理和等边对等角可得，结合同弧和等弧所对的圆周角相等，可得，进而证明即可； （2）连接，，，通过证明，即可证明点O在的平分线上； （3）连接，，设与的交点为G，利用，得到，再由（1）的结论可得，证明，得出，进而求出圆的直径和的长度，利用圆周角定理，结合已知条件得出，设，，利用勾股定理列出方程求出a的值，从而得出最终结果． 【小问1详解】 证明：∵是的外接圆，为直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点O在的平分线上． 【小问3详解】 解：如图，连接，，设与的交点为G， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 设，， ∴ ， ∴ ， ∵， 在中，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $