精品解析：陕西省西安市西咸新区沣东新城第六初级中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题

陕西省西安市西咸新区沣东新城第六初级中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题 下册第6～9章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则成立的条件是（　　） A. B. C. D. 3. 分式与分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 4. 满足不等式 3x－5> －1的最小整数是（     ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 5. 下列各式中，从左到右是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 将分式中，x，y的值同时扩大为原来的２倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的 7. 若是完全平方式，则的值等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某货车准备运送一批原料去相距的工厂进行加工，计划每小时行驶，考虑到交通出行，安全第一，实际的速度比原计划每小时慢，实际到达目的地的时间比原计划晚了2个小时．根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本文题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 12. 分解因式：______． 13. 若，，则______． 14. 已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为_______． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 解方程： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 18. 先化简，再求值：，其中 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值． （2）求的平方根． 20. 观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： （1）第4个方程的解为________． （2）请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． （3）请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 六、（本题满分12分） 21. 某鞋店购进甲、乙两种品牌的运动鞋进行销售，已知每双甲品牌运动鞋的进价比每双乙品牌运动鞋的进价多15元，且用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍． （1）分别求每双甲、乙两种品牌运动鞋的进价． （2）已知每双甲品牌运动鞋的售价为130元，每双乙品牌运动鞋的售价为95元，且购进乙品牌运动鞋的数量比购进甲品牌运动鞋的数量的2倍还多4双．若要使两种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元，则最少购进多少双甲品牌运动鞋？ 七、（本题满分12分） 22. 先阅读材料，再回答问题． 将多项式分解因式． 解：因为，将看成整体，令，则原式，将还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题． （1）因式分解：_______． （2）因式分解：． （3）请说明为什么无论取何值，的值一定是非负数． 八、（本题满分14分） 23. 在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， （1）将分式化为一个整式与一个真分式的和． （2）若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． （3）若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市西咸新区沣东新城第六初级中学2024-2025学年七年级下学期5月月考数学试题 下册第6～9章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的定义进行判断．根据分式的定义分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：是分式；、、是整式； 故选：C． 2. 若，则成立的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变解题即可． 【详解】解：根据不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变，可知． 故选：C． 3. 分式与分式的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母即可． 【详解】解：， 分式与分式的最简公分母是， 故选：C． 4. 满足不等式 3x－5> －1的最小整数是（     ） A. －1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式3x－5＞－1，求得解集，即可确定不等式的最小整数解． 【详解】解：3x－5＞－1， 移项得：3x＞－1+5， 则3x＞4， ∴x＞， 则最小的整数是2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质． 5. 下列各式中，从左到右是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式．根据因式分解就是把一个多项式变形成几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解． 【详解】解：A．是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B．结果不是积的形式，不符合题意； C．是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； D．，符合定义，是因式分解，符合题意． 故选：D． 6. 将分式中，x，y的值同时扩大为原来的２倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵ ＝ ＝ ∴分式的值比原来扩大2倍， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 7. 若是完全平方式，则的值等于（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏掉解． 这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的倍． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 8. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：A、，原式错误，故本选项不符合题意； B、，原式正确，故本选项符合题意； C、，原式错误，故本选项不符合题意； D、，原式错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 某货车准备运送一批原料去相距的工厂进行加工，计划每小时行驶，考虑到交通出行，安全第一，实际的速度比原计划每小时慢，实际到达目的地的时间比原计划晚了2个小时．根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据实际到达目的地的时间比原计划晚了2个小时列出方程即可． 【详解】根据题意得，． 故选：B． 10. 已知关于的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，解决本题的关键是按照解一元一次不等式组的方法解出不等式组．首先判断不等式组无解的条件，再求解分式方程的正整数解．将满足两个条件的整数a求和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 因为不等式组无解，即， 解得：， ， 去分母，得：， 解得：， 关于y的分式方程的解为正整数， 所以， 因为a为整数， 所以：时；时，满足题意； 所有满足条件的整数a的和为：． 故选：A． 二、填空题（本文题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式有意义的条件：分式的分母不等于0，据此列式计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，先求出，即，将代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 已知关于的分式方程． （1）若此方程无解，则的值为_______． （2）若此方程的解为正数，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，以及根据分式方程解的情况求参数． （1）将分式方程化为整式方程，根据此方程无解，建立等式求解，即可解题； （2）根据此方程的解为正数，建立不等式求解，并考虑无解的情况，即可解题． 【详解】解：（1） ， 若此方程无解，则，解得； （2）若此方程的解为正数，则，解得； ∵时，方程无解， ∴且． 故答案为：，且． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，开立方，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据负整数指数幂，零指数幂，开立方的运算法则化简各项，再进行加减运算，即可解题． 【详解】解： ． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验是关键．按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，是原方程的解． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】不等式组的解集是：， 表示在数轴上为： ， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解: ， 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集是： ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式的化简求值，先计算分式的混合运算，将m的值代入化简后的式子求出结果即可． 【详解】解： ∵ ∴原式． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知的立方根为，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求a，b，k的值； （2）将a，b，k的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可． 【小问1详解】 因为的立方根为， 所以， 解得； 因为的算术平方根是， 所以， 解得； 因为，是的整数部分， 所以； 【小问2详解】 根据（1）可得，，， 所以， 因为， 所以的平方根为 20. 观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： （1）第4个方程的解为________． （2）请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． （3）请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 【答案】（1） （2），， （3） 证明：当时，左边右边； 当时，左边右边； ∴，均为方程的解． 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律问题，分式方程的解，理解并找出题目中的特征是解题的关键． （1）根据题中给出的特征即可得到解答； （2）根据题中给出的特征及其对应的解总结规律即可； （3）将方程的解代入原方程，判断左右两边是否相等即可解答． 【小问1详解】 解：的解为：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… ∴第个方程为的解为，， 故答案为，，； 【小问3详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 某鞋店购进甲、乙两种品牌的运动鞋进行销售，已知每双甲品牌运动鞋的进价比每双乙品牌运动鞋的进价多15元，且用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍． （1）分别求每双甲、乙两种品牌运动鞋的进价． （2）已知每双甲品牌运动鞋的售价为130元，每双乙品牌运动鞋的售价为95元，且购进乙品牌运动鞋的数量比购进甲品牌运动鞋的数量的2倍还多4双．若要使两种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元，则最少购进多少双甲品牌运动鞋？ 【答案】（1）甲品牌运动鞋的进价为每双80元，乙品牌运动鞋的进价为每双65元 （2）18双 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙品牌运动鞋的进价为每双元，则甲品牌运动鞋的进价为每双()元，根据“用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍”列出方程并求解即可； （2）设购进双甲品牌运动鞋，则购进双乙品牌运动鞋，根据“种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元”列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设乙品牌运动鞋的进价为每双元，则甲品牌运动鞋的进价为每双()元． 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，符合题意， ∴ 答：甲品牌运动鞋的进价为每双80元，乙品牌运动鞋的进价为每双65元． 【小问2详解】 设购进双甲品牌运动鞋，则购进双乙品牌运动鞋． 根据题意得， 解得． 因为为正整数，所以的最小值为18． 答：最少购进18双甲品牌运动鞋． 七、（本题满分12分） 22. 先阅读材料，再回答问题． 将多项式分解因式． 解：因为，将看成整体，令，则原式，将还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题． （1）因式分解：_______． （2）因式分解：． （3）请说明为什么无论取何值，的值一定是非负数． 【答案】（1） （2） （3） 解：令， 则原式 ， 将还原，则原式， 所以无论取何值，的值一定是非负数． 【解析】 【分析】此题考查了换元法因式分解和公式法因式分解，理解整体思想的运用是解答的关键． （1）设，则，进而利用平方差公式即可得到答案； （2）由．令，可得原式，将还原即可求解； （3）令，则可得原式，将还原，则原式，进而可得结论． 【小问1详解】 解：设， 则 ， 将M还原，则原式； 【小问2详解】 解： ． 令，则原式， 将还原，则原式； 【小问3详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， （1）将分式化为一个整式与一个真分式的和． （2）若是整数，且假分式的值为正整数，求的值． （3）若假分式，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，可得到结果； （2）仿照示例，可得到结果； （3）根据题意，仿照示例，可得到，再代入化简即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 因为是正整数， 所以的值为， 所以的值为，4，则的值为． 因为是整数， 所以的值为1． 【小问3详解】 因为 ． 所以， 即， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $