14.2 三角形全等的判定 第5课时 用 ''HL'' 判定直角三角形全等 课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版（2024） 八年级上册 14.2 三角形全等的判定 第5课时 用 ''HL'' 判定直角三角形全等 第十四章·全等三角形 判定直角三角形全等 知识目标 1.理解并掌握“HL”定理的内容。 2.明确该定理适用于仅当其中一个角为90°的特殊情形，区分其与一般三角形全等判定条件的不同。 3.能够准确识别题目中的已知条件是否符合HL定理的应用前提。 能力目标 1.用规范的数学语言书写证明步骤，能基于HL定理进行简单的几何论证。 2.在复杂图形中提取关键信息，灵活运用HL定理解决实际问题。 素质目标 1.渗透“特殊与一般”“分类讨论”的辩证思维思想，体会数学定理的严谨性和普适性。 2.培养科学探究精神，鼓励学生通过猜想—验证—结论的研究路径自主建构知识。 教学难点 教学重点 HL定理的条件与结论 “必须包含斜边”是关键前提，例如仅知两条直角边相等时不能用HL 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 回顾：判定两个三角形全等的条件 A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' A B C C' A' B' 三边分别相等 两边和它们的 夹角分别相等 两角和它们的 夹边分别相等 两角分别相等且其中 一组等角的对边相等 SSS SAS AAS ASA 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 舞台背景的几何挑战 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形， 为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 舞台背景的几何挑战 方案2：根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角. 方案1：根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角. 已知两个直角相等 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 探究判定两个直角三角形全等的条件 分析问题，寻找对应 对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C A' B' C' 分析问题，寻找对应 判定两个直角三角形全等的条件：①一条直角边和一锐角分别相等 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C A' B' C' 情况1：若∠A=∠A′，AB=A′B′，已知∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′ ，根据 . ASA 全等 分析问题，寻找对应 判定两个直角三角形全等的条件：①一条直角边和一锐角分别相等 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C A' B' C' AAS 情况2：若∠C=∠C′，AB=A′B′，已知∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′ ，根据 . 全等 分析问题，寻找对应 判定两个直角三角形全等的条件：②斜边和一锐角分别相等 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C A' B' C' 若∠A=∠A′，AC=A′C′， 已知∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′ ，根据 . AAS 全等 分析问题，寻找对应 判定两个直角三角形全等的条件：③两直角边分别相等 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C A' B' C' 若AB=A′B′，BC=B′C′， 已知∠B=∠B′，则△ABC与△A′B′C′ ，根据 . ASA 全等 分析问题，寻找对应 如果满足斜边和一条直角边分别相等呢？能证明全等吗？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 分析问题，寻找对应 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C 作法： （1）画∠MC'N=90°； （2）在射线C'M上截取B'C'=BC； （3）以点B'为圆心，AB为半径画弧，交射线C'N于点A'； （4）连接A'B'. 分析问题，寻找对应 任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？ 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 C ′ N M A B C A ′ B ′ 两个三角形放在一起能完全重合 分析问题，寻找对应 接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系. 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 C A B (C') (B') ① 设点 M 在直角边 AC (不包括端点)上，连接 BM，则∠BMA ＞∠C，∠BMA是钝角． ② 若过点 M 且垂直于 BM 的直线与线段 AB 相交于点 M′，则有 AB ＞ BM′ ＞ BM． M 外角的性质 M' 垂线段最短 分析问题，寻找对应 接下来讨论射线 CA 上除点 C，A 外的点与点 B 的连线和边 AB 的大小关系. 分组讨论 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 C A B (C') (B') ③ 设点 N 在线段 CA 的延长线上，连接 BN，同理可得 BN ＞ AB． ④ 因此，在射线 CA 上，与点 B 的连线长度等于 AB 的点只有一个． M M' 在点 A 下方时，长度 ＜ AB；在点 A 上方时，长度 ＞ AB. N ⑤再由点 A′ 在射线 CA 上， A′B′ = AB，可知点 A′与点 A 重合． 判定直角三角形全等 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） AB ＝A′B′ BC ＝ B′C′ 几何语言： 基本事实： 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 C A B C' A' B' 判定直角三角形全等 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 在使用“HL”时,同学们应注意什么? （1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法. 两个“△”前要加“Rt”. （2）注意对应相等. ”HL”中“H”代表斜边，“L”代表直角边. “斜边-直角边”顺序不要混淆. 在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） AB ＝A′B′ BC ＝ B′C′ 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例1 解 证明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD， ∴　∠C =∠D = 90°． 在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， AB = BA， AC = BD， ∴　Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）． ∴　BC =AD（全等三角形对应边相等）． 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC = BD． 求证 BC =AD． 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例2 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由． （1） （ ）； （2） （ ）； （3） （ ）； （4） （ ）． AD = BC AC = BD ∠DAB = ∠CBA ∠DBA = ∠CAB HL HL AAS AAS 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解 在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF , ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF. ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例4 如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由. 解 ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt △ACD中, ∴Rt△ABD≌Rt △ACD（HL）， ∴BD=CD. AB=AC, ∠ADB=∠ADC , 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？ A B C D E 分析：CA=CB CD=CE ∠A=∠B=90° 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB． D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？ A B C D E 解：D,E与线段AB的距离相等. ∵C是路段AB的中点， ∴AC=BC. ∵DA⊥AB ， EB⊥AB ， ∴∠A=∠B=90°. CD=CE， AC=CB， 在Rt△ADC 和Rt△BEC 中， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△BEC (HL). ∴　AD =BE. ∴ D,E与线段AB的距离相等. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE =BF．求证：（1）AE =DF ; （2）CD//AB. A B C D E F 分析： CE-EF=BF-EF,即CF=BE Rt△ABE ≌ Rt△DCF（HL） 　AE=DF ∠B=∠C 　CD//AB 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE =BF．求证：（1）AE =DF ; （2）CD//AB. A B C D E F 证明：∵CE=BF， ∵AE⊥BC ， DF⊥BC ， ∴∠AEB=∠DFC=90°. AB=DC， CF=BE， 在Rt△ABE 和Rt△DCF 中， ∴　 Rt△ABE ≌ Rt△DCF （HL）． ∴　AE=DF ， ∠B=∠C. ∴　CD//AB. ∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.如图，已知AB=AC，AE=AF， AE⊥EC，AF⊥BF， 垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2. A B C E F 1 2 证明：∵　AE⊥EC，AF⊥BF ， ∴∠E=∠F=90°. 在Rt△AEC 和 Rt△AFB 中， AC =AB， AE =AF， ∴Rt△AEC ≌ Rt△AFB（HL）. ∴∠EAC=∠FAB. ∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC. ∴∠1=∠2. 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 4.如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 1.(2025·重庆)学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流，现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空: 第一步:构造角平分线. 小红在∠AOB的边OA上任取一点E，并过点E作了OA的垂线(如图).请你利用尺规作图，在OB边上截取OF=OE，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线OP,OP即为∠AOB的平分线(不写作法，保留作图痕迹). 第二步:利用三角形全等证明她的猜想. 证明:∵PE⊥OA，PF⊥OB, ∴∠OEP=∠OFP=90°. 在RtΔOEP和RtΔOFP中, ① ， ② ， ∴ Rt ΔOEP≌Rt ΔOFP(HL) ∴ ③ . ∴OP平分∠AOB ①PO=PO; ②OE=OF;③∠EOP= ∠FOP 对应中考 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.(2023·浙江)如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，0为AC边上一点，连结OB，以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E. 求证:BC=BD. 证明:如图，连接OD， ∵BD是⊙O的切线，点D为切点， ∴∠ODB=90°， ∠ACB=90°， ∴RtΔODB≌RtΔOCB(HL). ∴BC=BD. 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 我亲历了什么 我知道了什么 我会什么 用“HL”判定直角三角形全等 独立书写用“HL”判定直角三角形全等的步骤 推导判定两个直角三角形全等的条件 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 基本事实： 知识点 用“HL”判定直角三角形全等 （1）“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法. 两个“△”前要加“Rt”. （2）注意对应相等. ”HL”中“H”代表斜边，“L”代表直角边. “斜边-直角边”顺序不要混淆. 在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL） AB ＝A′B′ BC ＝ B′C′ 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 课后作业 A层：P43：习题14.2：11题. B层：P43：习题14.2：12题. 下 课 $$