3.2勾股定理的逆定理 教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

3.2勾股定理的逆定理 【教学目标】 1. 掌握直角三角形的判断条件（勾股定理的逆定理）. 2. 能用勾股定理的逆定理判断一个已知三边长度的三角形是否为直角三角形. 3. 经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理与演绎推理的能力. 【教学重点】 掌握勾股定理的逆定理 【教学难点】 能用勾股定理的逆定理判断一个已知三边长度的三角形是否为直角三角形. 1、 创设情境： 勾股定理的内容是什么？ 它的逆命题是什么？ 二、探究新知： 如图，在△ABC中，，△ABC是否为直角三角形？ 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. 满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 三、例题精讲： 例1如图，在中，，，．求证：． 例2如图，在四边形中，，点D是外一点，连接，且．求四边形的面积．    四、课堂练习： 1．下列各组数据不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A． B． C． D． 2．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 3．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．五根小木棒的长度分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 5．中，，，，则边上的中线长为 ． 6．欲检验一矩形画框的两边是否垂直，若测得两边长分别为和，对角线为，则该画框 （填“合格”或“不合格”）． 7．如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为 ． 8．在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有 个． 9．如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 10．如图，在中，，，点D为内一点，且，，． (1)求BC的长； (2)求图中阴影部分的面积． 11．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？ 12．阅读下列内容： 设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________． 13．在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．如图，点是自来水管的位置，点和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距12米，、两处相距16米，、两处相距20米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管； 八（2）班方案：过点作于点，沿线段，，铺设3段水管； (1)求证：； (2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 参考答案 三、例题精讲 例1证明：在中，，，， ， 是直角三角形，． 例2解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4、 课堂练习 1.解：A. 最长边为，验证，等于，符合勾股定理逆定理，能构成直角三角形； B. 最长边为，验证，不等于，不符合勾股定理逆定理，不能构成直角三角形； C. 最长边为，验证，等于，符合勾股定理逆定理，能构成直角三角形； D. 最长边为，验证，等于，符合勾股定理逆定理，能构成直角三角形； 故选：B 2.解：由方程可知，每个非负数项均为0，得： ，，， 解得：，，， 三边分别为9、12、15， 验证勾股定理的逆定理： 满足，故该三角形为直角三角形， 故选：A． 3.解：、∵， ∴不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，此选项符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 4.，152=225，，，252=625， ，， 以，，三根木棒能摆成直角三角形，以，，三根木棒能摆成直角三角形， 故选：C 5.解：中，，，， ∵，， ∴是直角三角形，， ∴边上的中线长为， 故答案为： ． 6.解：∵，，， ∴， ∴画框的两边垂直， 故答案为：合格． 7.∵，D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 8.解：①， ∴是直角三角形； ②， ， ， ， ， ∴是直角三角形； ③，， ， ∴不是直角三角形； ④， 设，，， ，， ， ∴是直角三角形； ⑤， ，， ， ， 解得：，，， ∴不是直角三角形； 综上所述，可以判定为直角三角形的有3个， 故答案为：3． 9.（1）解：∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得： 答：的长度为． （2）解：∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即与的夹角为 答：该婴儿车设计符合安全标准． 10.（1）解：∵，，，， ； （2）解：∵，，，且， 即， ∴是直角三角形，， ． 11.解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，   ∴， ∴是直角三角形即， ∴， ∴（元）， 答：这块地全部种草的费用是5760元． 12.（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是， ， 该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 当是最长边时， 可得：， 解得：， 故答案为：或． 13.（1）证明：由题意可得：， ∴， ∴， 即； （2）解：选择八（1）班的方案，理由如下： ∵， ∴， 则按照八（1）班方案：沿线段、铺设2段水管，需要铺设水管的总长度为； 按照八（2）班方案：沿线段，，铺设3段水管，需要铺设水管的总长度为， ∵， ∴从节约水管的角度考虑，应该选择八（1）班的铺设方案． 学科网（北京）股份有限公司 $$