精品解析：辽宁省大连市甘井子区汇文中学2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年第二学期八年级数学随堂练习 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足下列条件：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，被开方数含有小数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，邻补角．解题的关键是熟练掌握平行四边形性质，邻补角性质． 根据平行四边形对角相等，求出，再根据邻补角的定义求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 两组对角分别相等 B. 两组对边分别相等 C. 两条对角线相等 D. 两条对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和一般平行四边形的性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且平分、一般平行四边形的对角线互相平分． 分别根据矩形和一般平行四边形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案． 【详解】解：A．矩形和一般平行四边形的两组对角分别相等，故A不符合题意； B．矩形和一般平行四边形的两组对边分别相等，故B不符合题意； C．矩形的对角线相等且平分，一般平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故C符合题意； D．矩形和一般平行四边形的两条对角线互相平分，故D不符合题意． 故选：C． 5. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，由勾股定理的逆定理，即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 6. 如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ） A. －2 B. －1 C. ＋1 D. 1－ 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长． 7. 蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（ ）平方米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方形面积公式结合二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵长方形田地的长为米，宽为米， ∴该长方形田地的面积为平方米， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键． 8. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分． 根据菱形的性质，可求得，，，然后由勾股定理求得的长，即可解答． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴菱形的周长． 故选：C． 9. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( ) A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，根据题意得OA=40×15=600，OB=40×20=800， 因为6002=360000，8002=640000，10002=1000000，360000+640000=1000000. 所以6002+8002=10002. 所以∠AOB=∠AOB=90°，所以∠BOS=∠B′ON=60°，所以乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°. 故选C. 10. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，，故①正确；设，表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，得到，故③错误；求出，证明出，得到，求出，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等边三角形， 设，则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，设出，然后用a表示出相关的边是解题的关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 【解析】 【详解】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件， 那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”. 故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 12. 如图，要测量池塘的宽度，选取点A，使D、E分别是中点，现测得的长为25米，则池塘的宽是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线的性质，根据题意知是的中位线，所以由三角形中位线定理来求的长度即可． 【详解】解：∵D、E分别是中点， ∴是的中位线， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：50． 13. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为________寸． 【答案】101 【解析】 【分析】过作于，构建直角三角形，根据勾股定理计算求解即可． 【详解】解：过作于， 设， 则，，， 在中，可有，即， 解得， 所以门的宽度的和为101寸． 故答案为：101． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用问题，构建直角三角形是解答此题的关键． 14. 如图，在中，连接，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，交于点．若，，则的周长为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟知线段垂直平分线的作法解答的此题的关键．先根据平行四边形的性质得出，，再由作法可知直线是线段的垂直平分线，故可得出，即，据此可得出结论． 【详解】解：由题意可知，是的中垂线， ∴， 又∵平行四边形， ∴， ∴， ∴的周长是16． 故答案为：16． 15. 如图，矩形边在轴上，点的坐标为，将此矩形折叠，使点与点重合，点折至点处，折痕为，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形综合，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．过点作于点G，，，，设，则，根据勾股定理得：，求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点G，如图所示： ∵矩形边在轴上点的坐标为， ∴，，， 根据折叠可知：，，， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为． 即点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）利用二次根式的性质化简各数，再加减运算即可求解； （2）先利用乘法分配律和完全平方公式展开，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 18. 已知在中，是的中点，，垂足为，交于点，且． （1）求的度数； （2）若,，求的长． 【答案】（1）90°（2）1.4 【解析】 【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数； （2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值． 【详解】（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴CE＝BE． ∵BE2−AE2＝AC2， ∴AE2＋AC2＝CE2． ∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°； （2）在Rt△BDE中，BE＝＝5． 所以CE＝BE＝5． 设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2−AE2， 所以AC2＝25−x2． ∵BD＝4， ∴BC＝2BD＝8． 在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2＋AC2， 即64＝（5＋x）2＋25−x2， 解得x＝1.4． 即AE＝1.4． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法． 19. 有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求矩形木板的面积； （2）木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； （3）木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 【小问1详解】 解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； 【小问2详解】 解：该矩形木料的长为： ； 【小问3详解】 解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 20. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长； （2）当∠AFE由60°变为90°时，问棚宽是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（，结果保留1位小数） 【答案】（1），；（2）减少1.3 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE=60°，过点F作垂足为点M，求得于是得到结论； （2）解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：（1）过点F作垂足为点M 为等边三角形 （） 答：，棚宽 （2）过点F作垂足为点N （） 答：棚宽减少1.3． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，正确的理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角可被看作矩形的对角线和边的夹角，以为端点的射线交于点，交的延长线于点，若，则射线是的一条三等分线． 证明：如图2取的中点，连接… 任务： （1）完成材料中的证明过程． （2）如图3，矩形中，对角线的延长线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质等；掌握直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，由直角三角形的特征得，结合等腰三角形的判定及性质和三角形的外角性质得，即可得证； （2）取的中点，连接，由直角三角形的特征、等腰三角形的判定及性质、三角形的外角性质得，可得，，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 射线是的一条三等分线； 【小问2详解】 解：如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：． 22. 综合与实践 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒1个单位长度．轴交轴于点，连结．设点，两点移动的时间是秒． 移动规则：当一个动点到达终点停止运动时，另一个动点也要随之停止运动． 【解决问题】（1）填空：、之间的数量关系为______； （2）判断四边形的形状并说明理由； 【深入研究】（3）若． 当四边形为菱形时，则的值为______； 连接，若为直角三角形，求的值； 【能力拓展】（4）在（）的条件下，点，，，连接、、，若为等边三角形， ，求点的坐标．（直接写出答案即可） 【答案】（）；（）四边形是平行四边形，理由见解析；（）； 的值为或；（）点的坐标为． 【解析】 【分析】（）利用含角的直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； （）利用含角的直角三角形性质和平行四边形的判定即可得出答案； （）利用菱形性质即可求得答案； 分三种情况：当时，当时，当时，分别建立方程求解即可； （）过点作轴于点，先证得是等腰直角三角形，得出，再证得，得出，以此建立方程求解求得的值，即可求得点的坐标． 【详解】解：（），理由如下： ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （）四边形是平行四边形，理由如下： 在中，，， ∴ ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，即， 解得:， 故答案为：； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ 即， 解得：； 当时，如图，连接， ∵， ∴ ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：； 当时，点与点重合，此时，，点与点重合，点与点重合，不存在； 综上，的值为或； （）如图，过点作轴于点， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ， 由（） 知：，则， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形性质等，运用分类讨论思想和方程思想解决问题是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题背景】数学课上，同学们以正方形为背景研究转动产生的几何问题．如图1，，，，．取中点，以点为顶点作正方形，，连结和．正方形可以绕点任意转动． 【解决问题】（1）“雷霆小组”从特殊位置开始探究：在转动的过程中，小组成员发现若点落在线段上，连结、，发现与之间有特定的数量关系，请你在备用图中画出图形并解决他们发现的问题； 【深入探究】（2）“鸿鹄小组”在转动的过程中，有两个发现： ①线段与线段有一定的数量关系； ②当点落在射线上时，还能求出的长度． 请你在备用图中画出图形并解决他们发现的问题 【拓展延伸】（3）“飞跃小组”在转动的过程中，规定：直线与直线的交点为，当点、、三点在同一条直线上时，线段的长度是可求的，请你通过画图计算并直接写出的长度． 【答案】（1），证明见解析，（2）①，②或，（3）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理解三角形、旋转全等、等腰三角形性质等．解题关键是正确画出图形． （1）利用中线定义和勾股定理求出，从而证明，再由四边形内角和等于可得，由此得出结论； （2）①连接，利用旋转全等模型证明即可得出结论； 分两种情况利用勾股定理求解即可． （3）画出图形由（2）可证明，再利用三角形面积法和勾股定理求解即可， 【详解】（1）结论：， 证明：若点落在线段上，连结、，如图，连接， ∵，，． ∴， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴正方形中，， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴， （2）①结论：， 证明：如图备用图2，连接， ∵，，， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴ ②当点落在射线上时， 若点在三角形内部，如备用图3-1，过点作， ∵正方形中，，， ∴，， ∵， ∴， 若点在三角形外部，如备用图3-2，过点作， 同理可得：； 综上所述：或 （3）当点、、三点在同一条直线上时， 如备用图4-1， 由（2）得； ∴， 又∵，， ∴， ∵当点、、三点在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴ ∴， 由得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如备用图4-2，点与点重合，在上， 则， 同理可求： ∴ 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级数学随堂练习 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 两组对角分别相等 B. 两组对边分别相等 C. 两条对角线相等 D. 两条对角线互相平分 5. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，3，4 6. 如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ） A. －2 B. －1 C. ＋1 D. 1－ 7. 蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（ ）平方米． A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( ) A. 北偏西30° B. 南偏西30° C. 南偏东60° D. 南偏西60° 10. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 12. 如图，要测量池塘的宽度，选取点A，使D、E分别是中点，现测得的长为25米，则池塘的宽是______米． 13. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，向门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘两点到门槛的距离为1尺（1尺10寸）两扇门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门宽度）的和为________寸． 14. 如图，在中，连接，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，交于点．若，，则的周长为_____． 15. 如图，矩形边在轴上，点的坐标为，将此矩形折叠，使点与点重合，点折至点处，折痕为，则点的坐标为_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 18. 已知在中，是的中点，，垂足为，交于点，且． （1）求的度数； （2）若,，求的长． 19. 有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． （1）求矩形木板的面积； （2）木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； （3）木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 20. 如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长； （2）当∠AFE由60°变为90°时，问棚宽是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（，结果保留1位小数） 21. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图1，任意锐角可被看作矩形的对角线和边的夹角，以为端点的射线交于点，交的延长线于点，若，则射线是的一条三等分线． 证明：如图2取的中点，连接… 任务： （1）完成材料中的证明过程． （2）如图3，矩形中，对角线的延长线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 22. 综合与实践 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒1个单位长度．轴交轴于点，连结．设点，两点移动的时间是秒． 移动规则：当一个动点到达终点停止运动时，另一个动点也要随之停止运动． 【解决问题】（1）填空：、之间的数量关系为______； （2）判断四边形的形状并说明理由； 【深入研究】（3）若． 当四边形为菱形时，则的值为______； 连接，若为直角三角形，求的值； 【能力拓展】（4）在（）的条件下，点，，，连接、、，若为等边三角形， ，求点的坐标．（直接写出答案即可） 23. 综合与实践 【问题背景】数学课上，同学们以正方形为背景研究转动产生的几何问题．如图1，，，，．取中点，以点为顶点作正方形，，连结和．正方形可以绕点任意转动． 【解决问题】（1）“雷霆小组”从特殊位置开始探究：在转动的过程中，小组成员发现若点落在线段上，连结、，发现与之间有特定的数量关系，请你在备用图中画出图形并解决他们发现的问题； 【深入探究】（2）“鸿鹄小组”在转动的过程中，有两个发现： ①线段与线段有一定的数量关系； ②当点落在射线上时，还能求出的长度． 请你在备用图中画出图形并解决他们发现的问题 【拓展延伸】（3）“飞跃小组”在转动的过程中，规定：直线与直线的交点为，当点、、三点在同一条直线上时，线段的长度是可求的，请你通过画图计算并直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $